유한차원 벡터공간 \(V\) 위에서 자기준동형사상 \(T\)가 정의되어 있을 때 \(T\)의 표현행렬은 \(V\)에 어떠한 기저가 주어졌는지에 따라 달라진다. \(V\)와 \( T\)가 적절한 조건을 만족시키면 \(V\)의 기저를 적절히 택하여 \(T\)의 표현행렬이 ‘대단히 좋은 형태’가 되도록 할 수 있다. 이 포스트에서는 벡터공간을 특성부분공간의 직합으로 나타내는 방법과 자기준동형사상을 조르당 표준형으로 나타내는 방법을 살펴본다. 이 포스트에서 다루는 벡터공간은 유한차원 벡터공간인 것으로 약속한다. \[ \newcommand{\Hom}{{\operatorname{Hom}}} \newcommand{\Mat}{{\operatorname{Mat}}} \newcommand{\proj}{{\operatorname{proj}}} \newcommand{\adj}{{\operatorname{adj}}} \newcommand{\Ker}{{\operatorname{Ker}}} \] …
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고윳값
정사각행렬의 특성다항식을 이용한 흥미로운 등식을 살펴보자. \(A\)가 이차장사각행렬이고 \[A = \left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}\right)\] 일 때 다음이 성립한다. \[A^2 – (a+d)A + (ad-bc)I_2 = O.\] \(A\)의 특성다항식을 \(p(t)\)라고 하고 \(t=A\)를 대입함으로써 위 식은 다음과 같이 간단하게 나타낼 수 있다. \[p(A) = O.\] 이 등식이 성립하는 것은 우연이 아니며, Cayley-Hamilton 정리의 결과이다. 이 포스트에서는 특성다항식의 성질과 \(T\)-불변 공간의 개념을 살펴보고, …
이 포스트에서는 고윳값과 고유벡터의 개념을 살펴보고 특성다항식을 이용하여 고윳값을 구하는 방법을 살펴봅니다. 또한 에르미트 변환과 유니타리 변환의 개념을 바탕으로 스펙트럼 분해 정리를 살펴봅니다. \[ \newcommand{\parallelsym}{\mathbin{\!/\mkern-5mu/\!}} \] 고윳값과 고유벡터의 뜻 \(V\)가 체 \(K\) 위에서 정의된 벡터공간이고 \(T : V \rightarrow V\)가 선형변환이라고 하자. 그리고 스칼라 \(\lambda \in K\)와 영벡터가 아닌 벡터 \(v\in V\)가 존재하여 \[T(v) = \lambda v\tag{1}\] 을 만족시킨다고 하자. 이때 \(\lambda\)를 \(T\)의 고윳값(eigenvalue)이라고 …