무한급수는 오래 전부터 수학자들을 당혹스럽게 만든 주제 중 하나였다. 예컨대 \[1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \cdots\] 는 양수를 무한히 많이 더함에도 불구하고 수렴하지만 \[ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots\] 은 발산한다. 제논의 역설도 고대에 무한급수가 수학자들을 얼마나 괴롭혔는지를 보여주는 방증이다.
이 포스트에서는 무한급수를 정의하고 중요한 성질을 살펴본다.
무한급수의 뜻
무한수열 \[a_1 ,\,\, a_2 ,\,\, a_3 ,\,\, \cdots\] 이 주어졌을 때, 이 무한수열의 모든 항을 순서대로 덧셈 기호로 결합하여 만든 식 \[a_1 + a_2 + a_3 + \cdots\] 을 무한급수(infinite series)라고 부르고 \[\sum_{n=1}^{\infty} a_n \tag{1}\] 으로 나타낸다. 그리고 \(n\)이 자연수일 때, \[\sum_{k=1}^{n} a_k \tag{2}\] 를 무한급수 (1)의 부분합(partial sum)이라고 부른다. 만약 부분합의 극한 \[\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} a_k\tag{3}\] 가 실수 \(S\)에 수렴하면 ‘무한급수가 수렴한다’라고 말하고 부분합 수열의 극한값 \(S\)를 무한급수 (1)의 값(value) 또는 합(sum)이라고 부르며 \[\sum_{n=1}^{\infty} a_n = S\] 로 나타낸다. 부분합의 극한 (3)이 양의 무한대로 발산하거나 음의 무한대로 발산할 때에도 마찬가지로 등호를 사용하여 \[\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \infty\] 또는 \[\sum_{n=1}^{\infty} a_n = - \infty\] 로 나타내며, 각각의 경우를 ‘무한급수가 양의 무한대로 발산한다’, ‘무한급수가 음의 무한대로 발산한다’라고 표현한다. 이러한 관점에서 무한급수 수열의 항을 덧셈으로 결합한 식을 나타내기도 하고 부분합의 극한을 나타내기도 하는 두 가지 의미를 가진 기호이다.
보기 1. \(\lvert r \rvert < 1\)일 때 무한급수 \[\sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1}\tag{4}\] 은 수렴한다. 왜냐하면 \[\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{\infty} ar^{k-1} = \lim_{n\to\infty} \frac{a(1-r)^n}{1-r} = \frac{a}{1-r}\] 로서 부분합의 극한이 수렴하기 때문이다. 이와 같은 꼴의 무한급수 (4)를 무한등비급수 또는 기하급수라고 부른다.
보기 2. 무한급수 \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\tag{5}\] 은 발산한다. 왜냐하면 \(n=2^p\)이고 \(p\)가 자연수일 때 \[\begin{align} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} &= \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{2^p} \\[2pt] &\ge \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{2^p} + \frac{1}{2^p} + \cdots + \frac{1}{2^p} \right) \\[2pt] &= \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \times 2 + \frac{1}{8} \times 4 + \cdots + \frac{1}{2^p} \times 2^{p-1} \\[2pt] &= 1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{2} \\[2pt] &= 1+ \frac{p}{2} \end{align}\] 이므로, \(n\to\infty\)일 때 부분합이 발산하기 때문이다. 즉 \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = \infty\] 이다. 이와 같은 꼴의 무한급수 (5)를 조화급수(harmonic series)라고 부른다.
보기 3. 양수인 항과 홀수인 항이 번갈아가며 나타나는 수열의 무한급수를 교대급수(alternating series)라고 부른다. 교대급수 \[\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \] 은 발산한다. 왜냐하면 부분합 수열 \[\sum_{k=1}^{n} (-1)^k\] 의 값은, \(n\)이 짝수일 때에는 \(0\)이고, \(n\)이 홀수일 때에는 \(-1\)이므로, \(n\to\infty\)일 때 부분합이 진동하기 때문이다.
수렴하는 무한급수는 다음과 같은 중요한 성질을 가진다.
정리 1. 무한급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n \)이 수렴하면 \(a_n \to 0\)이다.
