이 포스트에서는 수열의 극한을 엄밀하게 정의하고 극한과 관련된 기본적인 성질을 증명한다.
수열의 극한의 정의
적당한 정수 \(n_0\)에 대하여 정의역을 \(\left\{ n \in \mathbb{Z} \,\vert\, n \ge n_0 \right\}\) 꼴로 나타낼 수 있는 함수를 점열(sequence)이라고 부르며, 공역이 \(\mathbb{R}\)인 점열을 실수열(real sequence)이라고 부른다. [미적분학을 공부하는 동안에는 실수열을 간단히 수열이라고 부르기로 하자.] 예컨대 \[x_n = 3^n\tag{1}\] 은 정수 \(n\)을 \(3^n\)에 대응시킨다. 이 수열이 정의역은 문맥에 따라 \(\mathbb{N}\)이라고 할 수도 있고 \(0\) 이상인 정수의 집합이라고 할 수도 있다. (1)과 같이 함수의 이름이 \(x\)일 때, 이 수열을 \(\left\{ x_n \right\}\)으로 나타낸다. 한편 \[y_n = \frac{n+1}{ n(n-1)(n-4)}\tag{2}\] 은 \(n=0\) 또는 \(n=1\) 또는 \(n=4\)일 때 위 식의 값이 정의되지 않으므로, 위와 같이 정의된 수열 \(\left\{ y_n \right\}\)의 정의역은 \(4\) 이상인 자연수의 모임이다.
수열 \(\left\{ x_n \right\}\)에서 \(n\)이 정해질 때마다 \(x_n\)도 하나의 값을 갖는데, 이때 \(x_n\)을 \(\left\{ x_n \right\}\)의 항(term)이라고 부른다. 항 중에서 첨자가 가장 작은 항을 첫째항(initial term)이라고 부른다. 예컨대 (2)와 같이 정의된 수열의 첫째항은 \(y_2\)이다.
유한 개의 항은 극한값에 영향을 미치지 않으므로 수열의 극한을 논할 때 수열의 첫째항이 어디서부터 시작하는지는 크게 중요하지 않다. [단, 무한급수의 합을 구할 때에는 수열의 첫째항이 어디서부터 시작하는지도 중요하다.]
정의 1. (수열의 극한)
\(\left\{ x_n \right\}\)이 수열이고 \(L\)이 실수라고 하자. 만약 임의의 \(\epsilon > 0\)에 대하여 자연수 \(N\)이 존재하여 \(n > N\)인 모든 \(n\)에 대하여 \(\left\lvert x_n - L \right\rvert < \epsilon\)을 만족시키면, ‘\(n\)이 무한히 커질 때 \(x_n\)은 \(L\)에 수렴한다’ 또는 ‘\(\left\{ x_n \right\}\)의 극한은 \(L\)이다’라고 말하고, 기호로는 \[x_n \,\,\rightarrow\,\, L \tag{3}\] 또는 \[\lim_{n\to\infty} x_n = L \tag{4}\] 로 나타낸다. 수열 \(\left\{ x_n \right\}\)이 어떠한 값에도 수렴하지 않을 때 ‘수열 \(\left\{ x_n \right\}\)은 발산한다’라고 말한다.
다음 표현은 모두 같은 뜻이다.
- \(n\)이 무한히 커질 때 \(x_n\)은 \(L\)에 수렴한다.
- \(n\,\,\to\,\,\infty\)일 때 \(x_n \,\,\to\,\,L\)이다.
- \(x_n \,\,\to\,\,L .\)
- 수열 \(\left\{x_n \right\}\)은 \(L\)에 수렴한다.
- 수열 \(\left\{x_n \right\}\)의 극한은 \(L\)이다.
(4)와 같이 등호를 사용하여 수열의 극한을 나타낼 수 있는 것은 수렴하는 수열의 극한이 유일하기 때문이다.
정리 1. (수열의 극한의 유일성)
수렴하는 수열의 극한은 유일하다. 즉 \(\left\{ x_n \right\}\)이 수렴하는 수열이고 \(L_1\)과 \(L_2\)가 \(\left\{x_n \right\}\)의 극한이면 \(L_1 = L_2\)이다.
