이 글은 『미적분학 첫걸음』 0장 6절의 내용입니다. (미적분학 첫걸음 차례 보기)
호도법
그림과 같이 반지름의 길이가 \(1\)인 원을 생각하자.
호의 길이가 \(1\)인 부채꼴의 중심각의 크기를 \(\boldsymbol{1}\)라디안(radian)으로 정의한다. 반지름의 길이가 \(1\)인 원의 둘레의 길이가 \(2\pi\)이므로 \[ 180^\circ=\pi\,\text{radians} \] 이다. 이와 같이 라디안을 단위로 각의 크기를 나타내는 방법을 호도법(circular measure)이라고 부른다.
호도법으로 각의 크기를 나타낼 때 단위 ‘라디안’을 생략하는 경우가 많다. 그러므로 각의 크기를 단위 없이 나타내면 별다른 언급이 없는 한 단위가 라디안인 것으로 약속한다.
회전 방향에 따라 각의 크기를 양수와 음수로 나타내면 편리하다. 반시계방향으로 회전한 정도는 양수로 나타내고, 시계방향으로 회전한 정도는 음수로 나타낸다. 한 바퀴를 초과하는 회전을 나타낼 때에는 절댓값이 \(2\pi\)보다 큰 값을 사용할 수 있다. 아래 그림은 다양한 각의 크기를 나타낸 것이다.
삼각함수의 정의
실수 \(\theta\)가 주어졌다고 하자. 좌표평면에서 원점을 중심으로 \(x\)축의 양의 방향에서 출발하여 \(\theta\)만큼 회전한 반직선 위에 놓인, 원점이 아닌 점 \(\mathrm{P}\)를 생각하자.
점 \(\mathrm{P}\)의 좌표를 \(\mathrm{P}(x,\,y)\)라고 하고, 선분 \(\mathrm{OP}\)의 길이를 \(r\)라고 하자. 이때 \(\theta\)의 사인(sine)과 코사인(cosine)을 다음과 같이 정의한다. \[ \sin\theta=\frac{y}{r}, \qquad \cos\theta=\frac{x}{r}. \] 같은 반직선 위에서 점 \(\mathrm{P}\)를 다른 점으로 바꾸면 \(x,\) \(y,\) \(r\)가 모두 같은 양의 비율로 변하므로 위 두 값은 변하지 않는다. 따라서 사인과 코사인은 점 \(\mathrm{P}\)의 선택과 관계없이 \(\theta\)에 의하여 결정된다.
다른 삼각함수는 다음과 같이 정의한다. \[ \begin{gather} \tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}, \qquad \sec\theta=\frac{1}{\cos\theta}, \\[5pt] \operatorname{cosec}\theta=\frac{1}{\sin\theta}, \qquad \cot\theta=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}. \end{gather} \] 사인과 코사인은 모든 실수 \(\theta\)에 대하여 정의된다. 탄젠트와 시컨트는 \(\cos\theta\ne0\)인 경우에만 정의되고, 코시컨트와 코탄젠트는 \(\sin\theta\ne0\)인 경우에만 정의된다.
특히 \(r=1\)인 단위원 위의 점을 택하면 그 점의 좌표는 \[ (\cos\theta,\,\sin\theta) \] 이다. 따라서 사인과 코사인은 단위원 위의 점의 좌표로 이해할 수 있다.
유용한 공식
삼각함수의 거듭제곱을 나타낼 때에는 관습적으로 지수를 함수의 옆에 붙여 쓴다. 예를 들어 \[ \sin^2\theta=(\sin\theta)^2, \qquad \cos^3\theta=(\cos\theta)^3, \qquad \cdots \] 와 같이 쓴다.
삼각함수의 정의로부터 다음 등식을 얻을 수 있다.
