양항급수

by I Seul Bee

이 글은 『미적분학 첫걸음』 2장 2절의 내용입니다.  (미적분학 첫걸음 차례 보기)

실수열 \(\left\{a_n\right\}\)의 모든 항이 \(0\) 이상일 때 무한급수 \[ \sum_{n=1}^{\infty}a_n \] 을 이 책에서는 양항급수(series of nonnegative terms)라고 부른다. 양항급수에서는 부분합이 단조증가하므로 수열의 단조수렴 정리를 이용하여 여러 가지 수렴 판정법을 얻을 수 있다.

급수의 시작 첨자는 반드시 \(1\)일 필요는 없다. 예를 들어 \[ \sum_{n=0}^{\infty}a_n \] 과 같은 급수도 같은 방법으로 정의한다. 또한 유한 개의 항을 추가하거나 제거해도 급수의 수렴 여부는 변하지 않는다.

유계 판정법

실수열 \(\left\{a_n\right\}\)의 모든 항이 \(0\) 이상이고 \[ S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k \] 라고 하자. 그러면 \[ S_{n+1}=S_n+a_{n+1}\ge S_n \] 이므로 부분합수열 \(\left\{S_n\right\}\)은 단조증가한다.

따라서 \(\left\{S_n\right\}\)이 위로 유계이면 단조수렴 정리에 의하여 수렴한다. 반대로 \(\left\{S_n\right\}\)이 위로 유계가 아니면 단조증가수열이므로 \[ S_n\rightarrow\infty. \] 이로부터 다음 정리를 얻는다.

정리 2.2.1. (유계 판정법, Boundedness Test)

실수열 \(\left\{a_n\right\}\)의 모든 항이 \(0\) 이상이라고 하자. 이때 무한급수 \[ \sum_{n=1}^{\infty}a_n \] 이 수렴할 필요충분조건은 부분합수열 \(\left\{S_n\right\}\)이 위로 유계인 것이다.

예제 2.2.1. 다음 무한급수의 수렴 여부를 판정하시오.

  1. \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)
  2. \(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\)
  3. \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)

풀이.

(1) \(n\ge2\)일 때 \[ \frac{1}{n^2} \le \frac{1}{(n-1)n} = \frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}. \] 따라서 \[ \begin{aligned} S_n &= 1+\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{k^2}\\ &\le 1+ \sum_{k=2}^{n} \left( \frac{1}{k-1}-\frac{1}{k} \right)\\ &= 2-\frac1n\\ &\le2. \end{aligned} \] 따라서 부분합수열은 위로 유계이고, 유계 판정법에 의하여 \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2} \] 은 수렴한다.

(2) \(0!=1\)로 정의한다. \(k\ge2\)이면 \[ k!\ge2^{k-1} \] 이므로 \[ \frac1{k!}\le\frac1{2^{k-1}}. \] 따라서 \[ \begin{aligned} S_n &= \sum_{k=0}^{n}\frac1{k!}\\ &\le 1+1+ \frac12+\frac1{2^2}+\cdots+\frac1{2^{n-1}}\\ &< 3. \end{aligned} \] 그러므로 부분합수열이 위로 유계이고 \[ \sum_{n=0}^{\infty}\frac1{n!} \] 은 수렴한다.

(3) \(m\)이 양의 정수라고 하자. 부분합 \(S_{2^m}\)을 다음과 같이 묶을 수 있다. \[ \begin{aligned} S_{2^m} &= 1+\frac12 + \left(\frac13+\frac14\right) + \left(\frac15+\frac16+\frac17+\frac18\right) +\cdots\\ &\qquad+ \left( \frac1{2^{m-1}+1} +\cdots+ \frac1{2^m} \right)\\ &\ge 1+\frac12 + 2\cdot\frac14 + 4\cdot\frac18 +\cdots+ 2^{m-1}\cdot\frac1{2^m}\\ &= 1+\frac{m}{2}. \end{aligned} \] \(m\)을 얼마든지 크게 할 수 있으므로 부분합수열은 위로 유계가 아니다. 따라서 \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac1n \] 은 양의 무한대로 발산한다.

