이 포스트에서는 직사각형 영역에서 정의된 함수의 이중적분을 정의하고, 연속함수의 적분 가능성을 증명합니다. 리만 적분의 엄밀한 정의가 기억나지 않는다면 일변수 함수의 리만 적분을 소개하는 이전 글(바로가기)을 먼저 읽어 보기 바랍니다.
리만 적분의 정의
먼저 이중적분을 정의하자. \(I = [a,\,b]\)와 \(J = [c,\,d]\)가 길이가 양수인 구간이고 \(R = I \times J\)라고 하자. 그리고 \[\begin{gather} P_I = \left\{ x_0 ,\, x_1 ,\, x_2 ,\, \cdots ,\, x_m \right\} , \tag{1}\\[7pt] P_J = \left\{ y_0 ,\, y_1 ,\, y_2 ,\, \cdots ,\, y_n \right\} \tag{2} \end{gather}\] 을 각각 \(I\)와 \(J\)의 분할이라고 하자. 여기서 (1), (2)와 같은 표현에서는 당연히 \[\begin{gather} a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_m = b ,\\[7pt] c = y_0 < y_1 < y_2 < \cdots < y_n = d \end{gather}\] 인 것으로 약속한다. \(0 < i \le m,\) \(0 < j \le n\)인 자연수 \(i,\) \(j\)에 대하여 \[ R_{ij} = \left[ x_{i-1} ,\, x_i \right] \times \left[ y_{j-1} ,\, y_j \right] \] 라고 하자. 이때 \[P = \left\{ R_{ij} \,\vert\, i = 1,\,2,\, \cdots ,\,m \text{ and } j = 1,\,2,\, \cdots ,\, n \right\}\] 을 \(R\)의 분할(partition)이라고 부른다. 또한 \(R_{ij}\)를 \(P\)의 성분사각형 또는 부분사각형(subsquare) 이라고 부른다. 직관적으로 분할이란 직사각형을 잘라서 얻은 작은 직사각형들의 모임이다.
이 포스트가 끝날 때까지 \(I\)와 \(J\)는 길이가 양수인 구간이고 \(R= I \times J\)이며 \(P_I ,\) \(P_J ,\) \(P\)는 각각 \(I,\) \(J,\) \(R\)의 분할을 나타내는 것으로 약속하자.
\(f\)가 \(R\)에서 정의된 실숫값 함수라고 하자. 그리고 각 성분사각형 \(R_{ij}\)에서 한 점씩 택하여 만든 유한수열을 \(\left\{ c_{ij}\right\}\)라고 하자. (\(c_{ij}\)에 첨자가 두 개 붙어 있는데, 이러한 수열을 이중수열이라고 부른다.) 즉 임의의 \(i,\) \(j\)에 대하여 \[c_{ij} = \left( \overline{x_i} ,\, \overline{y_j} \right) \in R_{ij}\] 라고 하자. 이때 분할 \(P\)와 수열 \(\left\{ c_{ij}\right\}\)에 대한 \(f\)의 리만 합(Riemann sum)을 다음과 같이 정의한다. \[S \left( f,\,P,\,\left\{ c_{ij} \right\} \right) = \sum_P f \left( c_{ij} \right) \Delta A_{ij} = \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m f \left( \overline{x_i} ,\, \overline{y_j} \right) \Delta x_i \, \Delta y_j .\tag{3}\] 물론 여기서 \[\begin{align} \Delta x_i &= x_i - x_{i-1} ,\,\, \Delta y_j = y_j - y_{j-1} ,\\[7pt] \Delta A_{ij} &= \Delta x_i \,\Delta y_j = \left( x_i - x_{i-1} \right) \left( y_j - y_{j-1} \right) \end{align}\] 이다.
