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열린 집합과 닫힌 집합

by I Seul Bee
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직관적으로 열린 집합은 경계점을 원소로 갖지 않는 집합이며 닫힌 집합은 모든 경계점을 원소로 갖는 집합이다. 이 포스트에서는 열린 집합과 닫힌 집합을 논리적으로 정의하고 그와 관련된 성질들을 살펴본다.

열린 집합과 닫힌 집합

수열의 극한의 성질에 의하여, 닫힌 구간 \(I\)에 속한 수열이 수렴하면 그 극한값은 닫힌 구간 \(I\)에 속한다. 이것을 일반화하여 닫힌 집합을 정의할 수 있다. (관련 포스트: 수열의 극한 정리 8.)

정의 1. (닫힌 집합)

\(F\)가 \(\mathbb{R}\)의 부분집합이라고 하자. 만약 \(F\)의 원소들로 이루어진 수열이 수렴할 때마다 그 극한이 \(F\)에 속하면 \(F\)를 닫힌 집합이라고 부른다. [즉 \(F\)가 닫힌 집합이 아니라는 것은 모든 항이 \(F\)에 속하지만 그 극한은 \(F\)에 속하지 않는 수열이 하나 이상 존재하는 것이다.]

‘닫힌 집합’이라는 용어에서 ‘닫혀 있다’라는 표현은 ‘극한의 결과가 그 집합에 있다’라는 뜻으로 생각할 수도 있다.

다음으로 열린 집합을 정의하자. 열린 구간은 끝점을 원소로 갖지 않는 구간이다. 따라서 서로소인 유한 개의 열린 구간을 합집합하여도 그 집합은 끝점을 원소로 갖지 않는다. 이것을 일반화하여 열린 집합을 정의할 수 있다.

정의 2. (열린 집합)

열린 구간을 합집합하여 만들 수 있는 집합을 열린 집합이라고 부른다. 즉 \(G\)가 열린 집합이라는 것은 열린 구간들의 모임 \(\left\{ G_j \,\vert\, j\in J \right\}\)가 존재하여 \[G = \bigcup_{j\in J} G_j\] 를 만족시키는 것을 뜻한다. [여기서 \(G_j\)들은 서로소일 필요가 없으며, \(J\)는 유한집합일 필요가 없다.]

\(G\)가 \(\mathbb{R}\)의 부분집합이고 \(x\)가 실수라고 하자. 만약 \(x\in I \subseteq G\)인 열린 구간 \(I\)가 존재하면 \(x\)를 \(G\)의 내점이라고 부른다. 내점을 이용하면 정의 2는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

\(G\)가 열린 집합이라는 것은 \(G\)의 모든 점이 \(G\)의 내점임을 의미한다.

정의에 의하면 실수 전체 집합을 기준이 되는 집합으로 두었을 때, \(\varnothing\)과 \(\mathbb{R}\)는 열린 집합인 동시에 닫힌 집합이다. 또한 두 집합 \[(1,\,4),\,\, (1,\,2) \cup (3,\,5)\] 와 같은 집합은 열린 집합이고, 두 집합 \[[2,\,7] ,\,\, \left\{ 1,\,3,\,5 \right\}\] 와 같은 집합은 닫힌 집합이다. 반면 두 집합 \[(1,\,4] ,\,\, \mathbb{Q}\] 는 열린 집합도 아니고 닫힌 집합도 아니다. 요컨대 열린 집합이 아닌 집합이 항상 닫힌 집합인 것이 아니며, 닫힌 집합이 아닌 집합이 항상 열린 집합인 것도 아니다.

하지만 열린 집합과 닫힌 집합은 다음과 같은 관계가 있다.

정리 1. (열린 집합과 닫힌 집합의 관계)

\(G\)와 \(F\)가 \(\mathbb{R}\)의 부분집합이라고 하자.

  1. \(G\)가 열린 집합일 필요충분조건은 \(\mathbb{R} \setminus G \)가 닫힌 집합인 것이다.
  2. \(F\)가 닫힌 집합일 필요충분조건은 \(\mathbb{R} \setminus F \)가 열린 집합인 것이다.

증명

\(E\)가 \(\mathbb{R}\)의 부분집합일 때 \(\mathbb{R} \setminus ( \mathbb{R} \setminus E ) = E\)이므로, [1]과 [2]는 표현만 다를 뿐 서로 동치인 진술이다. 그러므로 여기서는 [1]만 증명하자.

