테일러 급수

무한급수 수렴판정을 하다 보면 삼각함수를 다루기 어려운 경우가 있다. 다음 무한급수를 살펴보자. $$\begin{array}{}\text{(1)}& \sum _{n=5}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{n}–\sin \frac{n+1}{n^2–5n+4}).\end{array}$$ $n\to 0$일 때 사인 함수 안에 있는 분수식이 $0$에 수렴하고, $x=0$ 근처에서 $\sin x$는 $x$와 비슷하게 움직이므로, 위 무한급수에서 사인을 그냥 없애고 판정해도 될 것 같다. 즉 위 무한급수의 수렴 여부는 \[\sum_{n=5}^{\infty} \left( \frac{1}{n} – \frac{n+1}{n^2 -5n +4} …

지난 포스트에서 테일러 급수를 정의하고 함수를 테일러 급수로 나타내는 방법을 살펴보았다. 또한 $f$에 의하여 생성된 테일러 급수가 $f$에 수렴함을 증명하는 방법도 살펴보았다. 더불어 거듭제곱급수를 이용하여 삼각함수를 정의하는 방법(관련 포스트)과 거듭제곱급수를 이용하여 지수함수를 정의하는 방법(관련 포스트)도 살펴보았다. 이 포스트에서는 테일러 급수를 활용한 다양한 예를 살펴본다. 내용 순서 이항급수 비초등적분 라이프니츠 공식 부정형 극한의 계산 함수의 정의역 확장하기 미리 알아야 할 내용 거듭제곱급수 (관련 글) 테일러 …