분할 \(P\)의 성분사각형들의 크기가 작을 때, 즉 직사각형 영역 \(R\)를 잘게 자를 때 리만 합의 변화를 살펴보고자 한다. 이것을 위해서는 분할이 영역을 얼마나 작게 자른 것인지 가늠할 수 있는 도구가 필요하다. 그 도구로서 분할의 노름을 도입하자. \(\Delta x_i\)들 중에서 가장 큰 값을 \(P_I\)의 노름(norm)이라고 부르고 \(\lVert P_I \rVert\)로 나타낸다. 즉 \[\lVert P_I \rVert = \max \left\{ \Delta x_i \,\vert\, i = 1 ,\,2,\,3,\,\cdots,\, m \right\}\] 이다. \(P_J\)에 대해서도 마찬가지로 \[\lVert P_J \rVert = \max \left\{ \Delta y_j \,\vert\, j = 1 ,\,2,\,3,\,\cdots,\, n \right\}\] 으로 정의한다. \(P_I\)의 노름과 \(P_J\)의 노름 중 더 큰 값을 \(P\)의 노름이라고 부르며 \(\lVert P \rVert\)으로 나타낸다. 즉 \(P\)가 직사각형 영역의 분할일 때, \(P\)의 노름이란 \(P\)의 성분사각형들의 변의 길이 중 가장 큰 것을 이른다. 그러므로 \(\lVert P \lVert \,\rightarrow\, 0\)이면 \(P\)의 모든 성분사각형들의 넓이가 \(0\)에 수렴할뿐만 아니라 성분사각형들의 변의 길이 또한 \(0\)에 수렴한다. 즉 \(\lVert P \lVert \,\rightarrow\, 0\)이면 \(\lVert P_I \rVert \,\rightarrow\, 0\)이고 \(\lVert P_J \rVert \,\rightarrow\, 0\)이다.
만약 \(\lVert P \rVert \,\rightarrow\, 0\)일 때 \(c_{ij}\)의 선택과는 상관 없이 \(P\)와 \(\left\{ c_{ij}\right\}\)에 의한 \(f\)의 리만 합이 일정한 값 \(V\)에 가까워지면 다음과 같이 나타낸다. \[\lim_{\lVert P \rVert \,\rightarrow\,0} S \left(f,\,P,\,\left\{ c_{ij} \right\} \right) = V\tag{4}\] 또는 \[\lim_{\lVert P \rVert \,\rightarrow\,0} \sum_P f\left(c_{ij}\right) \Delta A_{ij} = V.\tag{5}\] 즉 \(f\)의 리만 합이 \(V\)에 수렴한다는 것은 \[\forall \epsilon > 0 \, \exists \delta > 0 \, \forall P \, \forall \left\{ c_{ij} \right\} \,: \,\, \left[\, \lVert P \rVert < \delta \,\, \rightarrow \,\, \left\lvert S \left (f,\,P,\,\left\{ c_{ij} \right\} \right) - V \right\rvert < \epsilon \,\right]\tag{6}\] 또는 \[\forall \epsilon > 0 \, \exists \delta > 0 \, \forall P \,: \,\, \left[\, \lVert P \rVert < \delta \,\, \rightarrow \,\, \left( \forall \left\{ c_{ij} \right\} \,:\, \left\lvert S \left (f,\,P,\,\left\{ c_{ij} \right\} \right) - V \right\rvert < \epsilon \right) \,\right]\tag{7}\] 이 성립한다는 뜻이다. (당연히 (6)과 (7)은 논리적으로 동치인 문장이다.)
이제 비로소 리만 적분을 정의할 준비가 되었다. \(f\)가 직사각형 영역 \(R\)에서 정의된 유계인 함수라고 하자. 만약 실수 \(V\)가 존재하여 (4)를 만족시키면 ‘\(f\)는 \(R\)에서 리만 적분 가능하다’라고 말하고, 이때 \(V\)를 ‘\(R\)에서 \(f\)의 적분값’이라고 부르며 \[\iint _R \,f \, dA = V\tag{8}\] 또는 \[\iint _R \, f(x,\,y)\,dx\,dy = V\tag{9}\] 로 나타낸다.
다르부 적분
다르부(Darboux)는 리만과는 조금 다른 방법으로 적분을 정의하였다.
\(P_I\)와 \(P_I^*\)가 모두 \(I\)의 분할이고 \(P_I \subseteq P_I^*\)일 때 \(P_I^*\)를 \(P_I\)의 세련분할(refinement)이라고 부른다. 즉 세련분할이란 구간을 더 잘게 자른 분할을 뜻한다.
\(P_I^*\)가 \(P_I\)의 세련분할이고 \(P_J^*\)가 \(P_J\)의 세련분할이라고 하자. 그리고 \(P\)가 \(P_I\)과 \(P_J\)를 이용하여 만든 \(R\)의 분할이며, \(P^*\)가 \(P_I^*\)와 \(P_J^*\)를 이용하여 만든 \(R\)의 분할이라고 하자. 이때 \(P^*\)를 \(P\)의 세련분할이라고 부른다. (구간의 분할은 구간의 점들의 모임이지만, 직사각형 영역의 분할은 점들의 모임이 아니라 작은 직사각형 영역들의 모임이다.)
