수렴 판정

무한급수 수렴판정을 하다 보면 삼각함수를 다루기 어려운 경우가 있다. 다음 무한급수를 살펴보자. \[\sum_{n=5}^{\infty} \left( \frac{1}{n} – \sin \frac{n+1}{n^2 – 5n + 4} \right ). \tag{1}\] \(n \rightarrow 0\)일 때 사인 함수 안에 있는 분수식이 \(0\)에 수렴하고, \(x=0\) 근처에서 \(\sin x\)는 \(x\)와 비슷하게 움직이므로, 위 무한급수에서 사인을 그냥 없애고 판정해도 될 것 같다. 즉 위 무한급수의 수렴 여부는 \[\sum_{n=5}^{\infty} \left( \frac{1}{n} – \frac{n+1}{n^2 -5n +4} …