양항급수

실수열 \(\left\{ a_n \right\}\)의 모든 항이 \(0\) 이상일 때, 무한급수 \[\sum_{n=1}^{\infty}a_n\] 을 양항급수(series of nonnegative terms)라고 부른다.

유계 판정법

실수열 \(\left\{ a_n \right\}\)의 모든 항이 \(0\) 이상이라고 하자. 그리고 \[S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k\] 이라고 하자. 그러면 \[S_{n+1} = S_n + a_{n+1} \ge S_n\] 이므로, 부분합 \(\left\{ S_n \right\}\)은 단조증가하는 수열이다. 만약 \(\left\{ S_n \right\}\)이 유계이면 단조수렴정리에 의하여 \(n\rightarrow\infty\)일 때 \(\left\{ S_n \right\}\)이 수렴한다. 만약 \(\left\{ S_n \right\}\)이 유계가 아니라면 \(n\rightarrow\infty\)일 때 \(\left\{ S_n \right\}\)이 양의 무한대에 발산한다.

그러므로 다음 정리를 얻는다.

자연상수

예제 2.2.1의 (2)에서 살펴본 무한급수 \[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}\] 의 값이 무리수임이 알려져 있다. 이 값을 자연상수(natural constant) 또는 오일러 상수(Euler's constant)라고 부르며, 주로 \(\boldsymbol{e}\)로 나타낸다. [‘오일러 상수’라는 이름은 \(\gamma\)로 나타내는 또 다른 상수가 있으므로, 이 책에서는 ‘자연상수’라는 이름을 사용하기로 한다.] 오일러 상수의 근삿값은 다음과 같다. \[e = 2.718281828459045 \cdots\] 자연상수를 다른 형태로 정의할 수 있다. \[e_n = \left( 1+ \frac{1}{n} \right)^n\] 이라고 하자. 베르누이 부등식에 의하여, \(n > 2\)이고 \(x > -1\)일 때 \[(1+x)^n > 1+nx\] 이므로, 이 식에 \(x = - 1/n^2\)을 대입하면 다음을 얻는다. \[\left( 1- \frac{1}{n^2} \right)^n > 1- \frac{1}{n}\] 좌변의 괄호 안의 식을 인수분해하면 다음 부등식을 얻는다. \[\left( 1+ \frac{1}{n} \right)^n \left( 1- \frac{1}{n} \right)^n > 1 - \frac{1}{n} \] 양변을 \(\left( 1- \frac{1}{n}\right)^n\)으로 나누면 다음 부등식을 얻는다. \[\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n > \left( 1+ \frac{1}{n-1}\right)^{n-1}\] 이 부등식은 \(e_n > e_{n-1}\)을 뜻한다. 그러므로 \(\left\{e_n\right\}\)은 증가수열이다. 또한 \[\begin{align} \left( \frac{1}{n} +1 \right)^n &= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \frac{1}{n^k} \\[5pt] &= \sum_{k=0}^n \left( \frac{n!}{k! (n-k)!} \times \frac{1}{n^k} \right) \\[5pt] &= \sum_{k=0}^n \left\{ \frac{1}{k!} \times \frac{n!}{(n-k)! n^k} \right\} \\[5pt] &\le \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} \\[5pt] &= 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \cdots + \frac{1}{n!} \\[5pt] &\le \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} = e \end{align}\] 이므로 \(\left\{ e_n \right\}\)은 \(e\)에 의하여 위로 유계이다. 그러므로 단조수렴 정리에 의하여 \(\left\{ e_n \right\}\)이 수렴한다.