증명
주어진 무한급수의 합을 \(S\)라고 하자. 그러면 \(n\ge 2\)일 때 \[a_n = \sum_{k=1}^{n} a_k - \sum_{k=1}^{n-1} a_k\] 이며, 등식의 양변에 \(n\to\infty\)인 극한을 취하면 \[\lim_{n\to\infty} a_n = S-S =0\] 을 얻는다.
보기 4. \(a \ne 0\)이고 \(\lvert r \rvert \ge 1\)일 때 기하급수 (4)는 발산한다. 왜냐하면 \(n\to\infty\)일 때 \(ar^{n-1} \nrightarrow 0\)이기 때문이다.
참고. 정리 1의 역은 성립하지 않는다. 예를 들면, 조화급수 (5)는 일반항이 \(0\)에 수렴하지만 무한급수는 발산한다.
무한급수에서 유한 개의 항의 값을 바꾸거나 제거하거나 추가해도 무한급수의 수렴성은 변하지 않는다. 예컨대 \(p\)가 자연수일 때, 고정된 수열 \(\left\{ a_n \right\}\)에 대하여 무한급수 \[\sum_{n=1}^{\infty} a_n\tag{6}\] 이 수렴할 필요충분조건은 \[\sum_{n=p}^{\infty} a_n\] 이 수렴하는 것이다. 즉 무한급수의 값에 관심이 없고 수렴과 발산 여부에만 관심을 가질 때에는 무한급수가 시작하는 항의 첨자는 상관 없다는 것이다. 이와 같은 사실 때문에 (6)과 같은 무한급수를 간단하게 \[\sum a_n \] 으로 나타내기도 한다.
수렴하는 무한급수의 대수적 연산
덧셈, 뺄셈, 곱셈과 관련된 무한급수의 성질을 살펴보자.
두 무한급수 \[\sum_{n=1}^{\infty} a_n ,\quad \sum_{n=1}^{\infty} b_n\] 이 모두 수렴한다고 하자. 그러면 수열의 극한의 성질에 의하여 \[\begin{align} \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \pm b_n \right) &= \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \left( a_n \pm b_n \right) \\[2pt] &= \lim_{n\to\infty} \left( \sum_{k=1}^{n} a_n \pm \sum_{k=1}^{n} b_n \right) \\[2pt] &= \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} a_n \pm \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n b_n \\[2pt] &= \sum_{n=1}^{\infty} a_n \pm \sum_{n=1}^{\infty} b_n \end{align}\] 을 얻는다. (단, 위 식에서 복부호는 모두 동순이다.) 또한, 같은 방법으로, \(k\)가 상수일 때 \[\sum_{n=1}^{\infty} ka_n = k\sum_{n=1}^{\infty}a_n\] 을 얻는다.
두 무한급수의 곱은 조금 더 복잡하다. 곱을 논하기 위해 먼저 절대수렴의 개념을 도입하자. 무한급수 \[\sum_{n=1}^{\infty} \left\lvert a_n \right\rvert\] 이 수렴할 때 ‘\(\sum a_n \)은 절대수렴(absolutely converge)한다’라고 말한다. 그리고 무한급수가 수렴하지만 절대수렴하지 않는 경우, ‘무한급수는 조건수렴(conditionally converge)한다’라고 말한다.
정리 2. 절대수렴하는 무한급수는 수렴한다.
증명
\(\sum a_n \)이 절대수렴하는 무한급수라고 하자. 그러면 두 무한급수 \[\sum \left\lvert a_n \right\rvert ,\quad \sum 2 \left\lvert a_n \right\rvert\] 은 모두 수렴한다. 그런데 \[0\le a_n + \left\lvert a_n \right\rvert \le 2\left\lvert a_n \right\rvert\] 이므로 임의의 자연수 \(n\)에 대하여 \[\sum_{k=1}^{n} \left( a_n + \left\lvert a_n \right\rvert \right) \le 2\sum_{n=1}^{\infty} \left\lvert a_n \right\rvert\] 이다. 여기서 \(\sum_{k=1}^{n} \left( a_k + \left\lvert a_k \right\rvert \right)\)는 \(n\)을 변수로 하는 증가수열이므로 단조수렴 정리에 의하여 \[\sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n + \left\lvert a_n \right\rvert \right) = \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n} \left( a_k + \left\lvert a_k \right\rvert \right) \] 는 수렴한다. 그러므로 \(\sum a_n\)은 \[\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \sum_{n=1}^{\infty} \left[ \left( a_n + \left\lvert a_n \right\rvert \right) - \left\lvert a_n \right\rvert \right]\] 로서 수렴하는 두 무한급수의 합이므로 수렴한다.
