이 글은 『미적분학 첫걸음』 4장 5절의 내용입니다. (미적분학 첫걸음 차례 보기)
벡터함수의 극한은 벡터수열의 극한과 크게 다르지 않다.
\(D\)가 \(\vecR^m\)의 부분집합이고 \(\vecf : D \rightarrow \vecR ^d\)가 벡터함수이며 \(\mathbf{c}\)가 \(D\)의 집적점이라고 하자. 만약 \[ \lim_{\mathbf{x}\rightarrow \mathbf{c}} \lVert \vecf (\mathbf{x}) - \vecL \rVert = 0 \] 을 만족시키는 벡터 \(\vecL \in \vecR ^d\)가 존재하면
“\(\mathbf{c}\)에서 \(\vecf (\mathbf{x})\)가 \(\vecL\)에 수렴한다”
또는
“\(\mathbf{x}\)가 \(\mathbf{c}\)에 다가갈 때 \(\vecf (\mathbf{x})\)가 \(\vecL\)에 수렴한다”
또는
“\(\mathbf{x}\)가 \(\mathbf{c}\)에 다가갈 때 \(\vecf (\mathbf{x})\)가 \(\vecL\)에 다가간다”
라고 말한다. 이때 \(\vecL\)을 ‘\(\mathbf{c}\)에서 \(\vecf\)의 극한’이라고 부르며, 이 상황을 기호로 \[ \lim_{\mathbf{x}\rightarrow \mathbf{c}} \vecf (\mathbf{x}) = \vecL \] 또는 \[ \vecf (\mathbf{x}) \rightarrow \vecL \quad\text{as}\quad \mathbf{x}\rightarrow \mathbf{c} \] 와 같이 나타낸다.
정리 4.5.1. (벡터함수의 극한의 성분별 계산)
\(D\)가 \(\vecR^m\)의 부분집합이고 \(f_1,\) \(f_2,\) \(f_3\)이 \(D\)에서 정의된 실숫값 함수이며 \(\mathbf{c}\)가 \(D\)의 집적점이라고 하자. \(\vecf\)가 \(D\)에서 \[ \vecf (\mathbf{x}) = (f_1 (\mathbf{x}) ,\, f_2 (\mathbf{x}) ,\, f_3 (\mathbf{x})) \] 로 정의된 벡터함수라고 하자. 이때 \(\vecf (\mathbf{x})\)가 \(\mathbf{c}\)에서 벡터 \((L_1 ,\, L_2 ,\, L_3 )\)에 수렴하기 위한 필요충분조건은 \(f_1 (\mathbf{x}),\) \(f_2 (\mathbf{x}) ,\) \(f_3 (\mathbf{x})\)가 \(\mathbf{c}\)에서 각각 \(L_1 ,\) \(L_2 ,\) \(L_3\)에 수렴하는 것이다. \(\vecf\)의 공역이 2차원이거나 4차원 이상일 때에도 마찬가지로 성립한다.
보기 4.5.1.
- \(\vecf : \vecR \rightarrow \vecR ^3\)가 \[ \vecf (x) = (2x+3 ,\, x-4 ,\, 1-x) \] 로 주어졌다고 하자. 그러면 \(-2\)에서 \(\vecf\)의 극한은 \[ \lim_{x\rightarrow -2} \vecf (x) = \left( \lim_{x\rightarrow -2}(2x+3) ,\, \lim_{x\rightarrow -2}(x-4) ,\, \lim_{x\rightarrow -2}(1-x) \right) = (-1,\,-6,\,3) \] 이다.
- \(\vecf : \vecR ^2 \rightarrow \vecR ^2\)가 \[ \vecf (x,\,y) = (f_1 (x,\,y) ,\, f_2 ( x,\,y)) \] 로 주어져 있고, \[ f_1 (x,\,y) = x+2y , \quad f_2 ( x,\,y) = -x+3y \] 라고 하자. 그러면 \((2,\,1)\)에서 \(\vecf\)의 극한은 \[ \lim_{(x,\,y)\rightarrow (2,\,1)} \vecf (x,\,y) = \left( \lim_{(x,\,y)\rightarrow (2,\,1)} f_1 (x,\,y) ,\, \lim_{(x,\,y)\rightarrow (2,\,1)} f_2 ( x,\,y) \right) = (4,\,1) \] 이다.
\(D\)가 \(\vecR^2\)의 부분집합이고 \[ f:\left\{x+y\imI \,\middle|\, (x,\,y)\in D\right\}\rightarrow\mathbb{C} \] 가 복소함수이며 \[ f(x+y \imI ) = u (x,\,y) + v(x,\,y) \imI \] 로 주어졌다고 하자. 여기서 \(u,\) \(v:D\rightarrow\mathbb{R}\)는 실숫값 함수이다. \(a,\) \(b,\) \(A,\) \(B\)가 실수이고 \((a,\,b)\)가 \(D\)의 집적점이며 \(z_0 = a+b \imI\)라고 하자. 그러면 \[ \lim_{z\rightarrow z_0} f(z) = A+B \imI \] 이기 위한 필요충분조건은 \[ \lim_{(x,\,y) \rightarrow (a,\,b)} u(x,\,y) = A \quad\text{and}\quad \lim_{(x,\,y)\rightarrow (a,\,b)} v(x,\,y) = B \] 가 성립하는 것이다.
보기 4.5.2. 다음 예에서 \(x\)와 \(y\)는 실수 변수이다.
- 만약 \(u:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{R}\)가 \[ u(x+y \imI ) = x-2y \] 로 주어지면 \[ \lim_{z\rightarrow 1-2 \imI} u(z) = \lim_{(x,\,y) \rightarrow (1,\,-2)} (x-2y) = 5 \] 이다.
- 함수 \(f : \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}\)가 \[ f(x+y\imI ) = u(x,\,y) + v(x,\,y) \imI \] 로 정의되어 있고, \[ u(x,\,y) = x-2y ,\quad v(x,\,y) =3x+4y \] 라고 하자. 그러면 \(1-2\imI\)에서 \(f\)의 극한은 \[ \begin{align} \lim_{z\rightarrow 1-2\imI} f(z) &= \lim _ {(x,\,y) \rightarrow (1,\,-2)} \left\{ u(x,\,y) + v(x,\,y)\imI \right\} \\[4pt] &= \lim_{(x,\,y)\rightarrow (1,\,-2)} u(x,\,y) + \lim_{(x,\,y)\rightarrow (1,\,-2)} v(x,\,y)\imI \\[4pt] &= 5-5\imI \end{align} \] 이다.
- 함수 \(g : \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}\)가 \[ g(x+y\imI ) = (x^2 + y^2 ) - (x+y) \imI \] 로 주어졌다고 하자. 그러면 \(3+2\imI\)에서 \(g\)의 극한은 \[ \begin{align} \lim_{z \rightarrow 3+2\imI} g(z) &= \lim_{(x,\,y)\rightarrow (3,\,2)} (x^2 + y^2 ) - \lim_{(x,\,y)\rightarrow (3,\,2)} (x+y) \imI \\ &= 13-5 \imI \end{align} \] 이다.