실수계

by I Seul Bee

이 글은 『미적분학 첫걸음』 0장 4절의 내용입니다.  (미적분학 첫걸음 차례 보기)

실수계를 정의하는 방법은 여러 가지가 있다. 여기서는 실수계가 만족시키는 대수적 성질, 순서에 관한 성질, 그리고 완비성에 관한 성질을 공리로 받아들임으로써 실수계를 다루기로 한다.

실수계의 공리

실수계(real number system)란 집합 \(\mathbb{R}\)에 덧셈이라고 불리는 이항연산 ‘\(+\)’와 곱셈이라고 불리는 이항연산 ‘\(\cdot\)’, 그리고 순서관계 ‘\(\le\)’가 주어져 있고 다음의 대수 공리와 순서 공리, 그리고 뒤에서 설명할 최소상계 성질을 만족시키는 수 체계이다.

대수 공리. 임의의 \(a,b,c\in\mathbb{R}\)에 대하여 다음이 성립한다.

  • 덧셈과 곱셈은 교환법칙을 만족시킨다. \[ a+b=b+a, \qquad a\cdot b=b\cdot a. \]
  • 덧셈과 곱셈은 결합법칙을 만족시킨다. \[ (a+b)+c=a+(b+c), \qquad (a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c). \]
  • \(\mathbb{R}\)에 원소 \(0\)이 존재하여 모든 \(a\in\mathbb{R}\)에 대하여 \[ a+0=a \] 가 성립한다. 이 원소를 덧셈에 대한 항등원이라고 부른다.
  • 각 \(a\in\mathbb{R}\)에 대하여 \[ a+b=0 \] 을 만족시키는 \(b\in\mathbb{R}\)가 존재한다. 이 원소를 \(a\)의 덧셈에 대한 역원이라고 부른다.
  • \(\mathbb{R}\)에 \(0\)과 다른 원소 \(1\)이 존재하여 모든 \(a\in\mathbb{R}\)에 대하여 \[ a\cdot1=a \] 가 성립한다. 이 원소를 곱셈에 대한 항등원이라고 부른다.
  • 각 \(0\ne a\in\mathbb{R}\)에 대하여 \[ a\cdot b=1 \] 을 만족시키는 \(b\in\mathbb{R}\)가 존재한다. 이 원소를 \(a\)의 곱셈에 대한 역원이라고 부른다.
  • 곱셈은 덧셈에 대하여 분배법칙을 만족시킨다. \[ a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c. \]

위의 공리로부터 \(0\)과 \(1\), 그리고 각 원소의 역원은 유일함을 알 수 있다. 예를 들어 \(0\)과 \(0'\)이 모두 덧셈에 대한 항등원이면 \[ 0=0+0'=0' \] 이다. 또한 \(b\)와 \(c\)가 모두 \(a\)의 덧셈에 대한 역원이면 \[ b=b+0=b+(a+c)=(b+a)+c=0+c=c. \] 곱셈에 대한 항등원과 곱셈에 대한 역원의 유일성도 같은 방법으로 확인할 수 있다. 따라서 \(a\)의 덧셈에 대한 역원을 \(-a\), \(0\ne a\)의 곱셈에 대한 역원을 \(a^{-1}\) 또는 \(1/a\)와 같이 나타낸다.

순서 공리. 임의의 \(a,b,c\in\mathbb{R}\)에 대하여 다음이 성립한다.

  • \(a\le a\)이다.
  • \(a\le b\)이고 \(b\le a\)이면 \(a=b\)이다.
  • \(a\le b\)이고 \(b\le c\)이면 \(a\le c\)이다.
  • \(a\le b\) 또는 \(b\le a\) 중 하나 이상이 성립한다.
  • \(a\le b\)이면 모든 \(c\in\mathbb{R}\)에 대하여 \[ a+c\le b+c \] 이다.
  • \(0\le a\)이고 \(0\le b\)이면 \[ 0\le a\cdot b \] 이다.