자연상수

예제 2.2.1의 (2)에서 무한급수 \[ \sum_{n=0}^{\infty}\frac1{n!} \] 이 수렴함을 보였다. 이 급수의 합을 자연상수(Euler's number)라고 부르고 \[ e \] 로 나타낸다. 즉 \[ e = \sum_{n=0}^{\infty}\frac1{n!} = 2.718281828459045\cdots. \]

자연상수는 수열의 극한으로도 나타낼 수 있다. 다음 수열을 생각하자. \[ e_n = \left( 1+\frac1n \right)^n. \] 이항 정리를 이용하면 \[ e_n = 2+ \sum_{k=2}^{n} \frac1{k!} \left( 1-\frac1n \right) \left( 1-\frac2n \right) \cdots \left( 1-\frac{k-1}{n} \right). \]

\(2\le k\le n\)일 때 각 인수는 \(n\)을 \(n+1\)로 바꾸면 커진다. 또한 \(e_{n+1}\)에는 \(e_n\)에 없는 양의 항이 하나 더 있으므로 \[ e_n < e_{n+1}. \] 따라서 \(\left\{e_n\right\}\)은 단조증가한다.

한편 각 괄호 안의 인수는 \(1\) 이하이므로 \[ \begin{aligned} e_n &\le \sum_{k=0}^{n}\frac1{k!}\\ &\le \sum_{k=0}^{\infty}\frac1{k!} = e. \end{aligned} \] 따라서 \(\left\{e_n\right\}\)은 위로 유계이고 단조수렴 정리에 의하여 어떤 실수 \(L\)에 수렴한다.

이제 \(L=e\)임을 보이자. 양의 정수 \(m\)을 고정하고 \(n\ge m\)이라고 하면 \[ e_n \ge 2+ \sum_{k=2}^{m} \frac1{k!} \left( 1-\frac1n \right) \left( 1-\frac2n \right) \cdots \left( 1-\frac{k-1}{n} \right). \] \(n\rightarrow\infty\)인 극한을 취하면 \[ L \ge \sum_{k=0}^{m}\frac1{k!}. \] 이 부등식은 모든 \(m\)에 대하여 성립하므로 \(m\rightarrow\infty\)로 보내면 \[ L\ge e. \] 한편 \(e_n\le e\)이므로 \(L\le e\)이다. 따라서 \[ L=e. \]

자연상수 \[ { \lim_{n\rightarrow\infty} \left( 1+\frac1n \right)^n = \sum_{n=0}^{\infty}\frac1{n!} = e } \]

\(e>1\)이므로 밑이 \(e\)인 로그함수를 정의할 수 있다. 이를 자연로그(natural logarithm)라고 부르고 \[ \ln x = \log_e x \qquad (x>0) \] 와 같이 나타낸다.

비교 판정법

보조정리. (유한 개의 항과 급수의 수렴)

무한급수에서 유한 개의 항을 추가하거나 제거하거나 바꾸어도 급수의 수렴 여부는 변하지 않는다.

증명.

유한 개의 항을 추가하거나 제거하면 충분히 큰 \(n\)에서 두 부분합수열의 차이는 하나의 상수가 된다. 상수를 더하거나 빼는 것은 수열의 수렴 여부에 영향을 주지 않으므로 결과를 얻는다.

이제 \(\left\{a_n\right\}\)과 \(\left\{b_n\right\}\)이 음이 아닌 항으로 이루어진 수열이고, 충분히 큰 모든 \(n\)에 대하여 \[ a_n\le b_n \] 이라고 하자. \(N\) 이후에서 이 부등식이 성립한다면 \[ \sum_{k=N}^{n}a_k \le \sum_{k=N}^{n}b_k. \] 이를 이용하면 다음 판정법을 얻는다.

