수열의 극한 공식

이 글은 『미적분학 첫걸음』 1장 3절의 내용입니다. (미적분학 첫걸음 차례 보기)

수열 ${a_{n}}$ 의 극한을 구할 때 $n$ 이 커짐에 따라 수열의 항 $a_{n}$ 이 어떻게 움직이는지 관찰하는 방법은 효율적이지 않다. 이 절에서는 수열의 극한을 쉽게 구할 수 있는 공식을 살펴보자.

사칙계산과 관련된 극한의 성질

정리 1.3.1. ${a_{n}}$ 과 ${b_{n}}$ 이 실수열이고 $A$ 와 $B$ 가 실수라고 하자. 그리고 $lim_{n \to \infty} a_{n} = A and lim_{n \to \infty} b_{n} = B$ 라고 가정하자. 그러면 다음이 성립한다.

$lim_{n \to \infty} (k a_{n}) = k A .$ ( $k$ 는 실수인 상수.)
$lim_{n \to \infty} (a_{n} + b_{n}) = A + B .$
$lim_{n \to \infty} (a_{n} - b_{n}) = A - B .$
$lim_{n \to \infty} (a_{n} \cdot b_{n}) = A B .$
$lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} = \frac{A}{B} .$ (단, $B \neq 0$ 이고, 임의의 $n$ 에 대하여 $b_{n} \neq 0.$ )
$lim_{n \to \infty} {(a_{n})}^{m} = A^{m} .$ ( $m$ 은 양의 정수.)
$lim_{n \to \infty} \sqrt[m]{a_{n}} = \sqrt[m]{A} .$ (단, $A \geq 0$ 이고, 임의의 $n$ 에 대하여 $a_{n} \geq 0$ 이며, $m$ 은 양의 정수.)

증명.

이 정리를 증명하려면 $ϵ - N$ 정의를 사용해야 하므로 이 책에서는 증명을 생략한다. 엄밀한 증명이 궁금하다면 이 블로그의 포스트 「수열의 극한」 정리 4를 참고하기 바란다.

보기 1.3.1.

$lim_{n \to \infty} (5 + \frac{1}{3}) = lim_{n \to \infty} 5 + lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 5 + 0 = 5.$
$\begin{aligned} lim_{n \to \infty} (\frac{1}{n} - \frac{10}{n^{2}}) & = lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} - 10 \cdot (lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}) (lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}) \\ = 0 - 10 \times 0 \times 0 = 0. \end{aligned}$
$\begin{aligned} lim_{n \to \infty} (1 + \frac{3}{n^{2}}) (4 - \frac{3}{n}) & = lim_{n \to \infty} (1 + \frac{3}{n^{2}}) \cdot lim_{n \to \infty} (4 - \frac{3}{n}) \\ = (lim_{n \to \infty} 1 + lim_{n \to \infty} \frac{3}{n^{2}}) (lim_{n \to \infty} 4 - lim_{n \to \infty} \frac{3}{n}) \\ = (1 + 0) \times (4 - 0) = 4. \end{aligned}$
$\begin{aligned} lim_{n \to \infty} \frac{2 - \frac{4}{n}}{5 + \frac{3}{n^{2}}} & = \frac{lim_{n \to \infty} 2 - lim_{n \to \infty} \frac{4}{n}}{lim_{n \to \infty} 5 + lim_{n \to \infty} \frac{3}{n^{2}}} \\ = \frac{2 - 0}{5 + 0} = \frac{2}{5} . \end{aligned}$
$\begin{aligned} lim_{n \to \infty} \frac{n^{2} - 2 n + 3}{- 2 n^{2} + 4} & = lim_{n \to \infty} \frac{1 - \frac{2}{n} + \frac{3}{n^{2}}}{- 2 + \frac{4}{n^{2}}} \\ = \frac{lim_{n \to \infty} 1 - lim_{n \to \infty} \frac{2}{n} + lim_{n \to \infty} \frac{3}{n^{2}}}{lim_{n \to \infty} (- 2) + lim_{n \to \infty} \frac{4}{n^{2}}} \\ = \frac{1 - 0 + 0}{- 2 + 0} = - \frac{1}{2} . \end{aligned}$
$\begin{aligned} lim_{n \to \infty} {(3 - \frac{1}{n^{4}})}^{5} & = {lim_{n \to \infty} (3 - \frac{1}{n^{4}})}^{5} \\ = (3 - 0)^{5} = 3^{5} = 273. \end{aligned}$
$\begin{aligned} lim_{n \to \infty} \sqrt{2 - \frac{1}{n}} & = \sqrt{lim_{n \to \infty} (2 - \frac{1}{n})} \\ = \sqrt{2 - 0} = \sqrt{2} . \end{aligned}$
$\begin{aligned} lim_{n \to \infty} {(\frac{8 n - 1}{n + 4})}^{\frac{2}{3}} & = lim_{n \to \infty} \sqrt[3]{{(\frac{8 n - 1}{n + 4})}^{2}} \\ = \sqrt[3]{lim_{n \to \infty} {(\frac{8 n - 1}{n + 4})}^{2}} \\ = \sqrt[3]{{lim_{n \to \infty} (\frac{8 n - 1}{n + 4})}^{2}} \\ = {lim_{n \to \infty} (\frac{8 n - 1}{n + 4})}^{\frac{2}{3}} = 8^{\frac{2}{3}} = 4. \end{aligned}$