다음으로 상합과 하합을 정의하자. \(P\)의 각 성분사각형 \(R_{ij}\)에서 \(f\)의 상한과 하한을 각각 다음과 같이 나타낸다. \[\begin{align} M_{ij}(f) &= \sup\left\{ f(c_{ij}) \,\vert\, c_{ij} \in R_{ij} \right\} ,\tag{10}\\[7pt] m_{ij}(f) &= \inf\left\{ f(c_{ij}) \,\vert\, c_{ij} \in R_{ij} \right\} .\tag{11} \end{align}\] \(P\)에 의한 \(f\)의 상합 \(U(f,\,P)\)와 하합 \(L(f,\,P)\)을 각각 다음과 같이 정의한다. \[\begin{align} U(f,\,P) &= \sum_P M_{ij}(f) \Delta A_{ij} = \sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{m} M_{ij}(f) \Delta A_{ij} ,\tag{12}\\[7pt] L(f,\,P) &= \sum_P m_{ij}(f) \Delta A_{ij} = \sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{m} m_{ij}(f) \Delta A_{ij} .\tag{13} \end{align}\]
분할의 정의에 의하여, 임의의 분할 \(P\)에 대하여 다음 부등식이 성립한다. \[L(f,\,P) \le U(f,\,P)\tag{14}\] (직관적으로 생각해 보면, \(f\)가 항상 양숫값을 가질 때, \(L(f,\,P)\)의 값이 \(f\)의 그래프 아래쪽의 부피보다 커질 수 없고 \(U(f,\,P)\)는 \(f\)의 그래프 아래쪽의 부피보다 작아질 수 없기 때문에 위 부등식이 성립한다.) 또한 \(P^*\)가 \(P\)의 세련분할일 때 다음이 성립한다. \[L(f,\,P) \le L(f,\,P^* ) \le U(f,\,P^* ) \le U(f,\,P)\tag{15}\] (직관적으로 생각해 보면, 위 부등식은 정의역의 정사각형 영역을 더 잘게 자를 수록 하합과 상합이 그래프 아래쪽의 부피에 가까워진다는 뜻이다.) 더욱이 \(P_1\)과 \(P_2\)가 \(R\)의 분할이고, \(P\)가 \(P_1\)의 세련분할이면서 동시에 \(P_2\)의 세련분할일 때, 즉 \(P\)가 \(P_1\)과 \(P_2\)의 공통세련분할일 때(\(P_1\)과 \(P_2\)가 어느것이 주어지든 그러한 공통세련분할 \(P\)는 항상 존재한다), 다음이 성립한다. \[L(f,\,P_1 ) \le L(f,\,P) \le U(f,\,P) \le U(f,\,P_2)\tag{16}\] 이 부등식은 “하합이 아무리 커진다 한들 다른 상합보다 커질 수 없다”라는 것을 뜻한다. 또한 이 사실로부터 얻을 수 있는 것은, \(f\)의 하합들의 집합이 위로 유계이고, \(f\)의 상합들의 집합이 아래로 유계라는 성질이다. 그러므로 \(f\)의 하합들의 집합의 상한과 \(f\)의 상합들의 집합의 하한을 생각할 수 있다. 이들을 각각 \(f\)의 하적분(lower integral), \(f\)의 상적분(upper integral)이라고 부르며, 다음과 같이 나타낸다. (첫 번째 적분 기호에는 밑줄이 그어져 있고, 두 번째 적분 기호에는 윗줄이 그어져 있다.) \[\begin{align} L_f &= \sup \left\{ L(f,\,P) \,\vert\, P \text{ is a partition of }R \right\} ,\tag{17}\\[6pt] U_f &= \inf \left\{ U(f,\,P) \,\vert\, P \text{ is a partition of }R \right\} .\tag{18} \end{align}\] 만약 \(R\)에서 \(f\)의 상적분과 하적분이 같으면, ‘\(f\)는 \(R\)에서 다르부 적분 가능하다’라고 말하고, \(f\)의 상적분값 \(U_f\)를 \(f\)의 적분값으로 정의한다.
리만 판정법
다르부 적분의 정의만으로는 어떠한 함수가 적분 가능한지 판별하기 쉽지 않다. 그러므로 적분 가능성을 쉽게 판정할 수 있는 방법이 필요하다.
임의의 양수 \(\epsilon\)에 대하여 \(R\)의 분할 \(P\)가 존재하여 \(U(f,\,P) - L(f,\,P) < \epsilon\)을 만족시킨다고 하자. 즉 \[\forall \epsilon > 0 \, \exists P \,:\, ( U(f,\,P) - L(f,\,P) < \epsilon )\tag{20}\] 이 성립한다고 가정하자. 이러한 가정 하에 \(f\)가 리만 적분 가능함을 증명해 보자.