증명
\(\epsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자. 그러면 \(\frac{\epsilon}{2}\)도 양수이므로 자연수 \(N_1\)이 존재하여 \(n > N_1\)일 때마다 \[\left\lvert x_n - L_1 \right\rvert < \frac{\epsilon}{2}\tag{5}\] 을 만족시키며, 자연수 \(N_2\)가 존재하여 \(n > N_2\)일 때마다 \[\left\lvert x_n - L_2 \right\rvert < \frac{\epsilon}{2}\tag{6}\] 을 만족시킨다. \(N = \max \left\{ N_1 ,\, N_2 \right\}\)라고 하고 \(n > N\)인 자연수 \(n\)을 택하면 \[\begin{align} \left\lvert L_1 - L_2 \right\rvert &= \left\lvert ( L_1 - x_n ) + (x_n - L_2 ) \right\rvert \\[8pt] &\le \left\lvert L_1 - x_n \right\rvert + \left\lvert x_n - L_2 \right\rvert \\[8pt] &< \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon\\[8pt] \end{align}\] 이다. 여기서 \(\epsilon\)이 임의의 양수이므로 \(L_1 = L_2\)이다.
만약 [임의의 \(n\)에 대하여 \(x_n \le u\)]인 실수 \(u\)가 존재하면 ‘수열 \(\left\{ x_n \right\}\)은 위로 유계이다’라고 말하며, 만약 [임의의 \(n\)에 대하여 \(x_n \ge \ell\)]인 실수 \(\ell\)이 존재하면 ‘수열 \(\left\{ x_n \right\}\)은 아래로 유계이다’라고 말한다. 또한 \(\left\{x_n \right\}\)이 위로 유계이면서 아래로 유계일 때 ‘수열 \(\left\{ x_n \right\}\)은 유계이다’라고 말한다.
정리 2. (수렴하는 수열의 유계성)
수렴하는 수열은 유계이다. 즉 \(\left\{x_n \right\}\)이 수렴하는 수열이면 실수 \(B\)가 존재하여 임의의 \(n\)에 대하여 \(\left\lvert x_n \right\rvert \le B\)가 성립한다.
증명
\(\left\{ x_n \right\}\)의 극한이 \(L\)이라고 하자. 그리고 \(\epsilon = 1\)이라고 하자. 그러면 \(\epsilon > 0\)이므로 수열의 극한의 정의에 의하여 자연수 \(N\)이 존재하여 \(n > N\)일 때마다 \(\left\lvert x_n - L \right\rvert < \epsilon\)이 성립한다. \[B = \max \left\{ \left\lvert x_1 \right\rvert ,\, \left\lvert x_2 \right\rvert ,\, \cdots ,\, \left\lvert x_N \right\rvert ,\, \lvert L \rvert + \epsilon \right\}\] 이라고 하면 임의의 \(n\)에 대하여 \(\left\lvert x_n \right\rvert \le B\)이다.
수열 \(\left\{ x_n \right\}\)의 일부 항을 순서대로 나열하여 \[x_2 ,\, x_4 ,\, x_6 ,\, x_8 ,\, \cdots \tag{7}\] 과 같이 또 하나의 수열을 만들 수 있는데, 이러한 수열을 부분수열이라고 부른다. \(n_k = 2k\)라고 하면 (7)은 \(\left\{ x_{n_k} \right\}\)로 나타낼 수 있다. 즉 \(\left\{ n_k \right\}\)가 증가하는 자연수열일 때 합성함수 \(\left\{ x_{n_k} \right\}\)를 \(\left\{ x_n \right\}\)의 부분수열이라고 부른다. [물론 \(\left\{ x_n \right\}\)은 자기 자신의 부분수열이다.]
정리 3. (수렴하는 수열의 부분수열)
\(\left\{ x_n \right\}\)이 수렴하는 수열이고 그 극한값이 \(L\)이라고 하자. 그러면 \(\left\{ x_n \right\}\)의 임의의 부분수열 \(\left\{ x_{n_k} \right\}\)는 \(L\)에 수렴한다.