정리 2.2.2. (비교 판정법, Direct Comparison Test)

\(\left\{a_n\right\}\)과 \(\left\{b_n\right\}\)이 음이 아닌 항으로 이루어진 수열이고, 충분히 큰 모든 \(n\)에 대하여 \[ a_n\le b_n \] 이라고 하자.

  1. 만약 \[ \sum_{n=1}^{\infty}b_n \] 이 수렴하면 \[ \sum_{n=1}^{\infty}a_n \] 도 수렴한다.
  2. 만약 \[ \sum_{n=1}^{\infty}a_n \] 이 발산하면 \[ \sum_{n=1}^{\infty}b_n \] 도 발산한다.

증명.

(1) 충분히 큰 \(n\)에서 \(a_n\le b_n\)이라고 하자. \(\sum b_n\)이 수렴하면 그 꼬리 부분합은 위로 유계이다. 따라서 \[ \sum_{k=N}^{n}a_k \le \sum_{k=N}^{n}b_k \] 에 의하여 \(\sum a_n\)의 꼬리 부분합도 위로 유계이다. 유계 판정법에 의하여 꼬리 급수가 수렴하고, 유한 개의 처음 항은 수렴 여부에 영향을 주지 않으므로 \(\sum a_n\)이 수렴한다.

(2)는 (1)의 대우이다.

예제 2.2.2. \(p\ge2\)라고 하자. 예제 2.2.1의 (1)에 의하여 \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2} \] 은 수렴한다. 또한 \[ 0\le \frac1{n^p} \le \frac1{n^2}. \] 따라서 비교 판정법에 의하여 \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^p} \] 도 수렴한다.

예제 2.2.3. 예제 2.2.1의 (3)에 의하여 \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac1n \] 은 발산한다. 그런데 \[ \frac1n \le \frac1{\sqrt n} \] 이므로 비교 판정법에 의하여 \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac1{\sqrt n} \] 도 발산한다.

극한 비교 판정법

\(\left\{a_n\right\}\)과 \(\left\{b_n\right\}\)의 모든 항이 양수이고 \[ \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{b_n} = \rho, \qquad 0 < \rho < \infty \] 라고 하자.

예를 들어 \[ \frac{\rho}{2} < \rho < \frac{3\rho}{2} \] 이므로 충분히 큰 모든 \(n\)에 대하여 \[ \frac{\rho}{2} < \frac{a_n}{b_n} < \frac{3\rho}{2}. \] 따라서 \[ \frac{\rho}{2}b_n < a_n < \frac{3\rho}{2}b_n. \] 비교 판정법을 양쪽에 적용하면 두 급수는 동시에 수렴하거나 동시에 발산한다.

정리 2.2.3. (극한 비교 판정법, Limit Comparison Test)

\(\left\{a_n\right\}\)과 \(\left\{b_n\right\}\)의 모든 항이 양수이고 \[ \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{a_n}{b_n} = \rho, \qquad 0 < \rho < \infty \] 라고 하자. 그러면 \[ \sum_{n=1}^{\infty}a_n \] 이 수렴할 필요충분조건은 \[ \sum_{n=1}^{\infty}b_n \] 이 수렴하는 것이다.

예제 2.2.4. 다음 무한급수의 수렴 여부를 판정하시오. \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4n^2-n+3}{n^3+2n}. \]

풀이. 분모의 차수가 분자의 차수보다 \(1\) 크다는 사실에 주목하여 \[ a_n = \frac{4n^2-n+3}{n^3+2n}, \qquad b_n=\frac1n \] 이라고 하자. 그러면 \[ \begin{aligned} \frac{a_n}{b_n} &= \frac{4n^3-n^2+3n}{n^3+2n}\\ &\rightarrow4. \end{aligned} \] 그런데 \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac1n \] 은 발산하므로 극한 비교 판정법에 의하여 \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4n^2-n+3}{n^3+2n} \] 도 발산한다.

비 판정법

비교 판정법과 극한 비교 판정법을 사용하려면 수렴 여부가 이미 알려진 다른 급수와 비교해야 한다. 다음의 비 판정법과 제곱근 판정법은 주어진 일반항 자체를 이용하여 수렴 여부를 조사한다.

