수열의 극한 공식

by I Seul Bee

이 글은 『미적분학 첫걸음』 1장 3절의 내용입니다.  (미적분학 첫걸음 차례 보기)

수열 \(\left\{a_n\right\}\)의 극한을 구할 때마다 \(\epsilon\)-\(N\) 정의를 직접 사용하는 것은 번거롭다. 이 절에서는 이미 알고 있는 수열의 극한으로부터 새로운 수열의 극한을 계산할 수 있게 해 주는 기본 성질을 살펴보자.

사칙연산과 관련된 극한의 성질

정리 1.3.1. \(\left\{a_n\right\}\)과 \(\left\{b_n\right\}\)이 실수열이고 \(A\)와 \(B\)가 실수라고 하자. 그리고 \[ \lim_{n\rightarrow\infty}a_n=A \quad\text{and}\quad \lim_{n\rightarrow\infty}b_n=B \] 라고 가정하자. 그러면 다음이 성립한다.

  1. \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}(ka_n)=kA.\)   (\(k\)는 실수인 상수.)
  2. \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}(a_n+b_n)=A+B.\)
  3. \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}(a_n-b_n)=A-B.\)
  4. \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}(a_nb_n)=AB.\)
  5. \(B\ne0\)이면 충분히 큰 모든 \(n\)에 대하여 \(b_n\ne0\)이고, \[ \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{b_n} = \frac{A}{B}. \]
  6. \(m\)이 양의 정수이면 \[ \lim_{n\rightarrow\infty}(a_n)^m=A^m. \]
  7. \(m\)이 양의 정수이고 \(A\ge0\)이며 충분히 큰 모든 \(n\)에 대하여 \(a_n\ge0\)이면 \[ \lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[m]{a_n} = \sqrt[m]{A}. \]

증명.

(1) \(k=0\)이면 자명하다. \(k\ne0\)이라고 하자. 양수 \(\epsilon\)이 주어졌을 때 \(a_n\rightarrow A\)이므로 충분히 큰 \(n\)에 대하여 \[ |a_n-A| < \frac{\epsilon}{|k|} \] 이다. 따라서 \[ |ka_n-kA| = |k||a_n-A| < \epsilon. \] 그러므로 \(ka_n\rightarrow kA\)이다.

(2) 양수 \(\epsilon\)이 주어졌다고 하자. 충분히 큰 \(n\)에 대하여 \[ |a_n-A| < \frac{\epsilon}{2}, \qquad |b_n-B| < \frac{\epsilon}{2} \] 가 동시에 성립한다. 그러면 삼각부등식에 의하여 \[ \begin{aligned} |(a_n+b_n)-(A+B)| &\le |a_n-A|+|b_n-B|\\ &< \epsilon. \end{aligned} \] 따라서 \(a_n+b_n\rightarrow A+B\)이다.

(3) (1)과 (2)를 이용하여 \[ a_n-b_n=a_n+(-1)b_n \] 로 놓으면 바로 얻어진다.

(4) 먼저 \(a_n\rightarrow A\)이므로 충분히 큰 \(n\)에 대하여 \[ |a_n-A| < 1 \] 이다. 따라서 그러한 \(n\)에 대하여 \[ |a_n| \le |A|+1. \] \(M=|A|+1\)이라고 하자. 양수 \(\epsilon\)이 주어지면 충분히 큰 \(n\)에 대하여 \[ |b_n-B| < \frac{\epsilon}{2M} \] 이고 \[ |a_n-A| < \frac{\epsilon}{2(|B|+1)} \] 이 되도록 할 수 있다. 그러면 \[ \begin{aligned} |a_nb_n-AB| &= |a_n(b_n-B)+B(a_n-A)|\\ &\le |a_n||b_n-B| + |B||a_n-A|\\ &< \frac{\epsilon}{2} + \frac{|B|}{|B|+1}\frac{\epsilon}{2}\\ &< \epsilon. \end{aligned} \] 따라서 \(a_nb_n\rightarrow AB\)이다.

