무한급수가 수렴하는지 판별하는 방법을 수렴 판정법(convergence test) 또는 간단히 판정법(test)이라고 부른다. 이 포스트에서는 무한급수의 다양한 판정법을 살펴본다.
양항급수의 수렴 판정법
모든 항이 \(0\) 이상인 수열의 무한급수를 양항급수라고 부른다. 양항급수의 판정법을 이용하면 양항이 아닌 급수에 대해서도 절대수렴 여부를 판정할 수 있기 때문에, 양항급수 판정법은 수렴 판정법의 기본이다.
정리 1. (유계 판정법)
\(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)이 양항급수일 때, \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)이 수렴할 필요충분조건은 그 부분합 수열 \(\sum_{k=1}^{n} a_k\)가 유계인 것이다.
증명
수렴하는 수열은 유계이므로, 수렴하는 무한급수의 부분합 수열은 당연히 유계이다.
이제 역을 증명하자. 부분합 수열 \(s_n = \sum_{k=1}^{n} a_k\)가 유계라고 가정하자. 부분합 수열 \(\left\{ s_n \right\}\)은 증가수열이므로 단조수렴 정리에 의하여 수렴한다. 그러므로 무한급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)이 수렴한다.
다음 정리는 감소하는 양항수열의 무한급수와 적분의 관계를 보여준다.
정리 2. (적분 판정법)
\(N\)이 상수이고, \(f\)가 \([N,\,\infty )\)에서 정의된 단조감소 함수이며 \(n \ge N\)인 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_n = f(n)\)이라고 하자. 이때 무한급수 \(\sum_{n=N}^{\infty} a_n\)이 수렴할 필요충분조건은 이상적분 \[\int_{N}^{\infty} f(x) dx\tag{1}\] 가 수렴하는 것이다.
증명
\(k > N\)인 자연수 \(k\)에 대하여 \[ a_{k+1} = \int_{k}^{k+1} a_{k+1} \,dx \le \int_{k}^{k+1} f(x) \,dx \le \int_{k}^{k+1} a_k \,dx = a_k\tag{2}\] 이므로 \[ \sum_{k=N}^{n} a_{k+1} \le \int_{N}^{n+1} f(x)\,dx \le \sum_{k=N}^{n} a_k \tag{3}\] 이다. 만약 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)이 수렴하면 (3)의 두 번째 부등식에 의하여 이상적분 (1)도 수렴한다. 만약 이상적분 (1)이 수렴하면 (3)의 첫 번째 부등식에 의하여 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)은 수렴한다.
보기 1. 무한급수 \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}\] 이 수렴할 필요충분조건을 구해보자. 만약 \( p \le 0\)이면 주어진 무한급수는 당연히 발산한다. 만약 \(p>0\)이면 이상적분 \[\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^p} dx\] 가 수렴할 필요충분조건은 \(p > 1\)인 것이므로, 적분 판정법에 의하여 무한급수 \(\sum \frac{1}{n^p}\)이 수렴할 필요충분조건 또한 \(p > 1\)이 된다.
이와 같은 방법으로 \(\sum \frac{1}{n^p}\)의 수렴성을 판별하는 판정법을 p-급수 판정법(p-series test)이라고 부른다.
정리 2에서 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)이 수렴하고 그 값을 \(S\)라고 가정하자. 그리고 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)의 부분합 \(s_n = \sum_{k=1}^{n} a_k\)에 대하여 오차(remainder)를 \(R_n = S-s_n\)이라고 하자. 그러면 부등식 (2)에 의하여 다음을 얻는다.
적분 판정법에서 수렴하는 무한급수의 나머지항의 오차의 한계 공식
\[\int_{n+1}^{\infty} f(x) \,dx \le R_n \le \int_{n}^{\infty} f(x) dx\] 단, 여기서 \(n > N\)이다.
이번에는 다른 무한급수와 비교하여 판정하는 방법을 살펴보자.