\(a\le b\)이고 \(a\ne b\)일 때 \(a< b\)라고 쓴다. 마찬가지로 \(a>b\)는 \(b< a\)라는 뜻이다.

이러한 대수 공리와 순서 공리를 만족시키는 수 체계를 순서체(ordered field)라고 부른다. 실수계는 순서체일 뿐 아니라 다음 절에서 설명하는 완비성도 만족시킨다.

최소상계 성질

\(E\)가 \(\mathbb{R}\)의 부분집합이라고 하자. 모든 \(x\in E\)에 대하여 \[ x\le b \] 를 만족시키는 실수 \(b\)가 존재하면 \(E\)를 위로 유계(bounded above)라고 말하고, 이러한 \(b\)를 \(E\)의 상계(upper bound)라고 부른다.

\(E\)가 공집합이 아니고 위로 유계라고 하자. \(b\)가 \(E\)의 상계이고, \(E\)의 임의의 상계 \(c\)에 대하여 \[ b\le c \] 가 성립하면 \(b\)를 \(E\)의 최소상계(least upper bound) 또는 상한(supremum)이라고 부른다. 최소상계가 존재하면 그것은 유일하며 \[ b=\sup E \] 와 같이 나타낸다.

최소상계 성질.

\(E\)가 \(\mathbb{R}\)의 공집합이 아닌 부분집합이고 위로 유계이면, \(E\)의 최소상계가 존재하며 \[ \sup E\in\mathbb{R} \] 이다.

이 성질을 완비성 공리(completeness axiom) 또는 상한 공리라고 부르기도 한다. 대수 공리와 순서 공리를 만족시키는 것만으로는 실수계의 중요한 성질을 모두 얻을 수 없으며, 최소상계 성질이 실수와 유리수를 구별하는 핵심적인 조건이다.

보기. 유리수 집합 \(\mathbb{Q}\)는 최소상계 성질을 만족시키지 않는다.

다음 집합을 생각하자. \[ E=\left\{q\in\mathbb{Q}\,\vert\,q>0\text{ and }q^2<2\right\}. \] \(1\in E\)이므로 \(E\)는 공집합이 아니고, \(2\)는 \(E\)의 상계이므로 \(E\)는 \(\mathbb{Q}\)에서 위로 유계이다.

\(E\)가 \(\mathbb{Q}\)에서 최소상계 \(b\)를 가진다고 가정하자. \(1\in E\)이고 \(2\)가 상계이므로 \[ 1\le b\le2. \] 이제 \(b^2\)의 값에 따라 나누어 생각하자.

먼저 \(b^2<2\)라고 하자. 다음과 같이 놓는다. \[ \delta=\frac{2-b^2}{2b+1}. \] 그러면 \(\delta\)는 양의 유리수이고 \(0 < \delta < 1\)이다. 따라서 \[ \begin{aligned} (b+\delta)^2 &=b^2+2b\delta+\delta^2\\ &< b^2+(2b+1)\delta\\ &=2. \end{aligned} \] 그러므로 \(b+\delta\in E\)이다. 그러나 \(b+\delta>b\)이므로 \(b\)가 \(E\)의 상계라는 사실에 모순이다.

이번에는 \(b^2>2\)라고 하자. 다음과 같이 놓는다. \[ \delta=\frac{b^2-2}{2b+1}. \] 그러면 \(0< \delta< b\)이고 \[ \begin{aligned} (b-\delta)^2 &=b^2-2b\delta+\delta^2\\ &>b^2-2b\delta\\ &>2. \end{aligned} \] 따라서 \(q\in E\)이면 \(q>b-\delta\)일 수 없다. 실제로 \(q>b-\delta>0\)이면 \[ q^2>(b-\delta)^2>2 \] 가 되어 \(q\in E\)라는 사실에 모순이다. 그러므로 \(b-\delta\)도 \(E\)의 상계이다. 그런데 \(b-\delta< b\)이므로 \(b\)가 최소상계라는 사실에 모순이다.