(5) \(B\ne0\)이라고 하자. \(b_n\rightarrow B\)이므로 충분히 큰 \(n\)에 대하여 \[ |b_n-B| < \frac{|B|}{2}. \] 따라서 \[ |b_n| \ge |B|-|b_n-B| > \frac{|B|}{2}>0. \] 그러므로 충분히 큰 모든 \(n\)에 대하여 \(b_n\ne0\)이다.

또한 \[ \left| \frac{1}{b_n}-\frac{1}{B} \right| = \frac{|b_n-B|}{|b_n||B|} \le \frac{2}{|B|^2}|b_n-B|. \] 따라서 \(b_n\rightarrow B\)이면 \[ \frac{1}{b_n}\rightarrow\frac{1}{B}. \] 이 결과와 (4)를 이용하면 \[ \frac{a_n}{b_n} = a_n\frac{1}{b_n} \rightarrow A\frac{1}{B} = \frac{A}{B} \] 이다.

(6) \(m=1\)일 때는 자명하다. \(m>1\)일 때에는 (4)를 반복해서 적용하면 \[ (a_n)^m = \underbrace{a_n\cdots a_n}_{m\text{개}} \rightarrow \underbrace{A\cdots A}_{m\text{개}} = A^m \] 을 얻는다.

(7) 먼저 \(A=0\)이라고 하자. 양수 \(\epsilon\)이 주어지면 \(a_n\rightarrow0\)이므로 충분히 큰 \(n\)에 대하여 \[ 0\le a_n < \epsilon^m. \] 따라서 \[ 0\le\sqrt[m]{a_n}< \epsilon \] 이므로 \[ \sqrt[m]{a_n}\rightarrow0. \]

이제 \(A>0\)이라고 하자. 다음과 같이 놓는다. \[ x_n=\sqrt[m]{a_n}, \qquad x=\sqrt[m]{A}. \] 그러면 \(x>0\)이고 \[ a_n-A = x_n^m-x^m = (x_n-x) \left( x_n^{m-1}+x_n^{m-2}x+\cdots+x^{m-1} \right). \] 괄호 안의 값은 \(x^{m-1}\) 이상이므로 \[ |x_n-x| \le \frac{|a_n-A|}{x^{m-1}}. \] \(a_n\rightarrow A\)이므로 오른쪽은 \(0\)으로 수렴한다. 따라서 \[ \sqrt[m]{a_n}\rightarrow\sqrt[m]{A}. \]

보기 1.3.1.

  1. \[ \begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty} \left( 5+\frac{1}{n} \right) &= \lim_{n\rightarrow\infty}5 + \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\\ &= 5+0=5. \end{aligned} \]
  2. \[ \begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty} \left( \frac{1}{n}-\frac{10}{n^2} \right) &= \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n} - 10 \left( \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n} \right)^2\\ &= 0-10\cdot0^2=0. \end{aligned} \]
  3. \[ \begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty} \left( 1+\frac{3}{n^2} \right) \left( 4-\frac{3}{n} \right) &= \left( 1+ 3\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^2} \right) \left( 4- 3\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n} \right)\\ &= (1+0)(4-0)=4. \end{aligned} \]
  4. \[ \begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{2-\frac{4}{n}} {5+\frac{3}{n^2}} &= \frac{ 2-4\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n} }{ 5+3\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^2} }\\ &= \frac{2}{5}. \end{aligned} \]
  5. \[ \begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{n^2-2n+3}{-2n^2+4} &= \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{ 1-\frac{2}{n}+\frac{3}{n^2} }{ -2+\frac{4}{n^2} }\\ &= \frac{1-0+0}{-2+0} = -\frac{1}{2}. \end{aligned} \]
  6. \[ \begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty} \left( 3-\frac{1}{n^4} \right)^5 &= \left\{ \lim_{n\rightarrow\infty} \left( 3-\frac{1}{n^4} \right) \right\}^5\\ &= (3-0)^5 = 3^5 = 243. \end{aligned} \]
  7. \[ \begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt{2-\frac{1}{n}} &= \sqrt{ \lim_{n\rightarrow\infty} \left( 2-\frac{1}{n} \right) }\\ &= \sqrt{2}. \end{aligned} \]
  8. \[ \begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty} \left( \frac{8n-1}{n+4} \right)^{2/3} &= \sqrt[3]{ \left\{ \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{8n-1}{n+4} \right\}^2 }\\ &= \sqrt[3]{8^2} = 4. \end{aligned} \]