- \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1.\)
- \(\sin(\theta+2\pi)=\sin\theta,\quad \cos(\theta+2\pi)=\cos\theta.\)
- \(\sin(-\theta)=-\sin\theta,\quad \cos(-\theta)=\cos\theta.\)
- \(\sin\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\cos\theta,\quad \cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\sin\theta.\)
첫째 등식은 피타고라스 정리로부터 얻어진다. 실제로 \[ \sin^2\theta+\cos^2\theta = \frac{y^2}{r^2}+\frac{x^2}{r^2} = \frac{x^2+y^2}{r^2} = \frac{r^2}{r^2} = 1. \]
\(\theta\)와 \(\theta+2\pi\)는 같은 반직선을 나타내므로 두 번째 등식을 얻는다. 또한 각 \(\theta\)에 대응하는 단위원 위의 점을 \(x\)축에 대하여 대칭이동하면 각 \(-\theta\)에 대응하는 점이 되므로 세 번째 등식을 얻는다. 마지막으로 직선 \(y=x\)에 대하여 대칭이동하면 두 좌표가 서로 바뀌고 각 \(\theta\)가 \(\frac{\pi}{2}-\theta\)로 바뀌므로 네 번째 등식을 얻는다.
이제 자주 사용되는 공식 세 가지를 살펴보자.
정리 0.6.1. (코사인 법칙)
삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 다음이 성립한다.
(ⅰ) 제1 코사인 법칙: \[ \begin{align} a&=b\cos C+c\cos B,\\[6pt] b&=a\cos C+c\cos A,\\[6pt] c&=a\cos B+b\cos A. \end{align} \] (ⅱ) 제2 코사인 법칙: \[ \begin{align} a^2&=b^2+c^2-2bc\cos A,\\[6pt] b^2&=a^2+c^2-2ac\cos B,\\[6pt] c^2&=a^2+b^2-2ab\cos C. \end{align} \] 여기서 \(A,\) \(B,\) \(C\)는 각각 꼭짓점 \(\mathrm{A},\) \(\mathrm{B},\) \(\mathrm{C}\)의 내각이며, \(a,\) \(b,\) \(c\)는 각각 꼭짓점 \(\mathrm{A},\) \(\mathrm{B},\) \(\mathrm{C}\)의 대변의 길이이다.
증명.
먼저 제2 코사인 법칙을 증명하자. 좌표평면에서 \[ \mathrm{B}=(0,0), \qquad \mathrm{C}=(a,0) \] 으로 놓고, 점 \(\mathrm{A}\)가 \(x\)축의 위쪽에 놓이도록 좌표축을 잡자. \(\overline{\mathrm{AB}}=c\)이고 \(\angle\mathrm{ABC}=B\)이므로 \[ \mathrm{A}=(c\cos B,\,c\sin B). \] 따라서 피타고라스 정리에 의하여 \[ \begin{aligned} b^2 &= (a-c\cos B)^2+(c\sin B)^2\\ &= a^2-2ac\cos B+c^2(\cos^2B+\sin^2B)\\ &= a^2+c^2-2ac\cos B. \end{aligned} \] 꼭짓점의 역할을 차례로 바꾸면 \[ a^2=b^2+c^2-2bc\cos A \] 와 \[ c^2=a^2+b^2-2ab\cos C \] 도 얻는다. 따라서 제2 코사인 법칙이 성립한다.
이제 제1 코사인 법칙을 증명하자. 제2 코사인 법칙으로부터 \[ 2ab\cos C=a^2+b^2-c^2 \] 이고 \[ 2ac\cos B=a^2+c^2-b^2 \] 이므로 \[ \begin{aligned} b\cos C+c\cos B &= \frac{a^2+b^2-c^2}{2a} + \frac{a^2+c^2-b^2}{2a}\\ &=a. \end{aligned} \] 따라서 \[ a=b\cos C+c\cos B. \] 나머지 두 등식도 같은 방법으로 얻는다.
정리 0.6.2. (사인 법칙)
반지름의 길이가 \(R\)인 원 \(\mathrm{O}\) 위에 서로 다른 세 점 \(\mathrm{A},\) \(\mathrm{B},\) \(\mathrm{C}\)가 있다고 하자. 이때 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에 대하여 \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \] 가 성립한다.
증명.
먼저 변 \(\mathrm{BC}\)를 생각하자. 만약 \(\mathrm{BC}\)가 원의 지름이면 \[ a=2R, \qquad A=\frac{\pi}{2} \] 이므로 \[ a=2R\sin A \] 이다.