이제 \(\left\{ e_n \right\}\)의 극한이 \(e\)임을 보이자. \(n\)과 \(m\)이 양의 정수이고 \(n\ge m\)이라고 하자. 이항 정리를 이용하면 다음 부등식을 얻는다. \[\begin{align} \left( 1+ \frac{1}{n} \right)^n &= 1 + 1 + \frac{1}{2!}\left(1-\frac{1}{n}\right) + \frac{1}{3!}\left( 1- \frac{1}{n} \right) \left( 1- \frac{2}{n} \right) + \cdots + \frac{1}{n!}\left( 1- \frac{1}{n} \right) \cdots \left( 1- \frac{n-1}{n}\right) \\[5pt] &\ge 1 + 1 + \frac{1}{2!}\left( 1- \frac{1}{n}\right) + \cdots + \frac{1}{m!}\left(1-\frac{1}{n} \right) \cdots \left( 1- \frac{m-1}{n}\right). \end{align}\] 이 부등식의 양변에 \(n\rightarrow\infty\)인 극한을 취하면 다음 부등식을 얻는다. \[\lim_{n\rightarrow\infty}e_n \ge 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots + \frac{1}{m!}.\] 이 부등식의 양변에 \(m\rightarrow\infty\)인 극한을 취하면 다음 부등식을 얻는다. \[\lim_{n\rightarrow\infty}e_n \ge e.\] 그련데 \(\left\{ e_n \right\}\)이 \(e\)에 의하여 위로 유계이므로, 다음 결과를 얻는다. \[\lim_{n\rightarrow\infty}e_n = e.\]

비교 판정법

\(\left\{a_n\right\}\)과 \(\left\{b_n\right\}\)이 음이 아닌 항으로 이루어진 수열이고, 유한 개의 \(n\)을 제외한 모든 \(n\)에 대하여 \(a_n \le b_n\)이 성립한다고 하자. 즉 자연수 \(N\)이 존재하여 [\(n \ge N\)이면 \(a_n \le b_n\)]을 만족시킨다고 하자. 그러면 \(n \ge N\)일 때 \[\sum_{k=N}^n a_k \le \sum_{k=N}^n b_k\] 가 성립한다. 만약 무한급수 \(\sum_{n-1}^\infty b_n\)이 수렴한다면 위 부등식의 우변이 유계이므로, \(n\rightarrow\infty\)일 때 부등식의 좌변이 수렴한다.

그러므로 다음 정리를 얻는다.

극한 비교 판정법

수열 \(\left\{a_n\right\}\)과 \(\left\{b_n\right\}\)의 모든 항이 양수라고 하자. 그리고 \[\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{b_n}{a_n} = \rho\] 이며, \(\rho\)가 양수인 상수라고 하자. \(\rho +1\)이 \(\rho\)보다 큰 실수이므로, 유한 개를 제외한 모든 \(n\)에 대하여 \[\frac{b_n}{a_n} \le \rho +1\] 이 성립한다. 즉 자연수 \(N\)이 존재하여, \(n\ge N\)일 때 \[\frac{b_n}{a_n} \le \rho +1\] 이 성립한다. 양변에 \(\rho +1\)을 곱하면 다음 부등식을 얻는다. \[b_n \le (\rho +1)a_n .\] 만약 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)이 수렴한다면, 위 부등식에 의하여 \(\sum_{n=1}^{\infty}b_n\)도 수렴한다. 한편 \[\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{1}{\rho}\] 또한 양수인 상수이므로, 만약 \(\sum_{n=1}^{\infty} b_n\)이 수렴한다면 앞에서와 같은 논증에 의하여 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)도 수렴한다.

그러므로 다음 정리를 얻는다.

비 판정법

비교 판정법이나 극한 비교 판정법을 사용하여 주어진 무한급수의 수렴 여부를 판정할 때는 수렴 여부가 알려진 다른 무한급수가 필요했다. 하지만 수렴 여부가 알려진 다른 무한급수가 필요하지 않은 판정법이 있다. 비 판정법과 제곱근 판정법이 그와 같은 판정법이다.

수열 \(\left\{a_n\right\}\)의 모든 항이 양수라고 하자. 그리고 \[\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \rho\] 이며 \(\rho\)가 상수라고 하자. 이제 \(\rho\)가 \(1\)보다 작은 경우와 \(1\)보다 큰 경우로 나누어 살펴보자.