정리 3. (비교 판정법)
\(\sum a_n\)과 \(\sum b_n\)이 양항급수라고 하자. 만약 자연수 \(N\)이 존재하여 임의의 \(n > N\)에 대하여 \(a_n \le b_n\)을 만족시키면, 다음이 성립한다.
- \(\sum b_n\)이 수렴하면 \(\sum a_n\)도 수렴한다.
- \(\sum a_n\)이 발산하면 \(\sum b_n\)도 발산한다.
증명
[1] \(\sum b_n\)이 수렴하면 \(\sum a_n\)의 부분합 수열이 유계이므로 정리 1에 의하여 \(\sum a_n\)은 수렴한다.
[2] \(\sum a_n\)이 발산하면 \(\sum b_n\)의 부분합 수열은 위로 유계가 아니므로 정리 1에 의하여 \(\sum b_n\)은 발산한다.
정리 4. (극한 비교 판정법)
자연수 \(N\)이 존재하여 임의의 \(n > N\)에 대하여 \(a_n > 0,\) \(b_n > 0\)을 만족시키면, 다음이 성립한다.
- \(a_n / b_n \,\to\, c\)이고 \(0 < c < \infty\)이면, \(\sum a_n\)과 \(\sum b_n\)의 수렴성은 서로 동치이다.
- \(a_n / b_n \,\to\, 0\)이고 \(\sum b_n\)이 수렴하면 \(\sum a_n\)도 수렴한다.
- \(a_n / b_n \,\to\, \infty\)이고 \(\sum b_n\)이 발산하면 \(\sum a_n\)도 발산한다.
증명
[1] \(\epsilon = c/2\)라고 두면, \(N\)보다 더 큰 자연수 \(N_1\)이 존재하여 \(n > N_1\)일 때마다 \[ c - \epsilon < \frac{a_n}{b_n} < c+ \epsilon\] 즉 \[\frac{c}{2} b_n < a_n < \frac{3c}{2} b_n\] 이 성립한다. 이 부등식을 이용하면 비교 판정법에 의하여 \(\sum a_n\)의 수렴성과 \(\sum b_n\)의 수렴성이 동치라는 결론을 얻는다.
[2] \(\epsilon = 1\)이라고 두면, \(N\)보다 더 큰 자연수 \(N_1\)이 존재하여 \(n > N_1\)일 때마다 \[0-\epsilon < \frac{a_n}{b_n} < 0+\epsilon\] 즉 \[ -b_n < a_n < b_n\] 이 성립한다. 그러므로, 만약 \(\sum b_n\)이 수렴하면 비교 판정법에 의하여 \(\sum a_n\)도 수렴한다.
[3] \(a_n / b_n \,\to\,\infty\)이므로, \(N\)보다 더 큰 자연수 \(N_1\)이 존재하여 \(n > N_1\)일 때마다 \[\frac{a_n}{b_n} > 1\] 즉 \[a_n > b_n\] 이 성립한다. 그러므로, 만약 \(\sum b_n\)이 발산하면 비교 판정법에 의하여 \(\sum a_n\)도 발산한다.
무한급수의 절대수렴 판정법
양항급수의 판정법을 이용하면 주어진 급수가 절대수렴하는지 여부를 판정할 수 있다.
무한급수 \[\sum_{n=1}^{\infty} \left\lvert a_n \right\rvert\] 이 수렴할 때 ‘\(\sum a_n\)은 절대수렴한다’라고 말한다. 그리고 무한급수가 수렴하지만 절대수렴하지 않는 경우, ‘무한급수는 조건수렴한다’라고 말한다.
정리 5. 절대수렴하는 무한급수는 수렴한다.
증명
무한급수 포스트의 정리 2에서 증명하였다.
이제 주어진 무한급수가 절대수렴하는지를 판정하는 가장 대표적인 두 개의 판정법을 살펴보자. 이 두 판정법은 뒤에서 거듭제곱급수의 수렴반경을 구할 때 사용된다.