먼저 필요조건을 증명하자. \(G\)가 열린 집합이고 \(F = \mathbb{R} \setminus G\)라고 하자. 만약 \(G = \mathbb{R}\)이거나 \(G = \varnothing\)이면 \(F\)는 명백히 닫힌 집합이다. 따라서 두 경우 모두 아니라고 하자. \(\left\{ x_n \right\}\)이 \(L\)에 수렴하는 수열이고 모든 항이 \(F\)에 속한다고 하자. 만약 \(L \notin F\)라면 \(L \in G\)이다. \(G\)는 열린 구간들의 합집합이므로 \(L \in (a,\,b)\)인 열린 구간 \((a,\,b)\)가 존재한다. \(\epsilon =\,\)\( \min\left\{ L-a ,\, b-L \right\}\)이라고 하자. 그러면 수열의 극한의 정의에 의하여 자연수 \(N\)이 존재하여 \(n > N\)일 때 \(\left\lvert x_n - L \right\rvert < \epsilon\)이 성립한다. 이때 \(x_n \in G\)이므로 \(x_n \notin F\)이다. 이것은 \(\left\{ x_n \right\}\)의 모든 항이 \(F\)에 속한다는 가정에 모순이다. 그러므로 \(L\in F\)이다. 즉 \(F\)는 닫힌 집합이다.

다음으로 충분조건을 증명하자. \(F\)가 닫힌 집합이라고 하자. 그리고 \(x\in G\)가 임의로 주어졌다고 하자. 자연수 \(n\)에 대하여 \[B_{1/n}(x) = \left( x-\frac{1}{n} ,\, x+ \frac{1}{n} \right)\] 이라고 정의하자. 만약 임의의 자연수 \(n\)에 대하여 \(F \cap B_{1/n}(x) \ne \varnothing\)이라면 \(x_n \in F\cap B_{1/n} (x)\)를 택하여 수열 \(\left\{ x_n \right\}\)을 만들 수 있다. 이때 \(\left\{ x_n \right\}\)의 모든 항은 \(F\)에 속하지만 그 극한값은 \(x\in G\)이므로 \(F\)가 닫힌 집합이라는 가정에 모순이다. 그러므로 \[B_{1/N_x} (x)= \left( x-\frac{1}{N_x} ,\, x+\frac{1}{N_x} \right) \subseteq G\] 인 자연수 \(N_x\)가 존재한다. \(G_x = B_{1/N_x}(x)\)로 두면, 지금까지 논의한 결과는 임의의 \(x\in G\)에 대하여 \(x \in G_x \subseteq G\)인 열린 구간 \(G_x\)가 존재한다는 것을 의미한다. 이제 \[G = \bigcup_{x\in G} G_x\] 이므로 \(G\)는 열린 구간의 합집합으로 표현된다. 즉 \(G\)는 열린 집합이다.

열린 집합과 닫힌 집합은 합집합, 교집합 연산과 관련하여 다음과 같은 성질을 가진다.

정리 2. (열린 집합과 닫힌 집합의 성질)

  1. 열린 집합의 합집합은 열린 집합이다. 즉 \(\left\{ G_j \,\vert\, j\in J \right\}\)의 모든 원소가 열린 집합이면 \[G = \bigcup_{j\in J} G_j\] 도 열린 집합이다.
  2. 유한 개의 열린 집합의 교집합은 열린 집합이다. 즉 \(G_1 ,\) \(G_2 ,\) \(\cdots ,\) \(G_n\)이 모두 열린 집합이면 \[G = G_1 \cap G_2 \cap \cdots \cap G_n\] 도 열린 집합이다.
  3. 닫힌 집합의 교집합은 닫힌 집합이다. 즉 \(\left\{ F_j \,\vert\, j\in J \right\}\)의 모든 원소가 닫힌 집합이면 \[F = \bigcap_{j\in J} F_j\] 도 닫힌 집합이다.
  4. 유한 개의 닫힌 집합의 합집합은 닫힌 집합이다. 즉 \(F_1 ,\) \(F_2 ,\) \(\cdots ,\) \(F_n\)이 모두 닫힌 집합이면 \[F = F_1 \cup F_2 \cup \cdots \cup F_n\] 도 닫힌 집합이다.

증명

[1]의 증명. 각 \(G_j\)는 열린 구간의 합집합이므로 \(G_j\)를 합집합하여 얻은 \(G\) 또한 열린 구간의 합집합이다.

[2]의 증명. \(G = \varnothing\)이라면 자명하므로 \(G \ne \varnothing\)인 경우를 증명하자. \(x\in G\)라고 하자. 그러면 \(x\)는 \(G_1 ,\) \(G_2 ,\) \(\cdots ,\) \(G_n\) 모두에 속하므로 \(j=1,\) \(2,\) \(\cdots ,\) \(n\)에 대하여 \[x\in I_j \subseteq G_j\]인 열린 구간 \(I_j\)가 존재한다. \(I_x = I_1 \cap I_2 \cap \cdots \cap I_n\)이라고 하면 \(I_x\) 또한 열린 구간이고 \[x\in I_x \subseteq G_1 \cap G_2 \cap \cdots \cap G_n = G\]를 만족시킨다. 즉 임의의 \(x\in G\)에 대하여 \(x\in I_x \subseteq G\)인 열린 구간 \(I_x\)가 존재한다. 이로써 \[G = \bigcup_{x\in G} I_x\] 이므로 \(G\)는 열린 집합이다.