양수 \(\epsilon\)이 임의로 주어졌다고 하자. 그러면 (20)의 부등식을 만족시키는 분할 \(P\)가 존재한다. \(R\)에서 \(f\)의 상적분을 \(V_U\)라고 하고, \(f\)의 하적분을 \(V_L\)이라고 하자. 그러면 상한과 하한의 성질에 의하여 \[L(f,\,P) \le V_L \le V_U \le U(f,\,P)\tag{21}\] 이 성립한다. 그런데 \(L(f,\,P)\)와 \(U(f,\,P)\)의 차이는 \(\epsilon\) 미만이므로 (21)에 의하여 \[0\le V_U - V_L < \epsilon\tag{22}\] 을 얻는다. 이것은 \(V_U\)와 \(V_L\)의 차이가 \(\epsilon\)보다 작다는 뜻인데, \(\epsilon\)은 ‘임의의’ 양수이므로, \(V_U\)와 \(V_L\)의 차이는 \(0\)이다. 즉 \(V_U = V_L\)이다. \(f\)의 상적분과 하적분이 같으므로 \(f\)는 \(R\)에서 다르부 적분 가능하다.
이제 역을 증명하자. \(f\)가 \(R\)에서 다르부 적분 가능하다고 하자. 그리고 그 적분값을 \(V\)라고 하자. 이러한 가정 하에 (20)이 성립합을 보이자.
양수 \(\epsilon\)이 임의로 주어졌다고 하자. \(f\)가 \(R\)에서 다르부 적분 가능하고 적분값이 \(V\)이므로 \(V\)는 \(R\)에서 \(f\)의 하합들의 상한이다. 그러므로 \(V\)에 얼마든지 가까운 \(f\)의 하합을 찾을 수 있다. 즉 \[\lvert V - L(f,\,P_1 ) \rvert < \frac{\epsilon}{2}\] 인 분할 \(P_1\)을 찾을 수 있다. 마찬가지로 \[\lvert U(f,\,P_2 ) - V \rvert < \frac{\epsilon}{2}\] 인 분할 \(P_2\)를 찾을 수 있다. \(P_1\)과 \(P_2\)의 공통세련분할 하나를 잡아서 \(P\)라고 하자. 그러면 \[ V-\frac{\epsilon}{2} < L(f,\,P_1) \le L(f,\,P) \le U(f,\,P) \le U(f,\,P_2 ) < V + \frac{\epsilon}{2}\] 이므로 \(U(f,\,P) - L(f,\,P) < \epsilon\)이 성립한다.
이로써 “\(f\)가 \(R\)에서 다르부 적분 가능할 필요충분조건은 (20)이 성립하는 것이다”라는 결론을 얻는다. 이 정리를 리만 판정법이라고 부른다. (다르부 적분 가능성을 판정하는 방법에 리만의 이름이 붙은 것은, 사실은 다르부 적분과 리만 적분이 동치이기 때문이다.)
연속함수의 적분 가능성
연속함수의 적분 가능성을 논하기 위해서는 ‘균등연속’을 정의해야 한다. 균등연속의 정의와 성질은 지난 포스트 ‘열린 집합과 닫힌 집합’에서 이미 살펴보았으므로, 여기서는 간단하게 소개만 하겠다.
\(f\)가 \(R\)에서 정의된 함수라고 하자. 만약 임의의 양수 \(\epsilon\)에 대하여 양수 \(\delta\)가 존재하여 \(\lvert \textbf{c}_1 - \textbf{c}_2 \rvert < \delta\)인 모든 \(\textbf{c}_1 ,\, \textbf{c}_2 \in R\)에 대하여 \(\lvert f( \textbf{c}_1 ) - f( \textbf{c}_2 ) \rvert < \epsilon\)이 성립하면 ‘\(f\)는 \(R\)에서 균등연속이다’라고 말한다.
\(R\)에서 균등연속인 함수는 당연히 \(R\)에서 연속함수이다. 그러나 \(R\)에서 연속인 함수가 항상 \(R\)에서 균등연속인 것은 아니다. 그런데 \(R\)가 유계이고 닫힌 집합인 경우에는 \(R\)에서 연속인 함수는 항상 \(R\)에서 균등연속이다. 이러한 성질을 이용하여 직사각형 영역 \(R\)에서 \(f\)의 리만 적분 가능성을 증명할 것이다.
\(R\)가 직사각형 영역 \(R = [a,\,b] \times [c,\,d]\)이고, \(f\)가 \(R\)에서 연속인 함수라고 하자. 그리고 \(R\)의 넓이를 \(A\)라고 하자.