마지막으로 \(b^2=2\)인 유리수 \(b\)도 존재하지 않는다. 실제로 \(b=m/n\)을 기약분수로 나타내면 \[ m^2=2n^2 \] 이다. 따라서 \(m\)은 짝수이고 \(m=2k\)로 쓸 수 있다. 이를 대입하면 \[ n^2=2k^2 \] 이므로 \(n\)도 짝수가 되어 \(m/n\)이 기약분수라는 사실에 모순이다.

따라서 세 경우가 모두 불가능하므로 \(E\)는 \(\mathbb{Q}\)에서 최소상계를 갖지 않는다.

실수계의 최소상계 성질은 뒤에서 수열의 극한과 함수의 극한을 전개할 때 중요한 역할을 한다. 예를 들어 유계인 단조실수열이 반드시 수렴한다는 단조수렴정리는 최소상계 성질로부터 얻어진다. 이러한 의미에서 실수계는 완비(complete)하다고 말한다.

구간

\(I\)가 \(\mathbb{R}\)의 부분집합이라고 하자. \(x,y\in I\)이고 \[ x\le z\le y \] 인 실수 \(z\)가 항상 \(I\)에 속하면 \(I\)를 구간(interval)이라고 부른다.

\(a,b\in\mathbb{R}\)이고 \(a\le b\)라고 하자. 두 유한한 끝점 \(a,b\)를 갖는 구간은 다음과 같이 나타낸다. \[ \begin{align} [a,\,b] &=\left\{x\in\mathbb{R}\,\vert\,a\le x\le b\right\},\\[6pt] (a,\,b) &=\left\{x\in\mathbb{R}\,\vert\,a< x< b\right\},\\[6pt] [a,\,b) &=\left\{x\in\mathbb{R}\,\vert\,a\le x< b\right\},\\[6pt] (a,\,b] &=\left\{x\in\mathbb{R}\,\vert\,a< x\le b\right\}. \end{align} \] 첫 번째 형태의 구간을 닫힌구간(closed interval), 두 번째 형태의 구간을 열린구간(open interval)이라고 부른다. 나머지 두 형태를 반열린구간(half-open interval) 또는 반닫힌구간(half-closed interval)이라고 부른다.

\(a=b\)이면 \[ [a,a]=\{a\}, \qquad (a,a)=[a,a)=(a,a]=\varnothing. \]

한쪽 또는 양쪽으로 끝이 없는 구간도 다음과 같이 나타낸다. \[ \begin{align} (-\infty,\,b) &=\left\{x\in\mathbb{R}\,\vert\,x< b\right\},\\[6pt] (-\infty,\,b] &=\left\{x\in\mathbb{R}\,\vert\,x\le b\right\},\\[6pt] (a,\,\infty) &=\left\{x\in\mathbb{R}\,\vert\,a< x\right\},\\[6pt] [a,\,\infty) &=\left\{x\in\mathbb{R}\,\vert\,a\le x\right\},\\[6pt] (-\infty,\,\infty) &=\mathbb{R}. \end{align} \] 여기서 \(\infty\)와 \(-\infty\)는 실수가 아니라 구간을 나타내기 위하여 사용하는 기호이다. 따라서 \(\infty\)가 붙은 쪽에는 대괄호를 사용하지 않는다.

\(a\le b\)일 때 위의 유계구간 \[ [a,b],\qquad(a,b),\qquad[a,b),\qquad(a,b] \] 의 길이(length)를 \(b-a\)로 정의한다. \(a=b\)이면 길이는 \(0\)이고, \(a< b\)이면 길이는 양수이다. \(a< b\)인 구간을 퇴화되지 않은 구간(nondegenerate interval)이라고 부르기도 한다.