선형변환

지난 포스트에서 벡터공간 \(K^n,\) \(K^m\) 사이에서 정의된 선형변환과 \(m\times n\) 행렬의 관계를 살펴보았다(지난 포스팅 보기). 이번에는 일반적인 유한차원 벡터공간 \(V,\) \(V’\) 사이에서 정의된 선형변환과 행렬의 관계를 살펴보자. \(K\)가 체이고 \(n\)과 \(m\)이 양의 정수라고 하자. 그리고 \(V\)와 \(V’\)이 \(K\) 위에서 정의된 \(n\)차원 벡터공간, \(m\)차원 벡터공간이라고 하자. 또한 \[\begin{align} B: &\,\, v_1 ,\, v_2 ,\, \cdots ,\, v_n, \\[6pt] B’ : & \,\, v_1 ‘ ,\, …

벡터공간 \(K^n,\) \(K^m\) 사이에서 정의된 선형변환과 \(m\times n\) 행렬의 관계를 살펴보자. \(K\)가 체(field)이고 \(n\)과 \(m\)이 양의 정수라고 하자. 모든 성분이 \(K\)에 속하는 \(m\times n\) 행렬들의 모임을\(\newcommand{\MatK}{\operatorname{Mat}_{m \times n}(K)}\) \[\MatK\] 로 나타낸다. 또한 정의역이 \(K^n\)이고 공역이 \(K^m\)인 선형변환들의 모임을\(\newcommand{\HomK}{\operatorname{Hom}(K^n ,\, K^m )}\) \[\HomK\] 으로 나타낸다. [여기서 \(K^n\)과 \(K^m\)은 통상적인 벡터 합과 스칼라 곱이 주어진 벡터공간이다.] 스칼라 \(k\in K\)와 \(m\times n\) 행렬 \(A = (a_{ij})_{m\times n}\), …

체 \(K\) 위에서 정의되어 있고 차원이 \(n\)인 유한차원 벡터공간은 \(K^n\)와 동형이다. 그러므로 유한차원 벡터공간 사이에서 정의된 선형변환은 적당한 \(n,\) \(m\)에 대하여 선형변환 \(T : K^n \rightarrow K^m\)과 같은 것으로 생각할 수 있다. 더욱이 \(T : K^n \rightarrow K^m\)은 행렬로 나타낼 수 있으므로 유한차원 벡터공간 사이에 정의된 선형변환은 행렬과 동일시할 수 있다. 그런데 이러한 행렬 표현은 벡터공간에 어떠한 기저가 주어졌는지에 따라 달라진다. \[ \newcommand{\Hom}{{\operatorname{Hom}}} \newcommand{\Mat}{{\operatorname{Mat}}} …

\(V\)와 \(W\)가 체 \(F\) 위에서의 벡터공간이라 하자. 만약 함수 \(T : V \rightarrow W\)가 두 조건 임의의 \(v_1 ,\, v_2 \in V\)에 대하여 \(T(v_1 + v_2 ) = T(v_1 ) + T(v_2 )\)이다, 임의의 \(k \in F\)와 \(v\in V\)에 대하여 \(T(kv) = kT(v)\)이다 를 모두 만족시키면 \(T\)를 선형변환(linear transformation)이라고 부른다. 만약 \(F = \mathbb{R}\)라면, \(T\)가 (1)을 만족시키더라도 (2)를 만족시키지 않을 수 있다. 그러나 \(F=\mathbb{Q}\)라면 …