\(n\)이 \(2\) 이상인 자연수이고 \(a_1 ,\) \(\cdots ,\) \(a_n ,\) \(b_1 ,\) \(\cdots,\) \(b_n\)이 모두 실수일 때 다음이 성립한다. \[\left( \sum_{i=1}^n a_i b_i \right)^2 \le \left( \sum_{i=1}^n a_i ^2\right) \left(\sum_{i=1}^n b_i ^2 \right).\tag{1}\] 이 부등식을 코시-슈바르츠 부등식(Cauchy-Schwarz inequality)이라고 부른다. 라그랑주 승수법(method of Lagrange’s multiplier)을 이용하여 이 부등식을 증명해 보자. 증명을 마칠 때까지 첨수 \(i\)와 \(j\)는 \(n\) 이하의 자연수를 나타내는 것으로 약속한다. 증명 과정은 두 …
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Lagrangian method
라그랑주의 방법을 이용하여 도형과 관련된 문제를 해결하는 예를 살펴 보자. 문제. \(\mathbb{R}^3\)에 놓은 사면체 \(\mathrm{P-ABC}\)를 생각하자. 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)가 \(xy\) 평면에 고정되어 있고, 점 \(\mathrm{P}\)는 \(z > 0\)인 위쪽 반공간에 놓여 있으며 사면체 \(\mathrm{P-ABC}\)의 부피가 일정하다고 하자. 그리고 점 \(\mathrm{P}\)로부터 \(xy\) 평면에 내린 수선의 발을 \(\mathrm{Q}\)라 하자. 이때 사면체 \(\mathrm{P-ABC}\)의 겉넓이가 최소가 되도록 하는 점 \(\mathrm{Q}\)의 위치를 구하시오. 풀이. 점 \(\mathrm{Q}\)가 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 내부에 있는 …
\(n\)이 \(2\) 이상인 자연수이고 \(x_1 ,\) \(x_2 ,\) \(\cdots ,\) \(x_n\)이 모두 \(0\) 이상인 실수라고 하자. 그러면 다음 부등식이 성립한다. \[\sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n} \le \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}\tag{1}\] 여기서 등식이 성립할 필요충분조건은 \(x_1 = x_2 = \cdots = x_n\)인 것이다. 라그랑주 승수법(method of Lagrange’s multiplier)을 이용하여 이것을 증명해 보자. 증명을 마칠 때까지 첨수 \(i\)는 \(n\) 이하의 자연수를 나타내는 것으로 약속한다. …