집합을 공부할 때 도움이 되도록 집합의 성질을 증명하는 예제와 풀이를 모았습니다. 모든 예제와 풀이에서 \(U\)는 공집합이 아닌 전체집합을 나타내며, \(A,\) \(B,\) \(C\)는 \(U\)의 부분집합을 나타냅니다. 또한 \(\varnothing\)은 공집합을 나타내며, \(P(A)\)는 \(A\)의 멱집합을 나타냅니다. \(C\)가 윗첨자로 쓰였을 때는 여집합을 나타냅니다. 예제 1. 공집합이 임의의 집합의 부분집합임을 증명하시오. 풀이 \(\varnothing\)이 공집합이고 \(A\)가 임의의 집합이라고 하자. 이제 임의의 원소 \(x\)에 대하여 다음 조건부 명제가 참임을 보여야 한다. …
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집합
연역적 추론 두 조건 \(p, q\)에 대하여, 문장 ‘\(p\longrightarrow q\)’는 하나의 명제가 된다. 일반적으로 조건 \(p, q\)의 진리집합을 각각 \(P, Q\)라 할 때, \(p\longrightarrow q\)가 참이면 조건 \(p\)를 참이되게 하는 원소는 조건 \(q\)도 참이 되게 하므로 \(P\subset Q\)인 관계가 성립한다. 또한 \(P\subset Q\)인 관계가 있으면 명제 \(p\longrightarrow q\)는 참이다. 한편, 명제 \(p\longrightarrow q\)가 거짓이라는 것은 조건 \(p\)가 참이 되지만 \(q\)는 참이 되지 않는 원소가 …
제1장 집합과 논리의 기초 ”철학은 우주라는 드넓은 책에 쓰여있다. … 그것은 수학의 언어로 쓰였으며 그것의 문자는 삼각형, 동그라미 그리고 다른 기하학적 수치들이다.” -갈릴레오 갈릴레이(Galileo Galilei; 1564–1642)- 19세기 말 수학자 칸토르(Cantor, G.; 1845–1918)는 무한집합에 관한 이론을 처음으로 발표하였다. 수학의 긴 역사를 생각해볼 때 ‘집합’이라는 개념을 구체적으로 다룬 것은 비교적 최근의 일이라 할 수 있다. 오늘날에는 모든 수학적 대상을 집합을 이용하여 정의한다고 해도 과언이 아니다. 즉 …
이 포스트에서는 미적분학을 공부하기 위해 필요한 기초 개념인 수학의 논리, 집합의 성질, 실수계의 성질을 간략하게 살펴본다. 수학의 논리 먼저 논리를 나타내는 기호를 살펴보자. \(p\)와 \(q\)가 수학적 문장일 때 다음과 같이 정의한다. 논리곱 : ‘\(p\) 그리고 \(q\)’를 \((p \,\wedge\, q)\)로 나타낸다. \((p \,\wedge\, q)\)가 참이라는 것은 \(p\)와 \(q\)가 모두 참이라는 것을 의미한다. 논리합: ‘\(p\) 또는 \(q\)’를 \((p\,\vee\,q)\)로 나타낸다. \((p\,\vee\,q)\)가 참이라는 것은 \(p\)와 \(q\) 중 하나 …