[3]의 증명. \(F = \varnothing\)이라면 자명하므로 \(F \ne \varnothing\)인 경우를 증명하자. \(\left\{ x_n \right\}\)이 \(L\)에 수렴하고 모든 항이 \(F\)에 속한다고 하자. 그러면 각 \(j\)에 대하여 \(\left\{ x_n \right\}\)의 모든 항이 \(F_j\)에 속하고 \(F_j\)가 닫힌 집합이므로 \(L\in F_j\)이다. 즉 \(L\)은 모든 \(F_j\)에 속하므로 \(L \in F\)이다. 따라서 \(F\)는 닫힌 집합이다.

[4]의 증명. 드모르간의 법칙에 의하여 \[\begin{align} \mathbb{R}\setminus F &= \mathbb{R} \setminus \left( F_1 \cup F_2 \cup \cdots \cup F_n \right) \\[8pt] &= \left( \mathbb{R} \setminus F_1 \right) \cap \left( \mathbb{R} \setminus F_2 \right) \cap \cdots \cap \left( \mathbb{R} \setminus F_n \right) \end{align}\] 이고 각 \(\left(\mathbb{R} \setminus F_j\right)\)가 열린 집합이므로 \(\mathbb{R} \setminus F\)는 유한 개의 열린 집합의 교집합, 즉 열린 집합이다. 그러므로 정리 1에 의하여 \(F\)는 닫힌 집합이다.

닫힌 집합의 성질

수열 \(\left\{ x_n \right\}\)의 부분수열 중 \(\lambda\)에 수렴하는 것이 존재할 때 \(\lambda\)를 \(\left\{ x_n \right\}\)의 집적점이라고 부른다. 이 개념을 집합에 적용하여 집합의 집적점을 정의할 수 있다.

정의 3. (집적점과 도집합)

\(E\)가 \(\mathbb{R}\)의 부분집합이라고 하자.

  1. \(\lambda\in\mathbb{R}\)라고 하자. 만약 임의의 \(\epsilon > 0\)에 대하여 \(x\in E\)가 존재하여 \(0 < \left\lvert \lambda-x \right\rvert < \epsilon\)을 만족시키면 \(\lambda\)를 \(E\)의 집적점이라고 부른다.
  2. \(E\)의 집적점들의 모임을 \(E\)의 도집합이라고 부르며 \(E ' \)으로 나타낸다.

수열의 집적점과 집합의 집적점은 다음과 같은 관계를 가진다.

정리 3. (수열의 집적점과 집합의 집적점의 관계)

\(E\)가 \(\mathbb{R}\)의 부분집합이고 \(\lambda\)가 실수라고 하자. 이때 \(\lambda\)가 \(E\)의 집적점일 필요충분조건은 모든 항이 \(E \setminus \left\{ \lambda \right\}\)에 속하고 \(\lambda\)에 수렴하는 수열 \(\left\{ x_n \right\}\)이 존재하는 것이다.

증명

먼저 필요조건을 증명하자. \(\lambda\)가 \(E\)의 집적점이라고 하자. \(n\)이 자연수일 때 \(\frac{1}{n} > 0\)이므로 \[0 < \left\lvert \lambda - x_n \right\rvert < \frac{1}{n} \] 인 \(x_n \in E\)가 존재한다. 이때 \(\left\{ x_n \right\}\)은 모든 항이 \(E \setminus \left\{ \lambda \right\}\)에 속하고 \(\lambda\)에 수렴하는 수열이다.

다음으로 충분조건을 증명하자. \(\left\{ x_n \right\}\)이 모든 항이 \(E \setminus \left\{ \lambda \right\}\)에 속하고 \(\lambda\)에 수렴하는 수열이라고 하자. 그리고 \(\epsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자. 그러면 극한의 정의에 의하여 \(\left\lvert x_n - \lambda \right\rvert < \epsilon\)인 항 \(x_n\)이 존재한다. 그런데 \(x_n \ne \lambda\)이므로 \(0 < \,\)\(\left\lvert x_n - \lambda \right\rvert < \epsilon\)이다. 그러므로 \(\lambda\)는 \(E\)의 집적점이다.

정리 4. (닫힌 집합과 도집합의 관계)

\(F\)가 \(\mathbb{R}\)의 부분집합이라고 하자. 이때 \(F\)가 닫힌 집합일 필요충분조건은 자신의 집적점을 모두 원소로 갖는 것, 즉 \(F ' \subseteq F\)인 것이다.

