벡터공간은 물체의 위치를 기술할 수 있는 추상적인 형태의 공간이다. 그러나 벡터공간에는 벡터의 합과 스칼라 곱이라는 두 개의 연산만 존재하기 때문에 점 사이의 거리나 두 벡터 사이의 각의 크기를 정의할 수 없다. 대신 벡터공간에 내적이라는 구조를 추가함으로써 거리와 각의 크기를 정의할 수 있다. 이 포스트에서는 내적의 개념과 성질을 살펴보고, 이로부터 파생되는 기저의 성질을 살펴본다. \[ \newcommand{\Hom}{{\operatorname{Hom}}} \newcommand{\Mat}{{\operatorname{Mat}}} \newcommand{\proj}{{\operatorname{proj}}} \] 실내적공간 \(V\)가 실벡터공간이라고 하자. 함수 \[ …
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노름
함수 \(f\)가 구간 \([a,\,b]\)에서 연속이고 임의의 \(x\in[a,\,b]\)에 대하여 \(f(x) > 0\)일 때, \(x\)축과 \(y=f(x)\)의 그래프, 그리고 두 직선 \(x=a,\) \(x=b\)로 둘러싸인 부분의 넓이를 \([a,\,b]\)에서 \(f\)의 정적분이라고 부른다. 이와 같은 정의는 직관적인 정의이며 연속함수에 대해서만 정의되므로 대단히 협소하다. 이 포스트에서는 리만 적분을 엄밀하게 정의하고, 적분 가능성과 정적분의 성질을 살펴본다. 구분구적법 \(I = [a,\,b]\)가 길이가 양수인 구간이고 함수 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 정의되었다고 하자. 그리고 자연수 \(n\)에 대하여 …