유한차원 벡터공간 \(V\) 위에서 자기준동형사상 \(T\)가 정의되어 있을 때 \(T\)의 표현행렬은 \(V\)에 어떠한 기저가 주어졌는지에 따라 달라진다. \(V\)와 \( T\)가 적절한 조건을 만족시키면 \(V\)의 기저를 적절히 택하여 \(T\)의 표현행렬이 ‘대단히 좋은 형태’가 되도록 할 수 있다. 이 포스트에서는 벡터공간을 특성부분공간의 직합으로 나타내는 방법과 자기준동형사상을 조르당 표준형으로 나타내는 방법을 살펴본다. 이 포스트에서 다루는 벡터공간은 유한차원 벡터공간인 것으로 약속한다. \[ \newcommand{\Hom}{{\operatorname{Hom}}} \newcommand{\Mat}{{\operatorname{Mat}}} \newcommand{\proj}{{\operatorname{proj}}} \newcommand{\adj}{{\operatorname{adj}}} \newcommand{\Ker}{{\operatorname{Ker}}} \] …
Tag:
삼각행렬
정사각행렬의 특성다항식을 이용한 흥미로운 등식을 살펴보자. \(A\)가 이차장사각행렬이고 \[A = \left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}\right)\] 일 때 다음이 성립한다. \[A^2 – (a+d)A + (ad-bc)I_2 = O.\] \(A\)의 특성다항식을 \(p(t)\)라고 하고 \(t=A\)를 대입함으로써 위 식은 다음과 같이 간단하게 나타낼 수 있다. \[p(A) = O.\] 이 등식이 성립하는 것은 우연이 아니며, Cayley-Hamilton 정리의 결과이다. 이 포스트에서는 특성다항식의 성질과 \(T\)-불변 공간의 개념을 살펴보고, …