\(\left\{a_n\right\}\)의 모든 항이 양수이고 \[ \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \rho \] 라고 하자.

먼저 \[ \rho < 1 \] 이라고 하자. 다음을 만족시키는 실수 \(r\)를 택할 수 있다. \[ \rho < r < 1. \] 그러면 충분히 큰 모든 \(n\)에 대하여 \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \le r, \] 즉 \[ a_{n+1}\le ra_n. \] 어떤 \(N\) 이후에 이 부등식이 성립한다면 \[ a_{N+k} \le r^k a_N \qquad (k\ge1). \] 따라서 급수의 꼬리는 수렴하는 등비급수에 의하여 위에서 억제되므로 비교 판정법에 의하여 \[ \sum_{n=1}^{\infty}a_n \] 이 수렴한다.

이제 \[ \rho>1 \] 이라고 하자. \(1 < r < \rho\)인 실수 \(r\)를 택하면 충분히 큰 모든 \(n\)에 대하여 \[ \frac{a_{n+1}}{a_n}>r. \] 따라서 \[ a_{N+k} \ge r^k a_N, \] 이므로 \(a_n\)은 \(0\)에 수렴하지 않는다. 일반항 판정법에 의하여 급수는 발산한다.

정리 2.2.4. (비 판정법, Ratio Test)

\(\left\{a_n\right\}\)의 모든 항이 양수이고 \[ \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \rho \] 라고 하자.

  1. \(\rho < 1\)이면 \[ \sum_{n=1}^{\infty}a_n \] 은 수렴한다.
  2. \(\rho>1\)이면 \[ \sum_{n=1}^{\infty}a_n \] 은 발산한다.
  3. \(\rho=1\)이면 이 판정법만으로는 급수의 수렴 여부를 결정할 수 없다.

예제 2.2.5. \(x>0\)일 때 다음 무한급수의 수렴 여부를 판정하시오. \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n!}. \]

풀이. \[ a_n=\frac{x^n}{n!} \] 이라고 하면 \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{x}{n+1} \rightarrow0. \] 따라서 비 판정법에 의하여 \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n!} \] 은 수렴한다.

예제 2.2.6. 두 무한급수 \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac1n, \qquad \sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2} \] 을 생각하자. 첫째 급수는 발산하고 둘째 급수는 수렴한다.

그런데 \[ \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{\frac1{n+1}}{\frac1n} = 1 \] 이고 \[ \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{\frac1{(n+1)^2}}{\frac1{n^2}} = 1. \] 따라서 비 판정법에서 \(\rho=1\)인 경우에는 급수가 수렴할 수도 있고 발산할 수도 있다.

제곱근 판정법

\(\left\{a_n\right\}\)의 모든 항이 \(0\) 이상이고 \[ \lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a_n} = \rho \] 라고 하자.

먼저 \[ \rho < 1 \] 이라고 하자. \(\rho < r < 1\)인 실수 \(r\)를 택하면 충분히 큰 모든 \(n\)에 대하여 \[ \sqrt[n]{a_n}\le r. \] 따라서 \[ a_n\le r^n. \] 등비급수 \[ \sum r^n \] 이 수렴하므로 비교 판정법에 의하여 \[ \sum a_n \] 도 수렴한다.

다음으로 \[ \rho>1 \] 이라고 하자. \(1 < r < \rho\)인 \(r\)를 택하면 충분히 큰 모든 \(n\)에 대하여 \[ \sqrt[n]{a_n}>r. \] 따라서 \[ a_n>r^n, \] 이므로 \(a_n\)은 \(0\)에 수렴하지 않는다. 따라서 급수는 발산한다.

정리 2.2.5. (제곱근 판정법, Root Test)

\(\left\{a_n\right\}\)의 모든 항이 \(0\) 이상이고 \[ \lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a_n} = \rho \] 라고 하자.