먼저 \(\rho < 1\)인 경우를 살펴보자. \(\rho < r < 1\)인 실수 \(r\)를 택하자. \(n\rightarrow\infty\)일 때 \(a_{n+1}/a_n\)이 \(\rho\)에 수렴하고 \(r > \rho\)이므로, 충분히 큰 모든 \(n\)에 대하여 \[\frac{a_{n+1}}{a_n} \le r\] 가 성립한다. 즉 자연수 \(N\)이 존재하여, \(n\ge N\)일 때 \[\frac{a_{n+1}}{a_n} \le r\] 가 성립한다. 양변에 \(a_n\)을 곱하면 다음 부등식을 얻는다. \[a_{n+1} \le ra_n .\] 여기서 \(n\)을 \(N,\) \(N+1,\) \(N+2,\) \(\cdots\)으로 바꾸면 다음 부등식을 얻는다. \[\begin{align} a_{N+1} &\le ra_N ,\\[5pt] a_{N+2} &\le ra_{N+1} \le r^2 a_N , \\[5pt] a_{N+3} &\le ra_{N+2} \le r^3 a_N , \\[5pt] &\,\,\vdots \\[5pt] a_{N+k} &\le ra_{N+k-1} \le r^k a_N . \end{align}\] 그런데 \(0 < r < 1\)이므로 \(\sum_{k=1}^{\infty} r^k a_N\)이 수렴한다. 또한 \[\begin{align} S_{N+k} &= a_1 + a_2 + \cdots + a_{N+k} \\[5pt] &= a_1 + a_2 + \cdots + a_N + ( a_{N+1} + a_{N+2} + \cdots + a_{N+k}) \\[5pt] &\le a_1 + a_2 + \cdots + a_N + (ra_N + r^2 a_N + \cdots + r^k a_N ) \\[5pt] &\le a_1 + a_2 + \cdots + a_N + \sum_{k=1}^\infty r^k a_N . \end{align}\] 그러므로 \(\left\{ S_n \right\}\)이 유계이며, \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)이 수렴한다.

다음으로 \(\rho > 1\)인 경우를 살펴보자. 이때는 \(\left\{ a_n \right\}\)이 \(0\)에 수렴하지 않는다. 그러므로 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)이 발산한다.

이로써 다음 정리를 얻는다.

제곱근 판정법

수열 \(\left\{ a_n \right\}\)의 모든 항이 \(0\) 이상이라고 하자. 그리고 \[\lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{a_n} = \rho\] 이며 \(\rho\)가 상수라고 하자. 이제 \(\rho\)가 \(1\)보다 작은 경우와 \(1\)보다 큰 경우로 나누어 살펴보자.

먼저 \(\rho < 1\)인 경우를 살펴보자. \(\rho < r < 1\)인 실수 \(r\)를 택하자. \(n\rightarrow\infty\)일 때 \(\sqrt[n]{a_n}\)이 \(\rho\)에 수렴하고 \(r < \rho\)이므로, 자연수 \(N\)이 존재하여, \(n\ge N\)일 때 \[\sqrt[n]{a_n} \le r\] 즉 \[a_n \le r^n\] 이 성립한다. 여기서 \(n\)을 \(N,\) \(N+1,\) \(N+2,\) \(\cdots\)으로 바꾸면 다음 부등식을 얻는다. \[\begin{align} a_N &\le r^N ,\\[5pt] a_{N+1} &\le r^{N+1} ,\\[5pt] a_{N+2} &\le r^{N+2} ,\\[5pt] &\,\,\vdots \\[5pt] a_{N+k} &\le r^{N+k}. \end{align}\] 그런데 \(0 < r < 1\)이므로 \(\sum_{k=0}^{\infty} r^{N+k}\)이 수렴한다. 또한 \[\begin{align} S_{N+k} &= a_1 + a_2 + \cdots + a_{N-1} + (a_N + a_{N+1} + \cdots + a_{N+k}) \\[5pt] &\le a_1 + a_2 + \cdots + a_{N-1} + r^N + r^{N+1} +\cdots + r^{N+k} \\[5pt] &\le a_1 + a_2 + \cdots + a_{N-1} + \sum_{k=0}^{\infty} r^{N+k} \end{align}\] 이다. 그러므로 \(\left\{ S_n \right\}\)이 유계이며, \(\sum_{n=1}^\infty a_n\)이 수렴한다.

다음으로 \(\rho > 1\)인 경우를 살펴보자. 이때는 \(\left\{ a_n \right\}\)이 \(0\)에 수렴하지 않는다. 그러므로 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)이 발산한다.