정리 6. (비 판정법)
\(\sum a_n\)이 무한급수이고, 자연수 \(N\)이 존재하여 \(n > N\)일 때 \(a_n \ne 0\)이라고 하자. 그리고 \[\lim_{n\to\infty} \left\lvert \frac{a_{n+1}}{a_n} \right\rvert = \rho\] 라고 하자. 이때 다음이 성립한다.
- 만약 \(\rho < 1\)이면 \(\sum a_n\)은 절대수렴한다.
- 만약 \(\rho > 1\)이면 \(\sum a_n\)은 발산한다. (여기서 \(\rho\)는 무한대일 수도 있다.)
- 만약 \(\rho = 1\)이면 비 판정법으로 판정할 수 없다.
증명
표기를 간단하게 하기 위해 \(b_n = \left\lvert a_n \right\rvert\)이라고 하자.
[1] \(\epsilon = (1-\rho) / 2\)라고 하자. \(b_{n_1} / b_n \to \rho\)이므로 \(N\)보다 큰 자연수 \(N_1\)이 존재하여 \(k \ge N_1\)일 때 \[\frac{b_{k+1}}{b_k} < \rho + \epsilon\] 을 만족시킨다. \(n > N_1\)일 때 \[b_n = \frac{b_n}{b_{n-1}} \frac{b_{n-1}}{b_{n-2}} \cdots \frac{b_{N_1 +1}}{b_{N_1}} b_{N_1} < (\rho + \epsilon)^{n-N_1} b_{N_1}\] 이므로 \[\sum_{k=N_1 +1}^{n} b_k < \sum_{k=N_1 +1}^{n} (\rho + \epsilon)^{k-N_1} b_{N_1}\] 이다. 여기서 \(n\to\infty\)인 극한을 취하면, 부등식의 우변은 공비의 절댓값이 \(1\)보다 작은 등비수열의 합이므로 수렴하며, 양항급수의 비교 판정법에 의하여 좌변도 수렴한다. 즉 \(\sum b_n\)이 수렴하므로 \(\sum a_n\)은 절대수렴한다.
[2] \(\left\lvert a_n \right\rvert \to \infty\)이므로 \(\sum a_n\)은 발산한다.
[3] \(\sum (1/n)\)과 \(\sum \left( 1/n^2 \right)\)은 모두 비 판정법을 적용했을 때 \(\rho = 1\)인 무한급수이지만 앞의 것은 발산하고 뒤의 것은 수렴한다.
정리 7. (제곱근 판정법)
\(\sum a_n\)이 무한급수이고 \[\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\left\lvert a_n \right\rvert} = \rho\] 라고 하자. 이때 다음이 성립한다.
- 만약 \(\rho < 1\)이면 \(\sum a_n\)은 절대수렴한다.
- 만약 \(\rho > 1\)이면 \(\sum a_n\)은 발산한다. (여기서 \(\rho\)는 무한대일 수도 있다.)
- 만약 \(\rho = 1\)이면 제곱근 판정법으로 판정할 수 없다.
증명
표기를 간단하게 하기 위해 \(b_n = \left\lvert a_n \right\rvert\)이라고 하자.
[1] \(\epsilon = (1-\rho) /2\)라고 하자. 그러면 자연수 \(N\)이 존재하여 \(k \ge N\)일 때 \[\sqrt[k]{b_k} < \rho + \epsilon\] 을 만족시킨다. 양변을 \(k\)제곱하면 \[b_k < (\rho + \epsilon)^k\] 을 얻는다. \(n > N\)일 때 \[\sum_{k=N}^{n} b_k < \sum_{k=N}^{n} (\rho + \epsilon)^k\] 이다. 여기서 \(n\to\infty\)인 극한을 취하면, 부등식의 우변은 공비의 절댓값이 \(1\)보다 작은 등비수열의 합이므로 수렴하며, 양항급수의 비교 판정법에 의하여 좌변도 수렴한다. 즉 \(\sum b_n\)이 수렴하므로 \(\sum a_n\)은 절대수렴한다.
