지난 포스트에서 테일러 급수를 정의하고 함수를 테일러 급수로 나타내는 방법을 살펴보았다. 또한 \(f\)에 의하여 생성된 테일러 급수가 \(f\)에 수렴함을 증명하는 방법도 살펴보았다. 더불어 거듭제곱급수를 이용하여 삼각함수를 정의하는 방법(관련 포스트)과 거듭제곱급수를 이용하여 지수함수를 정의하는 방법(관련 포스트)도 살펴보았다. 이 포스트에서는 테일러 급수를 활용한 다양한 예를 살펴본다. 내용 순서 이항급수 비초등적분 라이프니츠 공식 부정형 극한의 계산 함수의 정의역 확장하기 미리 알아야 할 내용 거듭제곱급수 (관련 글) 테일러 …
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지수함수
중학교와 고등학교 과정에서는 같은 수를 여러 번 곱한 것으로 거듭제곱을 정의한 뒤 거듭제곱의 지수를 정수, 유리수 범위로 확장하며, 극한을 이용하여 실수 지수를 정의한다. 그 뒤에 지수를 변수로 갖는 함수를 지수함수로 정의하며, 지수함수의 역함수를 로그함수로 정의한다. 이와 같이 정의된 지수함수는 미분 가능한 함수가 되며, 특히 밑이 자연지수인 함수는 다음과 같은 거듭제곱급수로 나타낼 수 있다. \[e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} …
\(a\)가 \(1\)이 아닌 양수일 때 \[ y = a^x \,\,\,(x\in\mathbb{R})\tag{1}\] 꼴로 정의된 함수를 지수함수라고 부른다. 또한 지수함수 (1)의 역함수를 로그함수라고 부르고 \[ y = \log _a x \,\,\,(x > 0 )\] 로 나타낸다. 이 포스트에서는 지수함수와 로그함수의 도함수를 구하고, 로그 미분법을 이용하여 지수가 실수인 거듭제곱 미분법을 증명한다. 지수함수의 미분 지수함수와 로그함수의 도함수를 구하기 위해서는 자연상수라고 불리는 상수 \(e\)를 도입해야 한다. \(e\)를 정의하는 방법은 여러 …