실수계

실수계를 정의하는 방법은 여러 가지가 있다. 여기서는 실수계가 만족시켜야 할 성질을 나열함으로써 실수계를 정의하기로 한다.

실수계의 공리

실수계(real number system)란 집합 \(\mathbb{R}\)에 덧셈이라고 불리는 이항연산 ‘\(+\)’와 곱셈이라고 불리는 이항연산 ‘\(\cdot\)’ 그리고 순서관계 ‘\(\le\)’가 주어져 있는 것이다. 단, 이 연산과 관계는 다음 조건을 모두 만족시킨다.

• \(\mathbb{R}\)의 임의의 원소 \(a,\) \(b\)에 대하여, \(a+b\)와 \(a\cdot b\)가 모두 \(\mathbb{R}\)에 속한다.
• \(\mathbb{R}\)의 임의의 원소 \(a,\) \(b\)에 대하여, \(a+b = b+a\)와 \(a\cdot b = b\cdot a\)가 성립한다.
• \(\mathbb{R}\)의 임의의 원소 \(a,\) \(b,\) \(c\)에 대하여, \((a+b)+c = a+(b+c)\)와 \((a\cdot b)\cdot c = a\cdot (b\cdot c)\)가 성립한다.
• \(\mathbb{R}\)에 원소 \(0\)이 존재하여, 임의의 \(a\in\mathbb{R}\)에 대하여 \(a+0 = a\) 그리고 \(0+a = a\)를 만족시킨다. 이러한 조건을 만족시키는 원소 \(0\)은 유일하다. 이 원소 \(0\)을 덧셈에 대한 항등원이라고 부른다.
• \(\mathbb{R}\)의 임의의 원소 \(a\)에 대하여 \(b\in\mathbb{R}\)가 존재하여 \(a+b =0\) 그리고 \(b+a=0\)을 만족시킨다. 각 \(a\)에 대하여 이 조건을 만족시키는 \(b\)는 유일하다. 이 원소 \(b\)를 \(a\)의 덧셈에 대한 역원이라고 부른다. \(a\)의 덧셈에 대한 역원을 \(-a\)와 같이 나타낸다.
• \(\mathbb{R}\)에 \(0\)이 아닌 원소 \(1\)이 존재하여, 임의의 \(a\in\mathbb{R}\)에 대하여 \(a \cdot 1 = a\) 그리고 \(1\cdot a = a\)를 만족시킨다. 이러한 조건을 만족시키는 원소 \(1\)은 유일하다. 이 원소 \(1\)을 곱셈에 대한 항등원이라고 부른다.
• \(\mathbb{R}\)의 \(0\)이 아닌 임의의 원소 \(a\)에 대하여 \(b\in\mathbb{R}\)가 존재하여 \(a\cdot b =1\) 그리고 \(b\cdot a=1\)을 만족시킨다. 각 \(a\)에 대하여 이 조건을 만족시키는 \(b\)는 유일하다. 이 원소 \(b\)를 \(a\)의 곱셈에 대한 역원이라고 부른다. \(a\)의 곱셈에 대한 역원을 \(a^{-1}\) 또는 \(1/a\)와 같이 나타낸다.
• \(\mathbb{R}\)의 임의의 원소 \(a\)에 대하여, \(a\le a\)가 성립한다.
• \(\mathbb{R}\)의 임의의 원소 \(a,\) \(b\)에 대하여, [\(a\le b\) 그리고 \(b\le a\)]이면 \(a=b\)이다.
• \(\mathbb{R}\)의 임의의 원소 \(a,\) \(b,\) \(c\)에 대하여, [\(a\le b\) 그리고 \(b\le c\)]이면 \(a\le c\)이다.
• \(\mathbb{R}\)의 임의의 원소 \(a,\) \(b\)에 대하여, \(a\le b\) 또는 \(b\le a\) 중 하나 이상이 성립한다.
• \(E\)가 \(\mathbb{R}\)의 부분집합이고 공집합이 아니며 위로 유계이면, \(E\)의 최소상계가 존재하며 그 최소상계는 \(\mathbb{R}\)에 속한다.

최소상계 성질

실수계의 공리 중 마지막 조건을 제외한 다른 조건들은 우리가 친숙하게 사용하던 실수의 성질이다. 하지만 마지막 조건을 온전하게 이해하려면 ‘유계’, ‘상계’ 같은 몇 가지 개념을 알아야 한다.

\(E\)가 \(\mathbb{R}\)의 부분집합이라고 하자. 만약 [모든 \(x\in E\)에 대하여 \(x\le b\)]를 만족시키는 실수 \(b\)가 존재한다면 “\(E\)는 \(b\)에 의하여 위로 유계(bounded above)이다”라고 말하고 \(b\)를 \(E\)의 상계(upper bound)라고 부른다. 만약 \(E\)가 공집합이 아니고 위로 유계이면 \(E\)의 상계 중 가장 작은 값 \(b\)가 존재한다. 그러한 상계 \(b\)를 \(E\)의 최소상계(least upper bound) 또는 상한(supremum)이라고 부른다.

유리수 집합 \(\mathbb{Q}\)는 그러한 성질을 갖지 않는다. 예컨대 다음과 같은 집합 \(E\)를 살펴보자. \[E = \left\{ q\in \mathbb{Q} \,\vert\, q^2 < 2 \right\}.\] 명백히 \(E\)는 \(\mathbb{Q}\)의 부분집합이고 공집합이 아니며 위로 유계이다. 하지만 \(E\)의 최소상계가 \(\mathbb{Q}\)에 존재하지 않는다. 그 이유는 다음과 같다. \(E\)의 최소상계가 \(b\)이고, \(b\)가 유리수라고 가정하자. 그러면 \(b\)는 \(\sqrt{2}\)와 일치하지 않으므로 \(\sqrt{2}\)보다 크거나 또는 \(\sqrt{2}\)보다 작다. 만약 \(b > \sqrt{2}\)라면 \(\sqrt{2} < r < b\)인 유리수 \(r\)가 존재한다. 그러면 \(r\)는 \(b\)보다 더 작은 상계가 되므로, \(b\)가 최소상계라는 가정에 모순이다. 만약 \(b < \sqrt{2}\)라면 \(b < s < \sqrt{2}\)인 \(s\in E\)가 존재한다. 그러면 \(b\)는 \(E\)의 상계가 아닌 것이 되므로 모순이다.

실수계의 공리 중 마지막 조건을 최소상계 성질이라고 부른다. (‘완비성 공리’, ