수열의 극한 공식

by I Seul Bee

이 글은 『미적분학 첫걸음』 1장 3절의 내용입니다.  (미적분학 첫걸음 차례 보기)

수열 \(\left\{a_n\right\}\)의 극한을 구할 때 \(n\)이 커짐에 따라 수열의 항 \(a_n\)이 어떻게 움직이는지 관찰하는 방법은 효율적이지 않다. 이 절에서는 수열의 극한을 쉽게 구할 수 있는 공식을 살펴보자.

사칙계산과 관련된 극한의 성질

정리 1.3.1. \(\left\{a_n\right\}\)과 \(\left\{b_n\right\}\)이 실수열이고 \(A\)와 \(B\)가 실수라고 하자. 그리고 \[\lim_{n\rightarrow\infty} a_n = A \quad\text{and}\quad \lim_{n\rightarrow\infty} b_n = B\] 라고 가정하자. 그러면 다음이 성립한다.

  1. \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\left(ka_n \right) = kA.\)   (\(k\)는 실수인 상수.)
  2. \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\left(a_n + b_n \right) = A+B.\)
  3. \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\left(a_n - b_n \right) = A-B.\)
  4. \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\left(a_n \cdot b_n \right) = AB.\)
  5. \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{b_n} = \frac{A}{B}.\)   (단, \(B\ne 0\)이고, 임의의 \(n\)에 대하여 \(b_n \ne 0.\))
  6. \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\left( a_n \right)^m = A^m .\)   (\(m\)은 양의 정수.)
  7. \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[m]{a_n} = \sqrt[m]{A}.\)   (단, \(A\ge 0\)이고, 임의의 \(n\)에 대하여 \(a_n \ge 0\)이며, \(m\)은 양의 정수.)

증명.

이 정리를 증명하려면 \(\epsilon-N\) 정의를 사용해야 하므로 이 책에서는 증명을 생략한다. 엄밀한 증명이 궁금하다면 이 블로그의 포스트 「수열의 극한」 정리 4를 참고하기 바란다.

보기 1.3.1.

  1. \[\lim_{n\rightarrow\infty}\left( 5+ \frac{1}{3}\right) = \lim_{n\rightarrow\infty} 5 + \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{n} = 5+0 = 5.\]
  2. \[\begin{align}\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{n} - \frac{10}{n^2}\right) &= \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n} - 10\cdot\left(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\right)\left(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\right) \\[5pt] &= 0-10\times 0\times 0 = 0. \end{align}\]
  3. \[\begin{align} \lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{3}{n^2}\right)\left(4-\frac{3}{n}\right) &= \lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{3}{n^2}\right)\cdot \lim_{n\rightarrow\infty}\left(4-\frac{3}{n}\right) \\[5pt] &=\left( \lim_{n\rightarrow\infty} 1 + \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{3}{n^2}\right)\left( \lim_{n\rightarrow\infty} 4 - \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{3}{n}\right) \\[5pt] &= (1+0)\times (4-0) = 4. \end{align}\]
  4. \[\begin{align} \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{2-\frac{4}{n}}{5+\frac{3}{n^2}} &= \frac{\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} 2 - \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{4}{n}}{\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} 5 + \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{3}{n^2}} \\[5pt] &= \frac{2-0}{5+0} = \frac{2}{5}. \end{align}\]
  5. \[\begin{align} \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n^2 -2n+3}{-2n^2 +4} &= \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1 - \frac{2}{n} + \frac{3}{n^2}}{-2 + \frac{4}{n^2}} \\[5pt] &= \frac{\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} 1 - \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{2}{n} + \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{3}{n^2}}{\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} (-2) + \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{4}{n^2}} \\[5pt] &= \frac{1-0+0}{-2+0} = -\frac{1}{2}. \end{align}\]
  6. \[\begin{align} \lim_{n\rightarrow\infty}\left(3-\frac{1}{n^4}\right)^5 &= \left\{ \lim_{n\rightarrow\infty} \left( 3-\frac{1}{n^4}\right)\right\}^5 \\[5pt] &= (3-0)^5 = 3^5 = 273. \end{align}\]
  7. \[\begin{align} \lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{2-\frac{1}{n}} &= \sqrt{\lim_{n\rightarrow\infty}\left(2-\frac{1}{n}\right)} \\[5pt] &= \sqrt{2-0} = \sqrt{2}. \end{align}\]
  8. \[\begin{align} \lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{8n-1}{n+4}\right)^{\frac{2}{3}} &= \lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt[3]{\left(\frac{8n-1}{n+4}\right)^2} \\[5pt] &= \sqrt[3]{ \lim_{n\rightarrow\infty}\left( \frac{8n-1}{n+4}\right)^2 } \\[5pt] &= \sqrt[3]{\left\{\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{8n-1}{n+4}\right)\right\}^2} \\[5pt] &= \left\{ \lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{8n-1}{n+4}\right) \right\}^{\frac{2}{3}} =8^{\frac{2}{3}} = 4. \end{align}\]

순서관계와 관련된 극한의 성질

두 실수열 \(\left\{a_n\right\}\)과 \(\left\{b_n\right\}\)이 주어졌다고 하자. 만약 유한 개를 제외한 모든 \(n\)에 대하여 \(a_n \le b_n\)이 성립하는 것을 \(\left\{a_n\right\} \le \left\{b_n\right\}\)으로 나타낸다면 ‘\(\le\)’는 실수열들의 모임에서 순서관계가 된다. [단, 유한 개의 항이 서로 다른 두 수열을 같은 것으로 간주했을 때.] 다음 정리는 극한이 순서를 보존하는 변환임을 설명한다.