증명

먼저 필요조건을 증명하자. \(F\)가 닫힌 집합이라고 하자. 그리고 \(\lambda\)가 \(F\)의 집적점이라고 하자. 그러면 모든 항이 \(F \setminus \left\{ \lambda \right\}\)에 속하고 \(\lambda\)에 수렴하는 수열 \(\left\{ x_n \right\}\)이 존재한다. 그런데 \(F\)가 닫힌 집합이므로 모든 항이 \(F\)에 속하는 수열이 수렴하면 그 극한은 \(F\)에 속한다. 즉 \(\lambda \in F\)이다. 그러므로 \(F\)는 모든 집적점을 원소로 가진다.

다음으로 충분조건을 증명하자. \(F\)가 자신의 집적점을 모두 원소로 가진다고 하자. 그리고 \(\left\{ x_n \right\}\)이 모든 항이 \(F\)에 속하고 \(\lambda\)에 수렴하는 수열이라고 하자. 만약 \(\lambda\)가 \(F\)에 속하지 않는다면 임의의 \(n\)에 대하여 \(x_n \ne \lambda\)이므로 정리 3에 의하여 \(\lambda\)는 \(F\)의 집적점이다. 따라서 정리의 가정에 의하여 \(\lambda\)는 \(F\)에 속한다. 이것은 모순이므로 \(\left\{ x_n \right\}\)의 극한값은 \(F\)에 속한다. 즉 \(F\)의 점으로 만들어진 수열이 수렴하면 그 극한이 \(F\)에 속하므로 \(F\)는 닫힌 집합이다.

정의 4. (폐포)

\(E\)가 \(\mathbb{R}\)의 부분집합이라고 하자. \(E\)를 포함하는 닫힌 집합 중 가장 작은 것을 \(E\)의 폐포(closure) 또는 닫개라고 부르고 \(\overline{E}\)로 나타낸다. 즉 \(E\)를 포함하는 모든 닫힌 집합들의 모임을 \(\left\{ F_i \,\vert\, i\in I \right\}\)라고 하면 \[\overline{E} = \bigcap _{i\in I} F_i\] 이다.

폐포는 닫힌 집합들의 교집합이므로 닫힌 집합이다. 또한 \(E\)가 닫힌 집합이면 \(E\)를 포함하는 닫힌 집합 중 가장 작은 것은 \(E\) 자신이므로 \(\overline{E} = E\)이다.

정리 5. (폐포와 도집합의 관계)

\(E\)가 \(\mathbb{R}\)의 부분집합일 때, \(\overline{E} = E \cup E ' \)이다.

증명

\(E = \varnothing\)이거나 \(E = \mathbb{R}\)인 경우는 자명하므로, \(E\)가 공집합이 아니고 \(\mathbb{R}\)도 아니라고 하자.

먼저 \(\overline{E} \subseteq E\cup E ' \)을 증명하자. \(\lambda\in \overline{E}\)라고 하자. 그러면 \(\lambda\in E\)이거나 \(\lambda\notin E\)이다. \(\lambda\in E\)이면 당연히 \(\lambda\in E\cup E ' \)이므로, \(\lambda\notin E\)인 경우만 생각하면 된다. 만약 \(\lambda\notin E ' \)이라면 \(\lambda\)는 \(E\)의 집적점이 아니다. 따라서 집적점의 정의에 의하여 \(\epsilon > 0\)이 존재하여 임의의 \(x\in E\)에 대하여 \(\left\lvert \lambda -x \right\rvert \ge \epsilon\)이 성립한다. 그러므로 \[B_{\epsilon}(\lambda) = (\lambda - \epsilon ,\, \lambda + \epsilon )\] 은 열린 집합이며 \(E\)의 원소를 하나도 갖지 않는다. \(F_\lambda = \mathbb{R} \setminus B_{\epsilon}(\lambda )\)라고 하면 정리 1에 의하여 \(F_\lambda\)는 \(E\)를 포함하는 닫힌 집합이며 \(\lambda\)를 원소로 갖지 않는다. \(\overline{E}\)는 \(E\)를 포함하는 닫힌 집합 중 가장 작은 것이므로 \(\overline{E} \subseteq F_{\lambda}\)이다. 그러므로 \(\lambda\)는 \(\overline{E}\)에 속하지 않는다. 이것은 모순이므로 \(\lambda \in E '\)일 수밖에 없다. 이로써 \[\lambda \in \overline{E} \quad \Rightarrow \quad \lambda \in E \cup E '\] 이 증명되었다.