증명
\(\epsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자. \(\left\{ x_n \right\}\)이 \(L\)에 수렴하므로 극한의 정의에 의하여 자연수 \(N_1\)이 존재하여 \(n > N_1\)일 때마다 \(\left\lvert x_n - L \right\rvert < \epsilon\)이 성립한다. \(\left\{ n_k \right\}\)가 증가하는 자연수열이고, \(\mathbb{N}\)은 위로 유계가 아니므로 \(n_N \ge N_1\)인 첨수 \(N\)이 존재한다. 이때 \(k > N\)이면 \(n_k > n_N \ge N_1\)이므로 \(\left\lvert x_{n_k} - L \right\rvert < \epsilon\)이 성립한다. 그러므로 \(\left\{ x_{n_k}\right\}\)는 \(L\)에 수렴한다.
극한의 대수적 성질
극한의 정의는 극한을 구하는 방법을 직접적으로 제공하지 않는다. 그러나 이미 극한값을 알고 있는 수열을 대수적으로 변형하거나 결합하여 새로운 수열을 만들었을 때 다음과 같은 방법으로 극한값을 쉽게 구할 수 있다.
정리 4. (극한의 대수적 성질)
만약 \(L,\) \(M,\) \(k\)가 실수이고 \[\lim_{n\to\infty} x_n = L , \quad \lim_{n\to\infty}y_n =M\] 이면 다음이 성립한다.
- \(\left\{ x_n + y_n \right\}\)은 수렴하고 \[\lim _ { n\to\infty} (x_n + y_n) = L+M.\]
- \(\left\{ x_n - y_n \right\}\)은 수렴하고 \[\lim _ {n\to\infty} (x_n - y_n) = L-M .\]
- \(\left\{ kx_n \right\} \)은 수렴하고 \[\lim _ { n\to\infty} (k x_n) = kL .\]
- \(\left\{ x_n y_n \right\}\)은 수렴하고 \[\lim _ { n\to\infty} (x_n y_n) = LM .\]
- \(M \ne 0\)이면 \(\left\{ x_n / y_n \right\}\)은 수렴하고 \[\lim_{n\to\infty} \frac{x_n}{y_n} = \frac{L}{M} .\]
증명
[1]의 증명. \(\epsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자. \(\frac{\epsilon}{2} > 0\)이므로 수열의 극한의 정의에 의하여 자연수 \(N_1\)이 존재하여 \(n > N_1\)일 때마다 \(\left\lvert x_n - L \right\rvert < \frac{\epsilon}{2}\)이 성립하며, 자연수 \(N_2\)가 존재하여 \(n > N_2\)일 때마다 \(\left\lvert y_n - M \right\rvert < \frac{\epsilon}{2}\)이 성립한다. \(N = \,\)\(\max\left\{ N_1 ,\, N_2 \right\}\)라고 하자. 그러면 \(n > N\)일 때마다 \[\begin{align} \left\lvert \left(x_n + y_n\right) - (L+M) \right\rvert &= \left\lvert \left(x_n -L\right) + \left( y_n -M\right) \right\rvert \\[8pt] &\le \left\lvert x_n -L \right\rvert + \left\lvert y_n -M \right\rvert \\[6pt] &< \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon \end{align}\] 이 성립한다. 그러므로 \(( x_n + y_n ) \,\to\, (L+M)\)이다.