정리 1.3.2. \(\left\{a_n\right\}\)과 \(\left\{b_n\right\}\)이 실수열이라고 하자. 그리고 유한 개를 제외한 모든 \(n\)에 대하여 \(a_n \le b_n\)이라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

  1. \(\left\{a_n\right\}\)이 \(A\)에 수렴하고 \(\left\{b_n\right\}\)이 \(B\)에 수렴하면, \(A\le B\)이다.
  2. \(\left\{a_n\right\}\)이 양의 무한대에 발산하면 \(\left\{b_n\right\}\)도 양의 무한대에 발산한다.
  3. \(\left\{b_n\right\}\)이 음의 무한대에 발산하면 \(\left\{a_n\right\}\)도 음의 무한대에 발산한다.

증명.

이 정리를 증명하려면 \(\epsilon-N\) 정의를 사용해야 하므로 이 책에서는 증명을 생략한다.

예제 1.3.2. 수열 \(\left\{ -2n^2 +n +1 \right\}\)의 극한을 조사하시오.

풀이. \(n\ge 2\)일 때 \(-2n^2 +n +1 \le -n\)이다.
그런데 \(n\rightarrow\infty\)일 때 \(-n \,\rightarrow\,-\infty\)이므로, \(n\rightarrow\infty\)일 때 \(-2n^2 +n+1 \,\rightarrow\,-\infty\)이다.

예제 1.3.3. 다음 수열의 극한을 조사하시오. \[\left\{ \frac{n^2 -2n-1}{n+1} \right\}\]

풀이. \(n\)이 양의 정수일 때 다읍이 성립한다. \[\frac{n^2 -2n-1}{n+1} = \frac{n-2-\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n}} \ge \frac{n-2-1}{2} = \frac{1}{2}n - \frac{3}{2}.\] 그런데 \[\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{2}n - \frac{3}{2}\right) = \infty\] 이므로 \[\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n^2 -2n-1}{n+1} = \infty\] 이다.

극한의 순서 보존 성질을 세 개의 수열에 적용하면 다음 정리를 얻는다.

정리 1.3.3. (조임 정리)

\(\left\{a_n\right\},\) \(\left\{b_n\right\},\) \(\left\{c_n\right\}\)이 실수열이라고 하자. 그리고 유한 개를 제외한 모든 \(n\)에 대하여 \[a_n \le b_n \le c_n\] 이라고 하자. 만약 \(\left\{a_n\right\}\)과 \(\left\{c_n\right\}\)이 같은 값 \(L\)에 수렴하면, \(\left\{b_n\right\}\)도 \(L\)에 수렴한다.

증명.

이 정리를 증명하려면 \(\epsilon-N\) 정의를 사용해야 하므로 이 책에서는 증명을 생략한다. 엄밀한 증명이 궁금하다면 이 블로그의 포스트 「수열의 극한」 정리 5를 참고하기 바란다.

예제 1.3.4. \(\left\{a_n\right\}\)이 실수열이고, \(n\ge 7\)일 때 \[\frac{3n}{n+1} \le a_n \le \frac{3n+2}{n+1}\] 가 성립한다고 하자. 이때 \(\left\{a_n\right\}\)의 극한을 조사하시오.

풀이. 부등식의 첫 식과 마지막 식의 극한을 구하면 \[\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3n}{n+1} = 3 \quad\text{and}\quad \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3n+2}{n+1} = 3\] 이므로, 조임 정리에 의하여 \(\left\{a_n\right\}\)이 \(3\)에 수렴한다.

예제 1.3.5.\(\left\{a_n\right\}\)이 실수열이고, 양의 정수 \(n\)에 대하여 \[n^2 +n -4 \le n^2 a_n \le n^2 +3n -5\] 가 성립한다고 하자. 이때 \(\left\{a_n\right\}\)의 극한을 조사하시오.

풀이. 부등식의 각 식을 \(n^2\)으로 나누면 다음을 얻는다. \[\frac{n^2 +n -4}{n^2} \le a_n \le {n^2 +3n-5}{n^2}.\] 그런데 \[\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{n^2 +n-4}{n^2} = \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{n^2 +3n-5}{n^2} = 1\] 이므로, 조임 정리에 의하여 \(\left\{a_n\right\}\)이 \(1\)에 수렴한다.

\[ \newcommand{\Hom}{{\operatorname{Hom}}} \newcommand{\Mat}{{\operatorname{Mat}}} \newcommand{\proj}{{\operatorname{proj}}} \newcommand{\adj}{{\operatorname{adj}}} \]