다음으로 \(\overline{E} \supseteq E\cup E ' \)을 증명하자. \(\lambda \in E \cup E ' \)이라고 하자. \(\lambda \in E\)이면 당연히 \(\lambda \in \overline{E}\)이므로, \(\lambda \in E ' \)인 경우만 생각하면 된다. 만약 \(\lambda \notin \overline{E}\)라면, \(\mathbb{R} \setminus \overline{E}\)가 열린 집합이므로, \((\lambda - \epsilon ,\, \lambda + \epsilon ) \subseteq (\mathbb{R} \setminus \overline{E})\)인 \(\epsilon > 0\)이 존재한다. 그런데 \(\lambda \in E ' \)이므로 모든 항이 \(E\)에 속하고 \(\lambda\)에 수렴하는 수열 \(\left\{ x_n \right\}\)이 존재한다. 수열의 극한의 정의에 의하여 \(x_n \in (\lambda - \epsilon ,\, \lambda + \epsilon )\)인 항 \(x_n\)이 존재한다. 이 항 \(x_n\)은 \(\overline{F}\)에 속하지 않으므로 \(F\)에도 속하지 않는다. 이것은 모순이므로 \(\lambda\in\overline{E}\)일 수밖에 없다. 이로써 \[\lambda \in E\cup E ' \quad \Rightarrow \quad \lambda \in \overline{E}\] 가 증명되었다.

유계인 수열은 집적점을 가진다. 이와 같은 성질을 집합에서도 생각할 수 있다.

정리 6. (집합에 대한 볼차노-바이어슈트라스 정리)

\(E\)가 \(\mathbb{R}\)의 부분집합이라고 하자. 만약 \(E\)가 유계이고 무한집합이면 \(E\)의 집적점이 존재한다.

증명

\(E\)가 무한집합이므로 \(E\)는 가부번인 부분집합을 포함한다. 그러므로 \(E\)의 원소로 이루어져 있고 서로 겹치는 항이 없는 수열 \(\left\{ x_n \right\}\)이 존재한다. 그런데 이러한 수열 \(\left\{ x_n \right\}\)은 유계이므로 수렴하는 부분수열 \(\left\{ x_{n_k} \right\}\)가 존재한다. \(\left\{ x_{n_k} \right\}\)의 극한값을 \(\lambda\)라고 하자. \(\left\{ x_{n_k} \right\}\)의 모든 항은 \(E\)에 속하며, \(\left\{ x_{n_k} \right\}\)의 항 중에서 \(\lambda\)와 일치하는 것은 많아야 하나 존재하므로 정리 3에 의하여 \(\left\{ x_{n_k} \right\}\)의 극한값 \(\lambda\)는 \(E\)의 집적점이다.

컴팩트 집합

\(K\)가 \(\mathbb{R}\)의 부분집합이고 \(\mathcal{C} = \left\{ \mathcal{O}_i \,\vert\, i \in I \right\}\)의 모든 원소가 열린 집합이라고 하자. 만약 \[K \subseteq \bigcup_{i\in I} \mathcal{O}_i\] 이면 \(\mathcal{C}\)를 \(K\)의 열린 덮개(open covering)라고 부른다. \(\mathcal{C} '\)이 \(\mathcal{C}\)의 부분집합이고 \(K\)의 덮개이면 \(\mathcal{C} '\)을 ‘\(K\)를 덮는 \(\mathcal{C}\)의 부분덮개’라고 부른다.

정의 5. (컴팩트 집합)

\(K\)가 \(\mathbb{R}\)의 부분집합이라고 하자. 만약 \(K\)를 덮는 ‘임의의’ 열린 덮개가 \(K\)를 덮는 유한부분덮개를 가지면 \(K\)를 컴팩트 집합 또는 옹골 집합 또는 긴밀 집합이라고 부른다.

\(K\)가 컴팩트 집합임을 보이려면 \(K\)를 덮는 모든 열린 덮개가 유한인 부분덮개를 가짐을 보여야 한다. 반면에 \(K\)가 컴팩트 집합이 아님을 보이려면 자신은 \(K\)를 덮지만 유한부분덮개는 \(K\)를 덮지 못하는 열린 덮개가 하나 이상 존재함을 보이면 된다.

보기 1.

  1. 유한집합은 컴팩트 집합이다. \[K = \left\{ x_1 ,\, x_2 ,\, \cdots ,\, x_n \right\}\]이고 \(\mathcal{C} = \left\{ \mathcal{O}_i \,\vert\, i\in I\right\}\)가 \(K\)의 열린 덮개라고 하자. 그러면 각 \(x_j\)에 대하여 \(x_j \in \mathcal{O}_{i_j}\)인 \(\mathcal{O}_{i_j}\)가 존재한다. \[\mathcal{C} ' = \left\{ \mathcal{O}_{j_1} ,\, \mathcal{O}_{j_2} ,\, \cdots ,\, \mathcal{O}_{j_n}\right\}\]은 \(K\)를 덮는 유한덮개이다.
  2. \(\mathbb{Z}\)는 컴팩트 집합이 아니다. \(\mathcal{O}_z = (z-1,\, z+1)\)이라고 하면 \[\mathcal{C} = \left\{ \mathcal{O}_z \,\vert\, z\in \mathbb{Z}\right\}\] 는 \(\mathbb{Z}\)의 열린 덮개이지만 \(\mathbb{Z}\)를 덮는 유한인 부분덮개가 존재하지 않는다.
  3. \(E = (0,\,1) \cap \mathbb{Q}\)는 컴팩트 집합이 아니다. 왜냐하면 \[\mathcal{O}_i = \left( \frac{\pi}{i+1} ,\, \frac{\pi}{i}\right)\] 이라고 하면 \(\mathcal{C} = \left\{ \mathcal{O}_i \,\vert\, i\in \mathbb{N} \right\}\)은 \(E\)의 열린 덮개이지만 \(E\)를 덮는 유한인 부분덮개가 존재하지 않기 때문이다.