순서관계와 관련된 극한의 성질

수열의 극한을 비교할 때에는 처음 몇 개의 항보다 충분히 큰 첨자에서의 대소관계가 중요하다. 두 실수열 \(\left\{a_n\right\}\)과 \(\left\{b_n\right\}\)에 대하여 충분히 큰 모든 \(n\)에서 \[ a_n\le b_n \] 이 성립한다고 하자. 그러면 다음 정리가 성립한다.

정리 1.3.2. \(\left\{a_n\right\}\)과 \(\left\{b_n\right\}\)이 실수열이고 충분히 큰 모든 \(n\)에 대하여 \[ a_n\le b_n \] 이라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

  1. \(\left\{a_n\right\}\)이 \(A\)에 수렴하고 \(\left\{b_n\right\}\)이 \(B\)에 수렴하면 \(A\le B\)이다.
  2. \(\left\{a_n\right\}\)이 양의 무한대에 발산하면 \(\left\{b_n\right\}\)도 양의 무한대에 발산한다.
  3. \(\left\{b_n\right\}\)이 음의 무한대에 발산하면 \(\left\{a_n\right\}\)도 음의 무한대에 발산한다.

증명.

(1) \(A>B\)라고 가정하자. 다음과 같이 놓는다. \[ \epsilon=\frac{A-B}{3}>0. \] \(a_n\rightarrow A\), \(b_n\rightarrow B\)이므로 충분히 큰 모든 \(n\)에 대하여 \[ |a_n-A| < \epsilon, \qquad |b_n-B| < \epsilon \] 이 동시에 성립한다. 따라서 \[ a_n>A-\epsilon \] 이고 \[ b_n \frac{A+2B}{3} = B+\epsilon \] 이므로 충분히 큰 \(n\)에 대하여 \(a_n>b_n\)가 되어 가정에 모순이다. 따라서 \[ A\le B. \]

(2) 임의의 실수 \(M\)이 주어졌다고 하자. \(a_n\rightarrow\infty\)이므로 충분히 큰 모든 \(n\)에 대하여 \[ a_n>M. \] 또 충분히 큰 모든 \(n\)에서 \(a_n\le b_n\)이므로 \[ b_n\ge a_n>M. \] 따라서 \(b_n\rightarrow\infty\)이다.

(3) 임의의 실수 \(M\)이 주어졌다고 하자. \(b_n\rightarrow-\infty\)이므로 충분히 큰 모든 \(n\)에 대하여 \[ b_n < M. \] 또한 \(a_n\le b_n\)이므로 \[ a_n\le b_n < M. \] 따라서 \(a_n\rightarrow-\infty\)이다.

예제 1.3.2. 수열 \[ \left\{-2n^2+n+1\right\} \] 의 극한을 조사하시오.