참고. 정리 2의 역은 성립하지 않는다. 즉 수렴하는 급수가 모두 절대수렴하지는 않는다. 예를 들어 무한급수 \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}\tag{7}\] 은 교대급수 판정법에 의하여 수렴하지만, 이 무한급수의 각 항에 절댓값을 씌운 무한급수는 (5)의 조화급수이므로 발산한다. 이와 같은 급수 (7)을 교대조화급수라고 부른다.
이제 무한급수의 곱을 하나의 무한급수로 나타내는 방법을 살펴보자.
정리 3. (무한급수에 대한 Mertens의 정리)
두 무한급수 \[\sum_{n=0}^{\infty} a_n ,\quad \sum_{n=0}^{\infty} b_n \] 중 하나 이상이 절대수렴한다고 하자. 그리고 \[c_n = \sum_{k=0}^{n} a_k\,b_{n-k}\] 라고 하자. 그러면 무한급수 \(\sum_{n=0}^{\infty} c_n \)은 수렴하고 \[ \left(\sum_{n=0}^{\infty} a_n \right) \left( \sum_{n=0}^{\infty} b_n \right) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n\tag{8}\] 이 성립한다. 이때 \(\sum c_n\)을 \(\sum a_n\)과 \(\sum b_n\)의 코시 곱(Cauchy product)이라고 부른다.
증명
(미적분학을 처음 공부하는 사람은 이 증명을 생략해도 괜찮다.)
\(\sum a_n\)이 절대수렴하는 경우만 증명하면 된다. 만약 \(\sum b_n\)이 절대수렴한다면 두 무한급수의 역할을 바꾸면 되기 때문이다.
표기를 간단하게 하기 위하여 다음과 같이 정의하자. \[\begin{align} A_n &= \sum_{k=0}^{n} a_k , \quad A = \sum_{n=0}^{\infty} a_n, \\[2pt] B_n &= \sum_{k=0}^{n} b_k , \quad B = \sum_{n=0}^{\infty} b_n, \\[2pt] C_n &= \sum_{k=0}^{n} c_k , \quad \beta_n = B_n - B. \end{align}\] 그러면 다음 등식을 얻는다. \[\begin{align} C_n &= a_0 b_0 + \left( a_0 b_1 + a_1 b_0 \right) + \cdots + \left( a_0 b_n + a_1 b_{n-1} + \cdots + a_n b_0 \right) \\[6pt] &= a_0 B_n + a_1 B_{n-1} + \cdots + a_n B_0 \\[6pt] &= a_0 (B+\beta_n ) + a_1 (B+\beta_{n-1}) + \cdots + a_n (B+\beta_0 ) \\[6pt] &= A_n B + a_0 \beta_n + a_1 \beta_{n-1} + \cdots + a_n \beta_0 . \end{align}\] 여기서 \[\gamma_n = a_0 \beta_n + a_1 \beta_{n-1} + \cdots + a_n \beta_0\] 이라고 하자. \(A_n B \to AB\)이므로, \(\gamma_n \to 0\)임을 보이기만 하면 \(C_n \to AB\)가 증명된다. \[\alpha = \sum_{n=0}^{\infty} \left\lvert a_n \right\rvert\] 이라고 하자. 그리고 \(\epsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자.