다음 정리는 \(\mathbb{R}\)의 부분집합이 컴팩트인지 여부를 쉽게 판별하는 방법을 알려준다.

정리 7. (하이네-보렐 정리)

\(K\)가 \(\mathbb{R}\)의 부분집합이라고 하자. 이때 \(K\)가 컴팩트 집합일 필요충분조건은 \(K\)가 유계이고 닫힌 집합인 것이다.

증명

먼저 필요조건을 증명하자. \(K\)가 컴팩트 집합이라고 하자. \(K\)가 유계라는 것과 \(K\)가 닫힌 집합이라는 것을 보여야 한다.

\(\mathcal{C} = \left\{ (-n ,\, n) \,\vert\, n\in\mathbb{N} \right\}\)은 \(\mathbb{R}\)의 열린 덮개이므로 \(K\)의 열린 덮개이기도 하다. \(K\)가 컴팩트 집합이므로 \(\mathcal{C}\)의 원소 중 유한 개를 사용하여 \(K\)를 덮을 수 있다. \(\mathcal{C}\)의 원소는 \((-n,\,n)\) 꼴이므로, \(\mathcal{C}\)의 원소 중 유한 개를 택한다면 그 원소 중에서 가장 큰 것을 택할 수 있다. 그것을 \((-m,\,m)\)이라고 하자. 그러면 \(K \subseteq (-m,\,m)\)이고 \(m\)은 자연수이므로 \(K\)는 유계이다.

다음으로 \(K\)가 닫힌 집합임을 보이자. 만약 \(K\)가 닫힌 집합이 아니라면 \(K\)의 집적점 중에서 \(K\)에 속하지 않는 것이 존재한다. 그 집적점을 \(\lambda\)라고 하자. 자연수 \(i\)에 대하여 \[\mathcal{O}_i = \mathbb{R} \setminus \left[ \lambda - \frac{1}{i} ,\, \lambda + \frac{1}{i} \right]\] 이라고 하면 \(\mathcal{C} = \left\{ \mathcal{O}_i \,\vert\, i\in\mathbb{N} \right\}\)은 \(K\)의 열린 덮개이다. \(K\)가 컴팩트 집합이므로 \(\mathcal{C}\)의 유한 개의 원소 \[\mathcal{O}_{i_1} ,\,\mathcal{O}_{i_2} ,\, \cdots ,\, \mathcal{O}_{i_k}\] 가 존재하여 이 원소들의 합집합으로 \(K\)를 덮을 수 있다. \(i_1,\) \(i_2,\) \(\cdots,\) \(i_k\) 중 가장 큰 값을 \(i_M\)이라고 하면 \(K \subseteq \mathcal{O}_{i_M}\) 즉 \[K \cap \left[ \lambda - \frac{1}{i_M} ,\, \lambda+ \frac{1}{i_M} \right] = \varnothing\] 이다. 이것은 \(\lambda\)가 \(K\)의 집적점이라는 사실에 모순이다. 그러므로 \(K\)는 닫힌 집합이다.

이제 충분조건을 증명하자. \(K\)가 유계이고 닫힌 집합이라고 하자. 만약 \(K\)가 컴팩트 집합이 아니라면 자기 자신은 \(K\)를 덮지만 유한인 부분집합은 \(K\)를 덮을 수 없는 열린 덮개 \(\mathcal{C} = \left\{ \mathcal{O}_i \,\vert\, i\in I \right\}\)가 존재한다. \(K\)가 유계이므로 \(K \subseteq [-B ,\, B]\)인 \(B > 0\)이 존재한다. \(I_0 = [-B ,\,B]\)를 잘라서 길이가 같은 두 개의 닫힌 구간 \([ -B ,\, 0],\) \([0,\,B]\)를 만들었을 때, 두 닫힌 구간 중 하나 이상은 \(K\)와 교집합했을 때 \(\mathcal{C}\)의 유한 개의 원소에 의하여 덮이지 않는다. 그러한 닫힌 구간을 택하여 \(I_1 = \left[ \alpha_1 ,\, \beta_1 \right]\)이라고 하자. \(I_1\)을 잘라서 길이가 같은 두 개의 닫힌 구간 \[\left[ \alpha_1 ,\, \frac{\alpha_1 + \beta_1}{2} \right] ,\,\, \left[ \frac{\alpha_1 + \beta_1}{2} ,\, \beta_1 \right] \] 을 만들었을 때, 두 닫힌 구간 중 하나 이상은 \(K\)와 교집합했을 때 \(\mathcal{C}\)의 유한 개의 원소에 의하여 덮이지 않는다. 그러한 닫힌 구간을 택하여 \(I_2 = \left[ \alpha_2 ,\, \beta_2 \right]\)라고 하자. 이와 같은 과정을 반복하여[수학적 귀납법을 이용하여] 축소하는 닫힌 구간 \(I_k\)를 얻는다.