  1. \(\rho < 1\)이면 \[ \sum_{n=1}^{\infty}a_n \] 은 수렴한다.
  2. \(\rho>1\)이면 \[ \sum_{n=1}^{\infty}a_n \] 은 발산한다.
  3. \(\rho=1\)이면 이 판정법만으로는 급수의 수렴 여부를 결정할 수 없다.

예제 2.2.7. \(x\ge0\)일 때 다음 무한급수의 수렴 여부를 판정하시오. \[ 1+2x+x^2+2x^3+x^4+2x^5+\cdots. \]

풀이. \(x=0\)이면 급수는 자명하게 수렴한다. 이제 \(x>0\)이라고 하자.

첫째 항을 \(a_1\)로 놓으면 \[ a_n = \begin{cases} x^{n-1}, & n\text{이 홀수일 때},\\[4pt] 2x^{n-1}, & n\text{이 짝수일 때}. \end{cases} \] 따라서 \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \] 은 \(2x\)와 \(x/2\)가 번갈아 나타나므로 일반적으로 극한이 존재하지 않는다. 따라서 비 판정법을 직접 적용할 수 없다.

한편 \(n\)이 홀수이면 \[ \sqrt[n]{a_n} = x^{(n-1)/n} \rightarrow x \] 이고, \(n\)이 짝수이면 \[ \sqrt[n]{a_n} = 2^{1/n}x^{(n-1)/n} \rightarrow x. \] 따라서 \[ \lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{a_n} = x. \] 그러므로 제곱근 판정법에 의하여 \(x < 1\)이면 급수가 수렴하고 \(x>1\)이면 발산한다.

\(x=1\)이면 일반항이 \[ 1,\,2,\,1,\,2,\ldots \] 와 같이 \(0\)에 수렴하지 않으므로 급수는 발산한다. 따라서 주어진 급수는 \[ 0\le x < 1 \] 일 때에만 수렴한다.

참고. 제곱근 판정법에서 극한이 \(1\)이면 판정할 수 없는 경우가 있다. 예를 들어 \[ \sqrt[n]{\frac1n}\rightarrow1, \qquad \sqrt[n]{\frac1{n^2}}\rightarrow1 \] 이지만 \[ \sum\frac1n \] 은 발산하고 \[ \sum\frac1{n^2} \] 은 수렴한다.

코시의 응집 판정법

\(\left\{a_n\right\}\)이 음이 아닌 항으로 이루어진 단조감소수열이라고 하자. 다음 두 급수의 수렴 여부를 비교할 수 있다. \[ \sum_{n=1}^{\infty}a_n, \qquad \sum_{k=1}^{\infty}2^k a_{2^k}. \]

정리 2.2.6. (코시의 응집 판정법, Cauchy's Condensation Test)

\(\left\{a_n\right\}\)이 음이 아닌 항으로 이루어진 단조감소수열이라고 하자. 그러면 \[ \sum_{n=1}^{\infty}a_n \] 이 수렴할 필요충분조건은 \[ \sum_{k=1}^{\infty}2^k a_{2^k} \] 이 수렴하는 것이다.

증명.

먼저 \[ \sum_{n=1}^{\infty}a_n \] 이 수렴한다고 하자. 단조감소성에 의하여 \[ a_{2^{k-1}+1},\ldots,a_{2^k} \] 의 각 항은 \(a_{2^k}\) 이상이다. 따라서 \[ 2^{k-1}a_{2^k} \le \sum_{j=2^{k-1}+1}^{2^k}a_j. \] 그러므로 \[ \frac12 \sum_{k=1}^{m}2^ka_{2^k} \le \sum_{j=2}^{2^m}a_j. \] 오른쪽이 위로 유계이므로 왼쪽도 위로 유계이다. 유계 판정법에 의하여 \[ \sum_{k=1}^{\infty}2^ka_{2^k} \] 은 수렴한다.

