다음과 같은 타원의 방정식을 생각해 봅시다. \[2x^2 – 4xy + 5y^2 = 36\tag{1}\] 선형대수학에서 공부한 이차형식의 성질을 이용하면 좌변을 변형하여 타원의 장축과 단축의 길이를 구할 수 있습니다. 하지만 오늘은 라그랑주의 방법(method of Lagrange’s multiplier)을 이용하여 이 타원의 장축과 단축의 길이를 구해보겠습니다. 타원의 중심이 좌표평면의 원점이므로, 타원 위의 점 중에서 원점으로부터 가장 멀리 있는 점까지의 거리와 가장 가까이 있는 점까지의 거리를 찾으면 됩니다. 즉 타원 …
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Lagrangian multiplier
라그랑주의 방법을 이용하여 도형과 관련된 문제를 해결하는 예를 살펴 보자. 문제. \(\mathbb{R}^3\)에 놓은 사면체 \(\mathrm{P-ABC}\)를 생각하자. 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)가 \(xy\) 평면에 고정되어 있고, 점 \(\mathrm{P}\)는 \(z > 0\)인 위쪽 반공간에 놓여 있으며 사면체 \(\mathrm{P-ABC}\)의 부피가 일정하다고 하자. 그리고 점 \(\mathrm{P}\)로부터 \(xy\) 평면에 내린 수선의 발을 \(\mathrm{Q}\)라 하자. 이때 사면체 \(\mathrm{P-ABC}\)의 겉넓이가 최소가 되도록 하는 점 \(\mathrm{Q}\)의 위치를 구하시오. 풀이. 점 \(\mathrm{Q}\)가 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 내부에 있는 …