[4]의 증명. \(\epsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자. \(1\)이 양수이므로 수열의 극한의 정의에 의하여 자연수 \(N_1\)이 존재하여 \(n > N_1\)일 때마다 \[\left\lvert x_n - L \right\rvert < 1\tag{8}\]이 성립하며, 자연수 \(N_2\)가 존재하여 \(n > N_2\)일 때마다 \[\left\lvert y_n - M \right\rvert < 1\tag{9}\]이 성립한다. (8)과 (9)를 각각 변형하면 \[\left\lvert x_n \right\rvert < \lvert L \rvert +1 ,\quad \left\lvert y_n \right\rvert < \lvert M \rvert +1\tag{10}\] 을 얻는다. 한편 \(\epsilon / (2(\lvert L \rvert +1 ))\)과 \(\epsilon / (2(\lvert M \rvert +1 ))\)은 모두 양수이므로 자연수 \(N_3\)이 존재하여 \(n > N_3\)일 때마다 \[\left\lvert x_n - L \right\rvert < \frac{\epsilon}{2(\lvert M \rvert + 1)}\tag{11}\] 이 성립하며, 자연수 \(N_4\)가 존재하여 \(n > N_4\)일 때마다 \[\left\lvert y_n - M \right\rvert < \frac{\epsilon}{2(\lvert L \rvert + 1)}\tag{12}\] 이 성립한다. \(N = \max\left\{ N_1 ,\, N_2 ,\, N_3 ,\, N_4 \right\}\)라고 하자. 그러면 \(n > N\)일 때 (10), (11), (12)에 의하여 \[\begin{align} \left\lvert x_n y_n - LM \right\rvert &= \left\lvert x_n y_n - Ly_n + Ly_n - LM \right\rvert \\[8pt] &= \left\lvert (x_n - L)y_n + L(y_n - M) \right\rvert \\[8pt] &\le \left\lvert x_n - L \right\rvert \left\lvert y_n \right\rvert + \lvert L \rvert \left\lvert y_n - M \right\rvert \\[6pt] &< \frac{\epsilon}{2(\lvert M \rvert + 1)} \cdot (\lvert M \rvert + 1) + (\lvert L \rvert + 1) \cdot \frac{\epsilon}{2(\lvert L \rvert + 1)}\\[6pt] &= \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon \end{align}\] 이 성립한다.
[3]의 증명. \(y_n = k\)라고 하면 \[\lim_{n\to\infty} y_n = k\] 이므로 [4]에 의하여 \[\lim_{n\to\infty} \left( kx_n \right) = \lim_{n\to\infty} \left( y_n x_n \right) = kL\] 이 성립한다.
[2]의 증명. 먼저 [3]에 의하여 \[\lim_{n\to\infty} \left( -y_n \right) = \lim_{n\to\infty} \left( (-1)y_n \right) = (-1)M = -M\] 이므로 [1]에 의하여 \[\lim_{n\to\infty} \left( x_n - y_n \right) = \lim_{n\to\infty} \left( x_n + \left( -y_n \right) \right) = L + (-M) = L-M\] 이 성립한다.
[5]의 증명. \(\epsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자. \(\frac{\lvert M\rvert}{2}\)은 양수이므로 극한의 정의에 의하여 자연수 \(N_1\)이 존재하여 \(n > N_1\)일 때마다 \[\left\lvert y_n - M \right\rvert < \frac{\lvert M \rvert}{2}\tag{13}\] 이 성립한다. 또한 \(\frac{\lvert M \rvert ^2 \epsilon}{2}\)은 양수이므로 극한의 정의에 의하여 자연수 \(N_2\)가 존재하여 \(n > N_2\)일 때마다 \[\left\lvert y_n - M \right\rvert < \frac{\lvert M \rvert ^2}{2} \epsilon\tag{14}\] 이 성립한다. \(N = \max\left\{ N_1 ,\,N_2 \right\}\)라고 하자. (13)을 변형하면 \[\left\lvert y_n \right\rvert > \frac{\lvert M\rvert}{2}\] 즉 \[\frac{1}{\left\lvert y_n \right\rvert} < \frac{2}{\lvert M \rvert}\tag{15}\] 를 얻는다. 그러므로 (15), (14)에 의하여 \[\begin{align} \left\lvert \frac{1}{y_n} - \frac{1}{M} \right\rvert &= \frac{\left\lvert M - y_n \right\rvert}{\left\lvert y_n \right\rvert\,\lvert M\rvert} \\[6pt] &< \frac{2}{\lvert M \rvert^2} \left\lvert M-y_n \right\rvert \\[6pt] &< \frac{2}{\lvert M \rvert^2} \cdot \frac{\lvert M \rvert ^2}{2} \epsilon = \epsilon \end{align}\] 이 성립한다. 즉 \[\lim_{n\to\infty}\frac{1}{y_n} = \frac{1}{M}\] 이다. 이 등식과 [2]를 이용하면 \[\lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{y_n} = \lim_{n\to\infty}\left( x_n \cdot \frac{1}{y_n}\right) = L \cdot \frac{1}{M} = \frac{L}{M}\] 을 얻는다.
수열의 극한의 성질
수열의 극한과 부등호의 관계를 살펴보자. 다음 정리는 한 값에 수렴하는 두 수열 사이에 끼어 있는 수열은 같은 값에 수렴함을 설명한다.