풀이. \(n\ge2\)일 때 \[ -2n^2+n+1\le -n. \] 그런데 \[ \lim_{n\rightarrow\infty}(-n)=-\infty \] 이므로 정리 1.3.2에 의하여 \[ \lim_{n\rightarrow\infty} (-2n^2+n+1) = -\infty. \]

예제 1.3.3. 다음 수열의 극한을 조사하시오. \[ \left\{ \frac{n^2-2n-1}{n+1} \right\}. \]

풀이. 다항식을 나누면 \[ \frac{n^2-2n-1}{n+1} = n-3+\frac{2}{n+1}. \] 따라서 모든 양의 정수 \(n\)에 대하여 \[ \frac{n^2-2n-1}{n+1} \ge n-3. \] 그런데 \[ \lim_{n\rightarrow\infty}(n-3)=\infty \] 이므로 정리 1.3.2에 의하여 \[ \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{n^2-2n-1}{n+1} = \infty. \]

극한의 순서 보존 성질을 세 개의 수열에 적용하면 다음과 같은 중요한 결과를 얻는다.

정리 1.3.3. (조임 정리)

\(\left\{a_n\right\},\) \(\left\{b_n\right\},\) \(\left\{c_n\right\}\)이 실수열이고 충분히 큰 모든 \(n\)에 대하여 \[ a_n\le b_n\le c_n \] 이라고 하자. 만약 \[ \lim_{n\rightarrow\infty}a_n = \lim_{n\rightarrow\infty}c_n = L \] 이면 \[ \lim_{n\rightarrow\infty}b_n=L \] 이다.

증명.

양수 \(\epsilon\)이 임의로 주어졌다고 하자. \(a_n\rightarrow L\)이므로 충분히 큰 모든 \(n\)에 대하여 \[ L-\epsilon < a_n < L+\epsilon \] 이고, \(c_n\rightarrow L\)이므로 충분히 큰 모든 \(n\)에 대하여 \[ L-\epsilon < c_n < L+\epsilon \] 이다.

또 충분히 큰 모든 \(n\)에 대하여 \[ a_n\le b_n\le c_n \] 이므로 이 세 조건을 동시에 만족시킬 만큼 큰 \(n\)에 대해서는 \[ L-\epsilon < a_n \le b_n \le c_n < L+\epsilon. \] 따라서 \[ |b_n-L| < \epsilon. \] 그러므로 \[ b_n\rightarrow L. \]

예제 1.3.4. \(\left\{a_n\right\}\)이 실수열이고 \(n\ge7\)일 때 \[ \frac{3n}{n+1} \le a_n \le \frac{3n+2}{n+1} \] 가 성립한다고 하자. 이때 \(\left\{a_n\right\}\)의 극한을 조사하시오.

풀이. 양 끝의 수열의 극한을 구하면 \[ \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{3n}{n+1} = 3 \] 이고 \[ \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{3n+2}{n+1} = 3 \] 이다. 따라서 조임 정리에 의하여 \[ \lim_{n\rightarrow\infty}a_n=3. \]

예제 1.3.5. \(\left\{a_n\right\}\)이 실수열이고, 양의 정수 \(n\)에 대하여 \[ n^2+n-4 \le n^2a_n \le n^2+3n-5 \] 가 성립한다고 하자. 이때 \(\left\{a_n\right\}\)의 극한을 조사하시오.

풀이. \(n^2>0\)이므로 부등식의 각 식을 \(n^2\)으로 나누면 \[ 1+\frac{1}{n}-\frac{4}{n^2} \le a_n \le 1+\frac{3}{n}-\frac{5}{n^2}. \] 그런데 \[ \lim_{n\rightarrow\infty} \left( 1+\frac{1}{n}-\frac{4}{n^2} \right) = 1 \] 이고 \[ \lim_{n\rightarrow\infty} \left( 1+\frac{3}{n}-\frac{5}{n^2} \right) = 1 \] 이므로 조임 정리에 의하여 \[ \lim_{n\rightarrow\infty}a_n=1. \]

\[ \newcommand{\Hom}{{\operatorname{Hom}}} \newcommand{\Mat}{{\operatorname{Mat}}} \newcommand{\proj}{{\operatorname{proj}}} \newcommand{\adj}{{\operatorname{adj}}} \]