이로써 다음 정리를 얻는다.

참고. 제곱근 판정법으로 수렴 여부가 판정되지 않는 무한급수가 있다. 예컨대 \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\] 을 살펴보자. \[\lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{\frac{1}{n}} = 1\] 이므로 이 무한급수는 제곱근 판정법으로 판정되지 않는다.

무한급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} 1\)은 제곱근 판정법으로 판정되지 않는 더 간단한 예이다.

코시의 응집 판정법

수열 \(\left\{ a_n \right\}\)의 모든 항이 \(0\) 이상이라고 하자. 그리고 \(\left\{ a_n \right\}\)이 단조감소하며 \(0\)에 수렴한다고 하자. 이제 두 무한급수 \[\sum_{n=1}^{\infty} a_n , \quad \sum_{k=1}^{\infty} 2^k a_{2^k}\] 의 관계를 밝히자.

무한급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)이 수렴한다고 가정하자. 그러면 \[\begin{align} a_1 + \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n 2^k a_{2^k} &= a_1 + a_2 + 2a_4 + 4a_8 + \cdots + 2^{n-1} a_{2^n} \\[5pt] &\le a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_{2^{n-1}+1} + \cdots + a_{2^n -1} + a_{2^n} \\[5pt] &\le \sum_{k=1}^{\infty} a_k \end{align}\] 이므로 \(\sum_{k=1}^{\infty} 2^k a_{2^k}\)이 수렴한다.

역으로, \(\sum_{k=1}^{\infty} 2^k a_{2^k}\)이 수렴한다고 가정하자. 그러면 \[\begin{align} \sum_{k=1}^n a_k &= a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n \\[5pt] &\le a_1 + (a_2 + a_3 ) + (a_4 + a_5 + a_6 + a_7 ) + \cdots + (a_{2^n} + a_{2^n +1} + \cdots + a_{2^{n+1} -1} ) \\[5pt] &\le a_1 + 2a_2 + 4a_4 + \cdots + 2^n a_{2^n} \\[5pt] &\le a_1 + \sum_{k=1}^\infty 2^k a_{2^k} \end{align}\] 이므로 \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\)가 수렴한다.

그러므로 다음 정리를 얻는다.

제곱근 상극한 판정법

상극한을 이용하여 제곱근 판정법을 더 다양한 무한급수의 판정에 사용할 수 있도로 개선할 수 있다.

수열 \(\left\{a_n\right\}\)의 모든 항이 \(0\) 이상이라고 하자. 그리고 \[\varlimsup_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{a_n} = \rho\] 이며 \(\rho\)가 상수라고 하자.

\(\rho < 1\)인 경우 \(\rho < r < 1\)인 실수 \(r\)를 택하자. \(\left\{ \sqrt[n]{a_n}\right\}\)의 부분수열 중에서 \(\rho\)보다 더 큰 값에 수렴하는 것은 존재하지 않으므로, 충분히 큰 모든 \(n\)에 대하여 \[\sqrt[n]{a_n} \le r\] 가 성립한다. 이것은 앞에서 제곱근 판정법을 증명할 때와 같은 상황이다. 그러므로 제곱근 판정법과 마찬가지로 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)이 수렴한다는 결론을 얻는다.

\(\rho > 1\)인 경우, \(\rho\)와 \(1\) 사이에서 실수 \(r\)을 택할 수 있다. [\(\rho = \infty\)일 수 있기 때문에 이러한 작업이 필요하다.] 그러면 \(\left\{ \sqrt[n]{a_n}\right\}\)의 부분수열 중에서 \(r\)보다 큰 값에 수렴하는 것이 존재한다. 그러한 부분수열은 \(0\)에 수렴하지 않으므로 \(\left\{ a_n \right\}\) 또한 \(0\)에 수렴하지 않는다. 그러므로 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)이 수렴하지 않는다.

이로써 다음 정리를 얻는다.

위 정리의 이름을 ‘제곱근 상극한 판정법’이라고 붙였지만, 사실 그냥 ‘제곱근 판정법’이라고 부른다.