순서관계와 관련된 극한의 성질

두 실수열 ${a_{n}}$ 과 ${b_{n}}$ 이 주어졌다고 하자. 만약 유한 개를 제외한 모든 $n$ 에 대하여 $a_{n} \leq b_{n}$ 이 성립하는 것을 ${a_{n}} \leq {b_{n}}$ 으로 나타낸다면 ‘ $\leq$ ’는 실수열들의 모임에서 순서관계가 된다. [단, 유한 개의 항이 서로 다른 두 수열을 같은 것으로 간주했을 때.] 다음 정리는 극한이 순서를 보존하는 변환임을 설명한다.

정리 1.3.2. ${a_{n}}$ 과 ${b_{n}}$ 이 실수열이라고 하자. 그리고 유한 개를 제외한 모든 $n$ 에 대하여 $a_{n} \leq b_{n}$ 이라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

${a_{n}}$ 이 $A$ 에 수렴하고 ${b_{n}}$ 이 $B$ 에 수렴하면, $A \leq B$ 이다.
${a_{n}}$ 이 양의 무한대에 발산하면 ${b_{n}}$ 도 양의 무한대에 발산한다.
${b_{n}}$ 이 음의 무한대에 발산하면 ${a_{n}}$ 도 음의 무한대에 발산한다.

증명.

이 정리를 증명하려면 $ϵ - N$ 정의를 사용해야 하므로 이 책에서는 증명을 생략한다.

예제 1.3.2. 수열 ${- 2 n^{2} + n + 1}$ 의 극한을 조사하시오.

풀이. $n \geq 2$ 일 때 $- 2 n^{2} + n + 1 \leq - n$ 이다.
그런데 $n \to \infty$ 일 때 $- n \to - \infty$ 이므로, $n \to \infty$ 일 때 $- 2 n^{2} + n + 1 \to - \infty$ 이다.

예제 1.3.3. 다음 수열의 극한을 조사하시오. ${\frac{n^{2} - 2 n - 1}{n + 1}}$

풀이. $n$ 이 양의 정수일 때 다읍이 성립한다. $\frac{n^{2} - 2 n - 1}{n + 1} = \frac{n - 2 - \frac{1}{n}}{1 + \frac{1}{n}} \geq \frac{n - 2 - 1}{2} = \frac{1}{2} n - \frac{3}{2} .$ 그런데 $lim_{n \to \infty} (\frac{1}{2} n - \frac{3}{2}) = \infty$ 이므로 $lim_{n \to \infty} \frac{n^{2} - 2 n - 1}{n + 1} = \infty$ 이다.

극한의 순서 보존 성질을 세 개의 수열에 적용하면 다음 정리를 얻는다.

정리 1.3.3. (조임 정리)

${a_{n}},$ ${b_{n}},$ ${c_{n}}$ 이 실수열이라고 하자. 그리고 유한 개를 제외한 모든 $n$ 에 대하여 $a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}$ 이라고 하자. 만약 ${a_{n}}$ 과 ${c_{n}}$ 이 같은 값 $L$ 에 수렴하면, ${b_{n}}$ 도 $L$ 에 수렴한다.

증명.

이 정리를 증명하려면 $ϵ - N$ 정의를 사용해야 하므로 이 책에서는 증명을 생략한다. 엄밀한 증명이 궁금하다면 이 블로그의 포스트 「수열의 극한」 정리 5를 참고하기 바란다.

예제 1.3.4. ${a_{n}}$ 이 실수열이고, $n \geq 7$ 일 때 $\frac{3 n}{n + 1} \leq a_{n} \leq \frac{3 n + 2}{n + 1}$ 가 성립한다고 하자. 이때 ${a_{n}}$ 의 극한을 조사하시오.

풀이. 부등식의 첫 식과 마지막 식의 극한을 구하면 $lim_{n \to \infty} \frac{3 n}{n + 1} = 3 and lim_{n \to \infty} \frac{3 n + 2}{n + 1} = 3$ 이므로, 조임 정리에 의하여 ${a_{n}}$ 이 $3$ 에 수렴한다.

예제 1.3.5. ${a_{n}}$ 이 실수열이고, 양의 정수 $n$ 에 대하여 $n^{2} + n - 4 \leq n^{2} a_{n} \leq n^{2} + 3 n - 5$ 가 성립한다고 하자. 이때 ${a_{n}}$ 의 극한을 조사하시오.

풀이. 부등식의 각 식을 $n^{2}$ 으로 나누면 다음을 얻는다. $\frac{n^{2} + n - 4}{n^{2}} \leq a_{n} \leq n^{2} + 3 n - 5 n^{2} .$ 그런데 $lim_{n \to \infty} \frac{n^{2} + n - 4}{n^{2}} = lim_{n \to \infty} \frac{n^{2} + 3 n - 5}{n^{2}} = 1$ 이므로, 조임 정리에 의하여 ${a_{n}}$ 이 $1$ 에 수렴한다.

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