\(\sum b_n\)이 \(B\)에 수렴하므로 자연수 \(N_1\)이 존재하여 \(n\ge N_1\)일 때 \[\left\lvert \beta_n \right\rvert < \frac{\epsilon}{2\alpha +1}\] 을 만족시킨다. \[K = \max \left\{ \left\lvert \beta_0 \right\rvert ,\, \left\lvert \beta_1 \right\rvert ,\, \cdots ,\, \left\lvert \beta_{N_1} \right\rvert \right\} +1\] 이라고 하자. \(K\)가 양수이므로 자연수 \(N_2\)가 존재하여 \(n \ge N_2\)일 때 \[\left\lvert a_{n-N_1} \right\rvert < \frac{\epsilon}{2K \left( N_1 +1 \right)}\] 을 만족시킨다. \(N = \max \left\{ N_1 ,\, N_2 \right\}\)라고 하자. 그러면 \(n > N\)일 때 \[\begin{align} \left\lvert \gamma_n \right\rvert &\le \left\lvert \beta_0 a_n + \beta_1 a_{n-1} + \cdots + \beta_{N_1} a_{n-N_1} \right\rvert + \left\lvert \beta_{N_1 +1 } a_{n-N_1 -1} + \cdots + \beta_n a_0 \right\rvert \\[8pt] &\le \left( \left\lvert \beta_0 \right\rvert \left\lvert a_n \right\rvert + \cdots + \left\lvert \beta_{N_1} \right\rvert \left\lvert a_{n-N_1} \right\rvert \right) + \left( \left\lvert \beta_{N_1 +1} \right\rvert \left\lvert a_{n-N_1 - 1} \right\rvert + \cdots + \left\lvert \beta_n \right\rvert \left\lvert a_0 \right\rvert \right) \\[6pt] &\le K \left( \left\lvert a_n \right\rvert + \cdots + \left\lvert a_{n-N_1} \right\rvert \right) + \frac{\epsilon}{2\alpha +1} \left( \left\lvert a_{n-N_1 -1} \right\rvert + \cdots + \left\lvert a_0 \right\rvert \right) \\[6pt] &\le K\left(N_1 +1 \right) \frac{\epsilon}{2K \left( N_1 +1 \right)} + \frac{\epsilon}{2\alpha + 1} \alpha < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon \end{align}\] 이므로 \(\gamma_n \to 0\)이다.
참고. 두 무한급수 \(\sum a_n\)과 \(\sum b_n\)이 모두 조건수렴할 때에는 코시 곱 \(\sum c_n\)이 발산할 수도 있다. 예컨대 \[a_n = b_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}\] 이라고 하면 \(\sum a_n\)과 \(\sum b_n\)은 모두 조건수렴한다. 그런데 \[\begin{align} \left\lvert c_n \right\rvert &= \left\lvert \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{\sqrt{k+1}} \cdot \frac{(-1)^{n-k}}{\sqrt{n-k+1}} \right\rvert \\[2pt] &= \left\lvert (-1)^n \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{\sqrt{(k+1)(n-k+1)}} \right\rvert \\[2pt] &\ge \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{n+1} \ge 1 \end{align}\] 이므로 \(\left\{ c_n \right\}\)은 \(0\)에 수렴하지 않는다. 그러므로 \(\sum c_n \)은 발산한다.
그렇다면 조건수렴하는 두 무한급수의 코시 곱은 항상 발산할까? 그렇지 않다. 조건수렴하는 두 무한급수의 코시 곱이 수렴하는 경우도 존재한다. 그러한 무한급수의 예는 직접 만들어 보기 바란다. (어렵지 않다.)
무한급수를 무한급수로 나눈 식은 하나의 무한급수로 나타낼 수 있을까? 조금 더 단순화시켜 생각하자면, 수렴하는 무한급수의 역수를 무한급수로 나타낼 수 있을까? 여기서는 간단한 아이디어만 소개하겠다.
\(\sum a_n\)이 수렴하는 무한급수라고 하자. 만약 (8)의 표기법에 따른 코시 곱 \[\left( \sum a_n \right) \left( \sum b_n \right) = \sum c_n \] 의 값이 \(1\)이 되도록 하는 무한급수 \(\sum b_n\)을 찾을 수 있다면 그것이 곧 \[\frac{1}{\sum a_n} = \sum b_n\] 을 만족시키는 무한급수가 된다. 여기서 \(\sum a_n\)과 \(\sum b_n\) 중 하나 이상은 절대수렴해야 할 것이다.
그러나 단순히 무한급수의 역수를 무한급수로 나타내는 것보다는 거듭제곱급수(power series)의 역수를 거듭제곱급수로 표현하는 것이 더 쓸모 있다. 그러므로 여기서는 무한급수의 역수를 무한급수로 나타내는 방법을 더 이상 깊이 살펴보지는 않겠다.