임의의 자연수 \(k\)에 대하여 \(I_k \cap K\)는 \(\mathcal{C}\)의 유한 개의 원소에 의하여 덮이지 않으므로 \(x_k \in I_k \cap K\)가 존재한다. \(\left\{ \alpha_n \right\}\)과 \(\left\{ \beta_n \right\}\)은 단조수렴 정리에 의하여 수렴하고, 두 수열의 극한값이 같으며 임의의 \(k\)에 대하여 \(\alpha_k \le x_k \le \beta_k\)이므로 샌드위치 정리에 의하여 \(\left\{x_n \right\}\)도 수렴한다. 그 극한값을 \(\lambda\)라고 하자.

\(\left\{x_n \right\}\)의 모든 항이 \(K\)에 속하고 \(K\)가 닫힌 집합이므로 \(\lambda\in K\)이다. \(\mathcal{C}\)가 \(K\)의 열린 덮개이고 \(\lambda\)는 \(K\)에 속하는 한 점이므로 \(\lambda\in\mathcal{O}_j\)인 \(\mathcal{O}_j\)가 존재한다. \(\mathcal{O}_j\)가 열린 집합이므로 \(\lambda \in (\lambda - \epsilon ,\, \lambda+ \epsilon ) \subseteq \mathcal{O}_j\)인 \(\epsilon > 0\)이 존재한다. \(\left\{ \alpha_n \right\}\)과 \(\left\{ \beta_n \right\}\)이 모두 \(\lambda\)에 수렴하므로 \[\left[\alpha_m ,\, \beta_m \right] \subseteq (\lambda - \epsilon ,\, \lambda+\epsilon ) \subseteq \mathcal{O}_j\] 가 되도록 하는 \(m\)이 존재한다. 즉 \(I_m\)은 \(\mathcal{C}\)의 단 하나의 원소에 의하여 덮이므로 \(I_m \cap K\) 또한 \(\mathcal{C}\)의 단 하나의 원소에 의하여 덮인다. 이것은 임의의 \(k\)에 대하여 \(I_k \cap K\)가 \(\mathcal{C}\)의 유한 개의 원소에 의하여 덮이지 않는다는 사실에 모순이다. 따라서 \(K\)를 덮는 유한인 부분덮개가 존재하지 않는 열린 덮개 \(\mathcal{C}\)는 존재하지 않는다. 즉 \(K\)는 컴팩트 집합이다.

균등연속

함수 \(f : D \to \mathbb{R}\)가 \(c\)에서 연속이라는 것은 \[(\forall \epsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in D )( \lvert x-c \rvert < \delta \,\,\rightarrow\,\, \lvert f(x) - f(c) \rvert < \epsilon)\] 이 참임을 의미한다. 여기서 \(\delta\)는 \(\epsilon\)과 \(c\)의 값에 따라 결정되는 양수이다.

예컨대 함수 \[f(x) = \frac{1}{x}\] 을 생각하자. 이 함수는 \((0,\, \infty )\)에서 연속이다. \(\epsilon = 1,\) \(c=10\)일 때 \(\delta = 2\)로 두면 충분하다. 그러나 동일한 \(\epsilon = 1\)에 대하여 \(c = 1\)일 때에는 \(\delta = 2\)로 두면 충분하지 않다. 이때에는 \(\delta = 0.5\)로 두어야 한다.

하지만 함수에 따라서는 주어진 \(\epsilon\)에 대하여 \(\delta\)의 값이 정해지고 나면 점 \(c\)가 정의역 \(E\)의 어느 곳에 있든 상관 없이 모든 \(c\)와 \(x\)에 대하여 \[ ( \lvert x-c \rvert < \delta) \,\to\, ( \lvert f(x) - f(c) \rvert < \epsilon )\] 이 성립하는 경우가 있다. 이러한 함수를 \(E\)에서 균등연속인 함수라고 부른다. 정확한 정의는 다음과 같다.

정의 6. (균등연속)

\(E\)가 \(\mathbb{R}\)의 부분집합이고 함수 \(f\)가 \(E\)를 포함하는 집합에서 정의되었다고 하자. 만약 임의의 \(\epsilon > 0\)에 대하여 \(\delta > 0\)가 존재하여 \(\left\lvert x_1 - x_2 \right\rvert < \delta\)인 모든 \(x_1 ,\) \(x_2 \in E\)에 대하여 \(\left\lvert f \left( x_1 \right) - f\left( x_2 \right) \right\rvert < \epsilon\)이 성립하면 ‘\(f\)는 \(E\)에서 균등연속이다’라고 말한다.