거꾸로 \[ \sum_{k=1}^{\infty}2^ka_{2^k} \] 이 수렴한다고 하자. 단조감소성에 의하여 \[ \sum_{j=2^k}^{2^{k+1}-1}a_j \le 2^k a_{2^k}. \] 따라서 \[ \begin{aligned} S_{2^{m+1}-1} &= a_1+ \sum_{k=1}^{m} \sum_{j=2^k}^{2^{k+1}-1}a_j\\ &\le a_1+ \sum_{k=1}^{m}2^ka_{2^k}\\ &\le a_1+ \sum_{k=1}^{\infty}2^ka_{2^k}. \end{aligned} \] 부분합수열은 단조증가하고, 위의 부분합들에 의하여 전체가 위로 유계이므로 유계 판정법에 따라 \[ \sum_{n=1}^{\infty}a_n \] 이 수렴한다.

예제 2.2.8. 다음 무한급수의 수렴 여부를 판정하시오.

  1. \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac1n\)
  2. \(\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac1{n\ln n}\)
  3. \(\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac1{n(\ln n)^2}\)
  4. \(\displaystyle\sum_{n=9}^{\infty}\frac1{n\ln(\ln n)}\)

풀이.

(1) 수열 \(\left\{1/n\right\}\)은 단조감소한다. 응집한 급수는 \[ \sum_{k=1}^{\infty} 2^k\frac1{2^k} = \sum_{k=1}^{\infty}1 \] 이므로 발산한다. 따라서 \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac1n \] 도 발산한다.

(2) \(n\ge2\)에서 \[ \frac1{n\ln n} \] 은 양수이고 단조감소한다. 유한 개의 항은 수렴 여부에 영향을 주지 않으므로 응집 판정법을 적용하면 \[ \begin{aligned} \sum 2^k\frac1{2^k\ln(2^k)} &= \sum\frac1{k\ln2}\\ &= \frac1{\ln2} \sum\frac1k. \end{aligned} \] 이는 발산하므로 \[ \sum_{n=2}^{\infty}\frac1{n\ln n} \] 도 발산한다.

(3) 마찬가지로 \[ \begin{aligned} \sum 2^k\frac1{2^k(\ln(2^k))^2} &= \sum \frac1{k^2(\ln2)^2}\\ &= \frac1{(\ln2)^2} \sum\frac1{k^2}. \end{aligned} \] 마지막 급수는 수렴하므로 \[ \sum_{n=2}^{\infty} \frac1{n(\ln n)^2} \] 도 수렴한다.

(4) \(n\ge9\)에서 \[ \frac1{n\ln(\ln n)} \] 은 양수이고 단조감소한다. 충분히 큰 \(k\)에 대하여 응집한 일반항은 \[ 2^k \frac1{ 2^k\ln(\ln2^k) } = \frac1{\ln(k\ln2)}. \] 그런데 충분히 큰 \(k\)에 대하여 \[ 0 < \ln(k\ln2) < k \] 이므로 \[ \frac1{\ln(k\ln2)} > \frac1k. \] 조화급수가 발산하므로 비교 판정법에 의하여 응집한 급수도 발산한다. 따라서 \[ \sum_{n=9}^{\infty} \frac1{n\ln(\ln n)} \] 은 발산한다.

예제 2.2.9. \(p\)가 실수일 때 무한급수 \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^p} \] 를 \(\boldsymbol{p}\)-급수(\(p\)-series)라고 부른다. 이 급수가 수렴할 필요충분조건이 \[ p>1 \] 임을 보이시오.

풀이. \(p\le0\)이면 \[ \frac1{n^p} \] 가 \(0\)에 수렴하지 않으므로 일반항 판정법에 의하여 급수는 발산한다.

이제 \(p>0\)이라고 하자. 수열 \[ \left\{\frac1{n^p}\right\} \] 은 단조감소한다. 코시의 응집 판정법에 의하여 원래 급수의 수렴 여부는 \[ \begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty} 2^n\frac1{(2^n)^p} &= \sum_{n=1}^{\infty} 2^{n(1-p)}\\ &= \sum_{n=1}^{\infty} \left( 2^{1-p} \right)^n \end{aligned} \] 의 수렴 여부와 같다.

