이차함수 \(y=ax^2 + bx +c\)의 그래프는 \(a > 0\)일 때 아래쪽으로 볼록하고 \(a < 0\)일 때 위쪽으로 볼록하다. 사인이나 코사인의 경우에는 \(x\)의 값이 커짐에 따라 함수의 그래프가 볼록한 방향이 위쪽과 아래쪽으로 번갈아가면서 나타난다. 이와 같은 그래프의 볼록성은 그래프의 모양을 관찰하면 알 수 있다. 하지만 그래프를 그리지 않더라도 도함수를 이용하여 함수의 그래프의 볼록성을 조사할 수 있다. 이 포스트에서는 함수의 그래프의 볼록성을 정의하고 그와 관련된 성질을 ...
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Convergence
함수 \(f\)가 \(c\)에서 수렴하지 않을 때 ‘\(f\)는 \(c\)에서 발산한다’라고 말한다. 함수가 수렴하지 않는 경우를 모두 발산이라고만 하기에는 아까우므로, 발산하는 경우 중에서도 특별한 몇 가지 경우에 대해서는 극한을 따로 정의하고 그 성질을 살펴볼 필요가 있다. 예컨대 \(x\)의 값이 \(c\)에 다가갈 때 \(f(x)\)의 값이 무한히 커지거나 무한히 작아지는 경우의 극한을 생각할 수 있으며, \(x\)의 값이 무한히 커지거나 무한히 작아지는 경우의 극한도 생각할 수 있다. 이 포스트에서는 …
함수의 극한은 미적분의 시작부터 끝까지 모든 곳에 나타나는 개념이다. 이 글에서는 함수의 극한의 엄밀한 정의를 살펴보고, 극한과 관련된 기본적인 성질을 증명한다. 이 글에서 다루는 함수는 정의역과 공역이 \(\mathbb{R}\)의 부분집합인 것으로 한정한다. 극한의 엄밀한 정의 \(f\)가 실수 \(c\)를 원소로 갖는 한 열린 구간에서 정의된 함수라고 하자. 직관적으로 \(c\)에서 \(f\)의 극한값이 \(L\)이라는 것은 \(x\)가 \(c\)에 한없이 가까이 다가갈 때 \(f(x)\)의 값이 \(L\)에 한없이 가까이 다가감을 의미한다. …
이 포스트에서는 수열의 극한을 엄밀하게 정의하고 극한과 관련된 기본적인 성질을 증명한다. 내용 순서 수열의 극한의 정의 극한의 대수적 성질 수열의 극한의 성질 발산하는 수열 미리 알아야 할 내용 집합과 실수 (관련 글) 수열의 극한의 정의 적당한 정수 \(n_0\)에 대하여 정의역을 \(\left\{ n \in \mathbb{Z} \,\vert\, n \ge n_0 \right\}\) 꼴로 나타낼 수 있는 함수를 점열(sequence)이라고 부르며, 공역이 \(\mathbb{R}\)인 점열을 실수열(real sequence)이라고 부른다. [미적분학을 공부하는 …