정리 5. (샌드위치 정리)
\(\left\{ \alpha_n \right\},\) \(\left\{ \beta_n \right\},\) \(\left\{ x_n \right\}\)이 수열이고, 자연수 \(M\)이 존재하여 \(n > M\)인 모든 \(n\)에 대하여 \[\alpha_n \le x_n \le \beta_n\] 이 성립하며 \[\lim_{n\to\infty} \alpha_n = \lim_{n\to\infty} \beta_n = L\] 이면 \[\lim_{n\to\infty} x_n = L\] 이 성립한다.
증명
\(\epsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자. 수렴하는 수열의 극한의 정의에 의하여 자연수 \(N_1\)이 존재하여 \(n > N_1\)일 때 \[\left\lvert \alpha_n - L \right\rvert < \epsilon\] 즉 \[L - \epsilon < \alpha_n < L+ \epsilon\] 이 성립하며, 자연수 \(N_2\)가 존재하여 \(n > N_2\)일 때 \[\left\lvert \beta_n - L \right\rvert < \epsilon\] 즉 \[L - \epsilon < \beta_n < L+ \epsilon\] 이 성립한다. \(N = \max\left\{M ,\, N_1 ,\, N_2 \right\}\)라고 하자. 그러면 \(n > N\)일 때 \[L - \epsilon < \alpha_n \le x_n \le \beta_n < L+\epsilon\] 즉 \[\left\lvert x_n - L \right\rvert < \epsilon\] 이 성립하므로 \(x_n \,\to\, L\)이다.
\(\left\{ x_n \right\}\)이 수열이라고 하자. 만약 임의의 \(n\)에 대하여 \(x_n \le x_{n+1}\)이 성립하면 \(\left\{ x_n \right\}\)을 증가수열이라고 부르며, 만약 임의의 \(n\)에 대하여 \(x_n \ge x_{n+1}\)이 성립하면 \(\left\{ x_n \right\}\)을 감소수열이라고 부른다. 만약 임의의 \(n\)에 대하여 \(x_n < x_{n+1}\)이 성립하면 \(\left\{ x_n \right\}\)을 순증가수열이라고 부르며, 만약 임의의 \(n\)에 대하여 \(x_n > x_{n+1}\)이 성립하면 \(\left\{ x_n \right\}\)을 순감소수열이라고 부른다. 증가수열과 감소수열을 통틀어 단조수열이라고 부른다.
정리 6. (수열의 단조수렴 정리)
수열 \(\left\{ x_n \right\}\)이 유계인 단조수열이면 \(\left\{ x_n \right\}\)은 수렴한다.
증명
\(\left\{ x_n \right\}\)이 증가수열인 경우만 증명해도 충분하다. \[E = \left\{ x_n \,\vert\, n\in\mathbb{N}\right\}\] 이라고 하면 \(E\)는 공집합이 아니고 위로 유계이므로 \(E\)의 상한이 존재한다. 그 상한을 \(L\)이라고 하자.
\(\epsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자. 상한의 성질에 의하여 \(L - \epsilon < x_N \le L\)인 \(x_N \in E\)가 존재한다. \(\left\{ x_n \right\}\)이 증가수열이므로 \(n > N\)이면 \[L - \epsilon < x_n \le L < L + \epsilon\] 즉 \[\left\lvert x_n - L \right\rvert < \epsilon\] 이다. 그러므로 \(\left\{ x_n \right\}\)은 \(L\)에 수렴한다.
수열 \(\left\{ x_n \right\}\)이 증가하면서 \(L\)에 수렴하는 것을 \(x_n \,\nearrow\,L\)로 나타내며, 수열 \(\left\{ x_n \right\}\)이 감소하면서 \(L\)에 수렴하는 것을 \(x_n \,\searrow\,L\)로 나타낸다.
다음으로 유계인 수열의 성질을 살펴보자. 정리 2에 의하면 수렴하는 수열은 유계이다. 하지만 그 역은 성립하지 않는다. 예컨대 \(x_n = (-1)^n\)이라고 하면 \(\left\{ x_n \right\}\)은 유계이지만 수렴하지 않는다. 그러나 유계인 수열은 항상 수렴하는 부분수열을 가진다.