정의 6을 기호로 나타내면 다음과 같다. \[\left(\forall \epsilon > 0\right)\left(\exists \delta > 0\right)\left(\forall x_1 \in E\right)\left(\forall x_2 \in E\right)\left( \left\lvert x_1 - x_2 \right\rvert < \delta \,\,\rightarrow\,\, \left\lvert f\left( x_1 \right) - f\left( x_2 \right) \right\rvert < \epsilon \right)\] 함수의 식이 같더라도 어느 집합 위에서 따지느냐에 따라 균등연속일 수도 있고 아닐 수도 있다. 다음 예를 보자.

보기 2.

  1. \(f\)가 일차함수이고 \(f(x) = ax+b\)라고 하자. 그러면 \(f\)는 \(\mathbb{R}\)에서 균등연속이다. 왜냐하면 임의의 \(\epsilon > 0\)에 대하여 \(\delta = \frac{\epsilon}{\lvert a \rvert}\)이라고 두면 되기 때문이다.
  2. \(f(x) = x^2\)이면 \(f\)는 \(\mathbb{R}\)에서 균등연속이 아니다. \(\epsilon = 1\)일 때 \(\delta > 0\)가 무엇이 주어지든 \(x_1 ,\) \(x_2 = x_1 + \frac{\delta}{2}\)를 충분히 크게 하여 \(\left\lvert f\left( x_1 \right) - f\left( x_2 \right) \right\rvert \ge 1\)이 되도록 할 수 있기 때문이다.
  3. \(f(x)=x^2\)이면 \(f\)는 \([0,\,2]\)에서 균등연속이다. 왜냐하면 임의의 \(\epsilon > 0\)에 대하여 \(\delta = \frac{\epsilon}{4}\)으로 두면 되기 때문이다.

위 보기에서 보다시피 연속인 함수가 모두 균등연속인 것은 아니다. 그러나 컴팩트 집합 위에서는 이야기가 다르다.

정리 8. (컴팩트 집합 위에서의 균등연속성)

\(K\)가 공집합이 아닌 컴팩트 집합이고 \(f\)가 \(K\)에서 연속이 함수라고 하자. 그러면 \(f\)는 \(K\)에서 균등연속이다.

증명

결론에 반하여 \(f\)가 \(K\)에서 균등연속이 아니라고 하자. 그리고 자연수 \(n\)에 대하여 \(\delta_n = \frac{1}{n}\)이라고 하자. 그러면 \(\epsilon > 0\)이 존재하여 임의의 자연수 \(n\)에 대하여 \(K\)의 두 점 \(s_n\)과 \(t_n\)이 존재하여 \[\left\lvert s_n - t_n \right\rvert < \delta_n \,\,\,\text{and}\,\,\, \left\lvert f\left( s_n \right) - f\left( t_n \right) \right\rvert \ge \epsilon\] 을 만족시킨다. \(\left\{ s_n \right\}\)이 유계인 수열이므로 수렴하는 부분수열 \(\left\{ s_{n_k} \right\}\)가 존재한다. \(\left\{ s_{n_k} \right\}\)의 극한값을 \(\lambda\)라고 하자. \(\left\lvert s_{n_k} - t_{n_k} \right\rvert < \,\)\( \delta_{n_k}\)이고 \(k\to\infty\)일 때 \(\delta_{n_k} \to 0\)이므로 \(\left\{ t_{n_k}\right\}\) 또한 \(\lambda\)로 수렴하는 부분수열이다. \(K\)가 닫힌 집합이므로 \(\lambda\in K\)이다.

\(f\)가 \(K\)에서 연속이고 \(\lambda \in K\)이므로 \(f\)는 \(\lambda\)에서 연속이다. 또한 \(k\to\infty\)일 때 \(s_{n_k} \to \lambda ,\) \(t_{n_k} \to \lambda\)이므로 \[\lim_{k\to\infty} f\left( s_{n_k}\right) = \lim_{k\to\infty} f\left( t_{n_k} \right) = f(\lambda )\] 이다. 이것은 임의의 \(k\)에 대하여 \[\left\lvert f\left( s_{n_k} \right) - f\left( t_{n_k} \right) \right\rvert \ge \epsilon\] 이라는 사실에 모순이다. 그러므로 \(f\)가 \(K\)에서 균등연속이다.

다음 정리는 연속함수의 적분 가능성을 증명할 때 사용된다.

따름정리 9. 함수 \(f\)가 길이가 양수인 닫힌 구간 \([a,\,b]\)에서 연속이면 \(f\)는 \([a,\,b]\)에서 균등연속이다.

증명

하이네-보렐 정리에 의하여 \([a,\,b]\)가 컴팩트 집합이므로 정리 8에 의하여 \(f\)는 \([a,\,b]\)에서 균등연속이다.