[2] \(\left\lvert a_n \right\rvert \to \infty\)이므로 \(\sum a_n\)은 발산한다.
[3] \(\sum (1/n)\)과 \(\sum \left( 1/n^2 \right)\)은 모두 제곱근 판정법을 적용했을 때 \(\rho = 1\)인 무한급수이지만 앞의 것은 발산하고 뒤의 것은 수렴한다.
교대급수 판정법
양수인 항과 음수인 항이 번갈아 나타나는 수열의 무한급수를 교대급수(alternating series)라고 부른다. 교대급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n \)은 \(u_n = \left\lvert a_n \right\rvert\)에 대하여 \[\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \,u_n\tag{4}\] 또는 \[\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \,u_n\tag{5}\] 의 꼴로 나타낼 수 있다. (4)와 (5)의 수렴성은 동일하므로, 교대급수의 수렴성을 논할 때에는 (5)와 같은 형태만 살펴보아도 충분하다.
정리 8. (교대급수 판정법)
\(\left\{ u_n \right\}\)이 단조감소하는 수열이라고 하자. 이때 교대급수 \[\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \,u_n\tag{6}\] 이 수렴할 필요충분조건은 \[\lim_{n\to\infty} u_n =0\tag{7}\] 인 것이다.
증명
\(\sum (-1)^{n+1} \,u_n\)이 수렴하면 당연히 \(u_n \,\to\,0\)이다. 그러므로 역만 증명하면 된다.
\(u_n \,\to\, 0\)이라고 하자. 그리고 \[s_n = \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k+1}\,u_k\] 라고 하자. 이제 수열 \(\left\{ s_n \right\}\)이 수렴함을 보여야 한다. 짝수째 항과 홀수째 항이 각각 수렴함을 보이자. \[\begin{align} s_{2m} &= ( u_1 - u_2 ) + (u_3 - u_4) + \cdots + (u_{2m-1} -u_{2m}) \tag{8}\\[8pt] &= u_1 - (u_2 - u_3) - (u_4 - u_5 ) - \cdots - (u_{2m-2} - u_{2m-1}) - u_{2m} \tag{9} \end{align}\] 이다. (8)에 의하여 \(\left\{ s_{2m} \right\}\)은 단조증가수열이고, (9)에 의하여 \(s_{2m} \le u_1\)이므로 \(\left\{ s_{2m} \right\}\)은 위로 유계이다. 그러므로 단조수렴 정리에 의하여 \(\left\{ s_{2m} \right\}\)은 수렴한다.
비슷한 방법으로 \(\left\{ s_{2m+1} \right\}\)은 단조감소하고 아래로 유계이므로 수렴함을 보일 수 있다.
\(\left\{ s_{2m} \right\}\)의 극한값을 \(L\)이라고 하고, \(\left\{ s_{2m+1} \right\}\)의 극한값을 \(L_2\)라고 하자. 그러면 \[L_2 - L_1 = \lim_{m\to\infty} (s_{2m+1} - s_{2m} ) = \lim_{m\to\infty} u_{2m+1} = 0\tag{10}\] 이므로 \(L_1 = L_2\)이다. 즉 \(\left\{ s_{2m} \right\}\)과 \(\left\{ s_{2m+1} \right\}\)이 같은 값에 수렴하므로 \(\left\{ s_{n} \right\}\)도 수렴한다.
\(\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \,u_n = S\)라고 하고, 그 부분합을 \(s_n\)이라고 하자. 그러면 정리 8의 증명 과정에 의하여 \(\left\{ s_{2m} \right\}\)은 단조증가수열이고 \(\left\{ s_{2m+1} \right\}\)은 단조감소수열이므로 \[s_{2m} \le S \le s_{2m+1}\] 이며, (10)에 의하여 \[s_{2m+1} - s_{2m} = u_{2m+1}\] 이므로 두 식을 결합하면 다음을 얻는다.