정리 7. (수열에 대한 볼차노-바이어슈트라스 정리)
수열 \(\left\{ x_n \right\}\)이 유계이면 수렴하는 부분수열 \(\left\{ x_{n_k} \right\}\)가 존재한다. 이때 \(\left\{ x_{n_k} \right\}\)의 극한값을 수열 \(\left\{ x_n \right\}\)의 집적점이라고 부른다.
증명
수열 \(\left\{ x_n \right\}\)이 유계이므로 \(M > 0\)이 존재하여 임의의 \(n\)에 대하여 \(x_n \in [-M ,\, M]\)이 성립한다.
\(I_0 = [ -M ,\, M]\)이라고 하자. \(I_0\)을 잘라 길이가 같은 두 개의 닫힌 구간 \([-M ,\, 0]\)과 \([0,\,M]\)을 만들었을 때 두 구간 중 적어도 하나는 \(\left\{ x_n \right\}\)의 항을 무한히 많이 가지게 되는데, 그 구간을 \(I_1 = \left[\alpha _1 ,\, \beta_1 \right]\)이라고 하자. [만약 \([-M ,\, 0]\)과 \([0,\,M]\) 모두 \(\left\{ x_n \right\}\)의 항을 무한히 많이 가진다면, 둘 중 어느 것을 \(I_1\)로 두든 상관 없다.] 다시 \(I_1\)을 잘라 길이가 같은 두 개의 닫힌 구간 \[\left[\alpha_1 ,\, \frac{\alpha_1 + \beta_1}{2}\right],\quad \left[\frac{\alpha_1 + \beta_1}{2},\, \beta_1 \right]\] 을 만들었을 때 두 구간 중 적어도 하나는 \(\left\{ x_n \right\}\)의 항을 무한히 많이 가지는데, 그 구간을 \(I_2 = \left[\alpha_2 ,\, \beta_2 \right]\)라고 하자. 이와 같은 과정을 반복하여(수학적 귀납법에 의하여) 임의의 자연수 \(k\)에 대하여 닫힌 구간 \(I_k\)를 정의할 수 있다.
명백히 임의의 자연수 \(k\)에 대하여 \(\alpha_k \le \alpha_{k+1} \le \beta_{k+1} \le \beta_k\)이므로 단조수렴 정리에 의하여 \(\left\{ \alpha_k \right\}\)와 \(\left\{ \beta_k \right\}\)는 각각 수렴한다. 뿐만 아니라 임의의 \(k\)에 대하여 \[\beta_k - \alpha_k = \frac{2M}{2^k}\] 이므로 \(\left( \beta_k - \alpha_k \right) \to 0\)이다. 즉 \(\left\{ \alpha_k \right\}\)와 \(\left\{ \beta_k \right\}\)는 같은 값에 수렴한다. 그 극한값을 \(L\)이라고 하자.
\(I_1\)에 속하는 \(\left\{x_n \right\}\)의 항을 하나 택하여 \(x_{n_1}\)이라고 하자. 다음으로 \(\left\{x_n \right\}\)의 항 중에서 \(I_2\)에 속하면서 첨수가 \(n_1\)보다 큰 항을 하나 택하여 \(x_{n_2}\)라고 하자. 다시 \(I_3\)에 속하면서 첨수가 \(n_2\)보다 큰 항을 하나 택하여 \(x_{n_3}\)이라고 하자. 이와 같은 과정을 반복하여 부분수열 \(\left\{ x_{n_k}\right\}\)를 만들 수 있다.
\(\left\{ x_{n_k}\right\}\)의 구성 과정에 의하여 임의의 \(k\)에 대하여 \(\alpha_k \le x_k \le \beta_k\)이다. 그런데 \(\left\{ \alpha_k \right\}\)와 \(\left\{ \beta_k \right\}\)가 모두 \(L\)에 수렴하므로 샌드위치 정리에 의하여 \(\left\{ x_{n_k}\right\}\)도 \(L\)에 수렴한다.
끝으로 닫힌 구간에서 정의된 수열의 성질을 살펴보자.
정리 8. (닫힌 구간에서의 수열의 극한)
\(I = [a,\,b]\)가 길이가 양수인 닫힌 구간이고 수열 \(\left\{ x_n \right\}\)의 모든 항이 \(I\)에 속하며 \(\left\{ x_n \right\}\)이 \(L\)에 수렴하면 \(L \in I\)이다.