마지막 급수는 무한등비급수이며 수렴할 필요충분조건은 \[ 2^{1-p} < 1 \] 이다. 밑 \(2\)인 지수함수는 증가하므로 이는 \[ 1-p < 0, \] 즉 \[ p>1 \] 과 동치이다. 따라서 \[ { \sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^p} \text{이 수렴한다} \quad\Longleftrightarrow\quad p>1 } \] 이다.

제곱근 상극한 판정법

앞의 제곱근 판정법은 \[ \sqrt[n]{a_n} \] 의 극한이 존재할 때에만 적용할 수 있다. 상극한을 이용하면 극한이 존재하지 않는 경우에도 같은 아이디어를 적용할 수 있다.

\(\left\{a_n\right\}\)의 모든 항이 \(0\) 이상이고 \[ \rho = \varlimsup_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{a_n} \] 라고 하자. 여기서 \(\rho\)는 \(\infty\)일 수도 있다.

먼저 \[ \rho < 1 \] 이라고 하자. \(\rho < r < 1\)인 실수 \(r\)를 택한다. 앞 절의 상극한 정의에 의하여 \[ \sup_{k\ge n}\sqrt[k]{a_k} \rightarrow\rho. \] 따라서 충분히 큰 \(n\)에 대하여 \[ \sup_{k\ge n}\sqrt[k]{a_k} < r. \] 특히 충분히 큰 모든 \(k\)에 대하여 \[ \sqrt[k]{a_k} < r, \] 즉 \[ a_k

이번에는 \[ \rho>1 \] 이라고 하자. \(1 < r < \rho\)인 실수 \(r\)를 택한다. \(\rho=\infty\)인 경우에도 이러한 \(r\)를 택할 수 있다.

상극한이 \(r\)보다 크므로 임의의 \(N\)에 대하여 어떤 \(n\ge N\)이 존재하여 \[ \sqrt[n]{a_n}>r \] 이다. 따라서 이러한 \(n\)이 무한히 많이 존재하고 \[ a_n>r^n>1 \] 이다. 그러므로 \(a_n\)은 \(0\)에 수렴하지 않는다. 일반항 판정법에 의하여 \[ \sum a_n \] 은 발산한다.

정리 2.2.7. (제곱근 상극한 판정법, Root Test in limsup form)

\(\left\{a_n\right\}\)의 모든 항이 \(0\) 이상이고 \[ \rho = \varlimsup_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{a_n} \] 라고 하자.

  1. \(\rho < 1\)이면 \[ \sum_{n=1}^{\infty}a_n \] 은 수렴한다.
  2. \(\rho>1\)이면 \[ \sum_{n=1}^{\infty}a_n \] 은 발산한다.
  3. \(\rho=1\)이면 이 판정법만으로는 급수의 수렴 여부를 결정할 수 없다.

보통은 이 상극한 형태까지 포함하여 ‘제곱근 판정법’이라고 부른다.

보기 2.2.10. 수열 \(\left\{a_n\right\}\)이 \[ a_{2n} = \frac1{n^n}, \qquad a_{2n-1} = \frac1{2^n} \] 으로 주어졌다고 하자. 즉 \[ \frac12,\, 1,\, \frac1{2^2},\, \frac1{2^2},\, \frac1{2^3},\, \frac1{3^3},\, \frac1{2^4},\, \frac1{4^4},\, \ldots \] 와 같은 수열이다.

짝수 번째 항에 대해서는 \[ \sqrt[2n]{a_{2n}} = \frac1{\sqrt n} \rightarrow0 \] 이고, 홀수 번째 항에 대해서는 \[ \sqrt[2n-1]{a_{2n-1}} = \frac1{2^{\,n/(2n-1)}} \rightarrow \frac1{\sqrt2}. \] 따라서 \[ \varlimsup_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{a_n} = \frac1{\sqrt2} < 1. \] 그러므로 제곱근 상극한 판정법에 의하여 \[ \sum_{n=1}^{\infty}a_n \] 은 수렴한다.