이 포스트에서는 쌍곡선함수와 역쌍곡선함수를 정의하고 이 함수들의 도함수를 살펴본다. 쌍곡선함수의 정의 \(\mathbb{R}\)에서 정의된 함수는 기함수와 우함수의 합으로 나타낼 수 있다. 즉 함수 \(f\)는 \[f(x) = \frac{f(x)-f(-x)}{2} + \frac{f(x)+f(-x)}{2}\] 로서 기함수와 우함수의 합으로 표현된다. 이와 같은 방법으로 자연지수함수를 기함수와 우함수의 합으로 표현하면 \[e^x = \frac{e^x – e^{-x}}{2} + \frac{e^x + e^{-x}}{2}\] 이다. 이때 \(e^x\)의 기함수 부분을 쌍곡선사인, 우함수 부분을 쌍곡선코사인이라고 부른다. 즉 쌍곡선사인(hyperbolic sine)이란 \[\sinh …
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Differentiation
\(a\)가 \(1\)이 아닌 양수일 때 \[ y = a^x \,\,\,(x\in\mathbb{R})\tag{1}\] 꼴로 정의된 함수를 지수함수라고 부른다. 또한 지수함수 (1)의 역함수를 로그함수라고 부르고 \[ y = \log _a x \,\,\,(x > 0 )\] 로 나타낸다. 이 포스트에서는 지수함수와 로그함수의 도함수를 구하고, 로그 미분법을 이용하여 지수가 실수인 거듭제곱 미분법을 증명한다. 지수함수의 미분 지수함수와 로그함수의 도함수를 구하기 위해서는 자연상수라고 불리는 상수 \(e\)를 도입해야 한다. \(e\)를 정의하는 방법은 여러 …
이 포스트에서는 삼각함수와 역삼각함수의 미분 공식을 살펴본다. 삼각함수의 미분 삼각함수의 미분 공식을 유도할 때에는 삼각함수의 덧셈 공식 \[\sin (x+h) = \sin x \cos h + \cos x \sin h\] 와 극한 공식 \[\lim_{h\to 0}\frac{\cos h -1}{h} = 0 ,\quad \lim_{h\to 0}\frac{\sin h}{h} =1\] 이 사용된다. 이 공식을 이용하여 사인 함수의 도함수를 구하면 다음과 같다. \[\begin{align} \frac{d}{dx} \sin x &= \lim_{h\to 0} \frac{\sin(x+h) – \sin …
이 포스트에서는 사칙계산과 관련된 미분의 계산 법칙을 유도하고 다항함수와 유리함수의 미분법을 살펴본다. 먼저 상수함수와 단항함수의 미분법을 살펴보자. 정리 1. (상수함수의 미분) \(f\)가 상수함수이고 \(f(x)=c\)일 때 \(f ‘ (x) = 0\)이다. 증명 \[f ‘ (x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{c-c}{h} = 0.\tag*{\(\blacksquare\)}\] 정리 2. (거듭제곱 미분 법칙) \(n\)이 자연수이고 \(f(x)=x^n\)일 때 \(f ‘ (x) = nx^{n-1}\)이다. (단, \(n=1,\) \(x=0\)일 때에는 \(f ‘ (0) …
함수 \(y=f(x)\)의 그래프가 뾰족한 부분이 없고 매끄럽게 이어져 있을 때 그래프 위의 한 점에서 접선을 생각할 수 있다. 이 접선의 기울기는 접점 근처에서 \(x\)의 변화량과 \(y\)의 변화량의 비의 극한값으로 구할 수 있다. 이러한 개념을 일반화하여 미분을 정의할 수 있다. 이 포스트에서는 실숫값 함수의 미분을 정의하고 그 성질을 살펴본다. 미분의 정의 함수 \(f\)가 서로 다른 두 점 \(a,\) \(b\)를 원소로 갖는 구간에서 정의되어 있다고 하자. …