교대급수의 부분합의 오차의 한계 공식
\[\left\lvert s_n - S \right\rvert \le u_{n+1}\]코시의 응집 판정법
다음 판정법은 로그가 포함된 무한급수의 수렴성을 판정할 때 유용하다.
정리 9. (코시의 응집 판정법)
\(\left\{ a_n \right\}\)이 단조감소하고 \(a_n \ge 0\)인 수열이라고 하자. 이때 두 무한급수 \[\sum_{n=1}^{\infty} a_n ,\quad \sum_{n=1}^{\infty} 2^n \,a_{2^n}\] 의 수렴성은 서로 동치이다.
증명
\(\sum a_n\)이 수렴한다고 가정하자. \(\left\{ a_n \right\}\)이 단조감소하므로 \[\begin{align} 2a_4 &= a_4 + a_4 \le a_3 + a_4 ,\\[8pt] 4a_8 &= a_8 + a_8 + a_8 + a_8 \le a_5 + a_6 + a_7 + a_8 ,\\[8pt] 8a_{16} &\le a_9 + a_{10} + a_{11} + \cdots + a_{16} ,\\[8pt] 16a_{32} &\le a_{17} + a_{18} + a_{19} + \cdots + a_{32} ,\\[8pt] & \,\,\vdots \end{align}\] 이다. 그러므로 임의의 자연수 \(k\)에 대하여 \[2^k \,a_{2^{k+1}} \le a_{2^k +1} + a_{2^k +2} + a_{2^k +3} + \cdots + a_{2^{k+1}}\] 이 성립한다. \(k=1\)일 때부터 \(k=n\)일 때까지 부등식을 변마다 더하면 \[\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n} 2^{k+1} \,a_{2^{k+1}} \le \sum_{k=3}^{2^{n+1}} a_k\] 를 얻는다. \(n\to\infty\)일 때 우변이 수렴하므로 좌변은 위로 유계이다. 그러므로 유계 판정법(또는 단조수렴 정리)에 의하여 \(n\to\infty\)일 때 좌변이 수렴한다.
역을 증명하자. \(\sum 2^{n}\,a_{2^n}\)이 수렴한다고 가정하자. \(\left\{ a_n \right\}\)이 단조감소하므로 \[\begin{align} 1a_1 &\ge a_1 ,\\[8pt] 2a_2 &= a_2 + a_2 \ge a_2 +a_3 ,\\[8pt] 4a_4 &= a_4 + a_4 + a_4 +a_4 \ge a_4 + a_5 + a_6 + a_7 ,\\[8pt] 8a_8 &\ge a_8 + a_9 + a_{10} + \cdots + a_{15}, \\[8pt] & \,\,\vdots \end{align}\] 이다. 그러므로 임의의 자연수 \(k\)에 대하여 \[2^k\,a_{2^k} \ge a_{2^k} + a_{2^k +1} + a_{2^k +2} + \cdots + a_{2^{k+1}-1}\] 이 성립한다. \(k=0\)일 때부터 \(k=n\)일 때까지 부등식을 변마다 더하면 \[\sum_{k=0}^n 2^k \,a_{2^k} \ge \sum_{k=2}^{2^{n+1}-1} a_k\] 를 얻는다. \(n\to\infty\)일 때 좌변이 수렴하므로 우변은 위로 유계이다. 즉 \(\sum a_n\)의 부분합 \(s_n\)의 부분수열이 위로 유계이다. 그런데 \(\left\{ s_n \right\}\)은 단조증가하는 수열이므로 한 부분수열이 유계이기만 하면 \(\left\{ s_n \right\}\)도 유계이다. 그러므로 유계 판정법(또는 단조수렴 정리)에 의하여 \(\sum a_n\)은 수렴한다.
코시의 응집 판정법은 ‘\(2^n\)-판정법’이라고도 불린다.