이제 \(\mathrm{BC}\)가 지름이 아니라고 하자. 선분 \(\mathrm{DC}\)가 원의 지름이 되도록 원 위에 점 \(\mathrm{D}\)를 잡는다.
탈레스의 정리에 의하여 \[ \angle\mathrm{DBC}=\frac{\pi}{2}. \] 따라서 직각삼각형 \(\mathrm{DBC}\)에서 \[ \sin\angle\mathrm{BDC} = \frac{a}{2R}. \] 한편 \(\angle\mathrm{BDC}\)와 \(A=\angle\mathrm{BAC}\)는 같은 현 \(\mathrm{BC}\)를 바라보는 원주각이므로 서로 같거나 서로 보각이다. 어느 경우에도 두 각의 사인은 같으므로 \[ \sin A=\sin\angle\mathrm{BDC}. \] 따라서 \[ a=2R\sin A, \] 즉 \[ \frac{a}{\sin A}=2R \] 이다. 같은 방법을 다른 두 변에 적용하면 \[ \frac{b}{\sin B}=2R, \qquad \frac{c}{\sin C}=2R \] 를 얻는다.
정리 0.6.3. (삼각함수의 덧셈 정리)
\(\alpha\)와 \(\beta\)가 실수일 때 다음이 성립한다.
- \(\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\).
- \(\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\).
- \(\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\).
- \(\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\).
증명.
단위원 위에서 각 \(\alpha,\beta\)에 대응하는 두 점을 각각 \[ \mathrm{P}=(\cos\alpha,\,\sin\alpha), \qquad \mathrm{Q}=(\cos\beta,\,\sin\beta) \] 라고 하자.
두 반직선 \(\mathrm{OP}\)와 \(\mathrm{OQ}\) 사이의 작은 각을 \(\gamma\)라고 하자. 그러면 \(\gamma\)는 \(\alpha-\beta\) 또는 \(\beta-\alpha\)와 \(2\pi\)의 정수배만큼 차이가 나는 각이므로, 사인과 코사인의 주기성과 코사인이 짝함수라는 사실에 의하여 \[ \cos\gamma=\cos(\alpha-\beta) \] 이다.
삼각형 \(\mathrm{POQ}\)에 코사인 법칙을 적용하면 \(\overline{\mathrm{OP}}=\overline{\mathrm{OQ}}=1\)이므로 \[ \overline{\mathrm{PQ}}^2 = 2-2\cos(\alpha-\beta). \] 한편 두 점의 좌표를 이용하면 \[ \overline{\mathrm{PQ}}^2 = (\cos\alpha-\cos\beta)^2 + (\sin\alpha-\sin\beta)^2. \] 따라서 \[ \begin{aligned} 2-2\cos(\alpha-\beta) &= (\cos\alpha-\cos\beta)^2 + (\sin\alpha-\sin\beta)^2\\ &= 2 - 2\cos\alpha\cos\beta - 2\sin\alpha\sin\beta. \end{aligned} \] 그러므로 \[ \cos(\alpha-\beta) = \cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta. \] 이로써 (4)를 얻었다.
(4)에서 \(\beta\)를 \(-\beta\)로 바꾸고 \[ \cos(-\beta)=\cos\beta, \qquad \sin(-\beta)=-\sin\beta \] 를 사용하면 \[ \cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta \] 를 얻는다. 따라서 (3)이 성립한다.
이제 (3)에서 \(\alpha\)를 \(\frac{\pi}{2}-\alpha\)로 바꾸면 \[ \begin{aligned} \cos\left( \frac{\pi}{2}-\alpha+\beta \right) &= \cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\cos\beta - \sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\sin\beta. \end{aligned} \] 앞에서 얻은 관계를 사용하면 \[ \sin(\alpha-\beta) = \sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta. \] 따라서 (2)가 성립한다.
마지막으로 (2)에서 \(\beta\)를 \(-\beta\)로 바꾸면 \[ \sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta \] 를 얻는다. 따라서 (1)도 성립한다.
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