다음으로 양수 \(\epsilon\)이 임의로 주어졌다고 하자. \(R\)가 유계이고 닫힌 집합이므로 \(f\)는 \(R\)에서 균등연속이다. 그러므로 양수 \(\delta_1\)이 존재하여 \(\lvert \textbf{c}_1 - \textbf{c}_2 \rvert < \delta_1\)인 모든 \(\textbf{c}_1 ,\, \textbf{c}_2 \in R\)에 대하여 \[\lvert f( \textbf{c}_1 ) - f( \textbf{c}_2 ) \rvert < \frac{\epsilon}{A}\tag{23}\] 이 성립한다. \(\delta = \delta_1 / 2\)라고 하자. 그리고 \(\lVert P \rVert < \delta\)인 \(R\)의 분할 \(P\)를 택하자. \(P\)의 각 성분사각형의 변의 길이는 \(\delta_1 / 2\) 이하이므로, \(P\)의 각 성분사각형 \(R_{ij}\)의 대각선의 길이는 \(\delta\) 이하이며, \(R_{ij}\) 안에서 \[M_{ij} (f) - m_{ij}(f) < \frac{\epsilon}{A}\tag{24}\] 이 성립한다. 이러한 분할 \(P\)에 대하여 \(f\)의 상합과 하합의 차를 구하면 \[\begin{align} U(f,\,P) - L(f,\,P) &= \sum_P \left( M_{ij}(f) - m_{ij}(f) \right) \Delta A_{ij} \\[7pt] &< \sum_P \frac{\epsilon}{A} \Delta A_{ij} = \frac{\epsilon}{A} \sum_P \Delta A_{ij} \\[7pt] &= \frac{\epsilon}{A} \cdot A = \epsilon \end{align}\] 이므로 \[U(f,\,P) - L(f,\,P) < \epsilon\tag{25}\]이 성립한다. 즉 (20)이 성립하므로 리만 판정법에 의하여 \(f\)는 \(R\)에서 다르부 적분 가능하다.
\(R\)에서 \(f\)의 다르부 적분값을 \(V\)라고 하자. 지금부터 \(R\)에서 \(f\)의 리만 합이 \(V\)에 수렴함을 보임으로써 \(R\)에서 \(f\)가 리만 적분 가능함을 증명하자.
다시 양수 \(\epsilon\)이 임의로 주어졌다고 하자. 바로 앞에서와 같은 이유에 의하여 (23)을 만족시키는 양수 \(\delta_1\)이 존재하며, \(\delta = \delta_1 / 2\)일 때 \(\lVert P \rVert < \delta\)인 분할 \(P\)에 대하여 (25)가 성립한다. 그런데 다르부 적분의 정의에 의하여 \[L(f,\,P) \le V \le U(f,\,P) \tag{26}\] 이다. 한편 \(P\)의 각 성분사각형 \(R_{ij}\)에서 한 점씩 택하여 \(c_{ij} \in R_{ij}\)라고 하면 \[L(f,\,P) \le S(f,\,P,\, \left\{ c_{ij} \right\}) \le U(f,\,P) \tag{27}\] 이 성립한다. (25), (26), (27)을 결합하면 \[-\epsilon < S(f,\,P,\,\left\{ c_{ij} \right\} ) -V < \epsilon\tag{28}\] 즉 \[\lvert S(f,\,P,\,\left\{ c_{ij} \right\} ) -V \rvert < \epsilon\tag{29}\] 을 얻는다. 요컨대 임의의 양수 \(\epsilon\)에 대하여 양수 \(\delta\)가 존재하여 \(\lVert P \rVert < \delta\)일 때마다 \(\left\{ c_{ij} \right\}\)의 선택에 상관 없이 (29)가 성립하므로, \(\lVert P \rVert \,\rightarrow\,0\)일 때 \(R\)에서 \(f\)의 리만 합이 \(V\)에 수렴한다. 그러므로 \(f\)는 \(R\)에서 리만 적분 가능하며, 리만 적분값은 다르부 적분값 \(V\)와 동일하다.
참고
사실은 연속함수뿐만 아니라 유계인 임의의 함수 \(f\)에 대하여, \(f\)가 리만 적분 가능할 필요충분조건은 \(f\)가 다르부 적분 가능한 것이다. 즉 다르부 적분 가능성에 대한 리만 판정법은 리만 적분 가능성을 판정하는 데에도 사용할 수 있다. 그러나 리만 적분이 다르부 적분과 동치라는 사실을 증명하는 것은 꽤 복잡하다. 이와 관련된 내용은 이전 포스트 ‘정적분의 정의’(바로가기)를 읽어보기 바란다.