증명
결론에 반하여 \(L\notin I\)라고 하자. 그러면 \(L < a\)이거나 \(b < L\)이다. \[\epsilon = \min\left\{ \lvert a-L \rvert ,\, \lvert L-b \rvert \right\}\] 라고 하자. 그러면 \(\epsilon > 0\)이므로 수열의 극한의 정의에 의하여 자연수 \(N\)이 존재하여 \(n > N\)일 때 \[\left\lvert x_n - L \right\rvert < \epsilon\tag{16}\] 이 성립한다. (16)을 만족시키는 항 \(x_n\)에 대하여 \(x_n < a\)이거나 \(b < x_n\)이므로, \(x_n\)은 \(I\) 바깥에 놓인다. 이것은 \(\left\{ x_n \right\}\)의 모든 항이 \(I\)에 속한다는 가정에 모순이다. 그러므로 \(L \in I\)이다.
발산하는 수열
앞에서 정의한 바와 같이 수열 \(\left\{ x_n \right\}\)이 어떠한 값에도 수렴하지 않을 때 ‘수열 \(\left\{ x_n \right\}\)은 발산한다’라고 말한다. 발산하는 경우도 몇 가지로 분류할 수 있다.
정의 2. (발산하는 수열)
\(\left\{ x_n \right\}\)이 수열이라고 하자.
- 임의의 \(B > 0\)에 대하여 자연수 \(N\)이 존재하여 \(n > N\)일 때마다 \(x_n > B\)가 성립하면 ‘\(\left\{ x_n \right\}\)은 양의 무한대로 발산한다’라고 말하고, 기호로는 \(x_n \,\,\to\,\, \infty\) 또는\[\lim_{n\to\infty} x_n = \infty\]로 나타낸다.
- 임의의 \(B > 0\)에 대하여 자연수 \(N\)이 존재하여 \(n > N\)일 때마다 \(x_n < -B\)가 성립하면 ‘\(\left\{ x_n \right\}\)은 음의 무한대로 발산한다’라고 말하고, 기호로는 \(x_n \,\,\to\,\, -\infty\) 또는\[\lim_{n\to\infty} x_n = -\infty\]로 나타낸다.
- \(\left\{ x_n \right\}\)이 수렴하지 않고 양의 무한대로 발산하지 않고 음의 무한대로 발산하지도 않으면 ‘\(\left\{ x_n \right\}\)은 진동한다’라고 말한다.
수열의 극한의 정의에 의하면 양의 무한대나 음의 무한대로 발산하는 수열은 수렴하지 않으며, 수렴하는 수열은 양의 무한대나 음의 무한대로 발산하지 않는다. 즉 ‘수렴’, ‘양의 무한대로 발산’, ‘음의 무한대로 발산’, ‘진동’은 상호 베타적인 경우이다.
다음은 발산하는 수열의 성질 중 자주 사용되는 것들이다.
- 발산하는 수열의 샌드위치 정리: \(\left\{ x_n \right\}\)과 \(\left\{ y_n \right\}\)이 수열이고, 자연수 \(M\)이 존재하여 \(n > M\)인 모든 \(n\)에 대하여 \(x_n \le y_n\)이라고 하자. 만약 \(x_n \,\to\, \infty\)이면 \(y_n \,\to\, \infty\)이다. 만약 \(y_n \,\to\, -\infty\)이면 \(x_n \,\to\, -\infty\)이다.
- \(\left\{ x_n \right\}\)이 양의 무한대로 발산할 필요충분조건은 \(\left\{ -x_n \right\}\)이 음의 무한대로 발산하는 것이다.
- \(\left\{ x_n \right\}\)과 \(\left\{ y_n \right\}\)이 모두 양의 무한대로 발산하는 수열이면 \(\left\{ x_n + y_n \right\}\)과 \(\left\{ x_n y_n \right\}\)도 양의 무한대로 발산한다.
- \(\left\{ x_n \right\}\)이 양의 무한대로 발산하고 \(\left\{ y_n \right\}\)이 아래로 유계이면 \(\left\{ x_n + y_n \right\}\)은 양의 무한대로 발산한다.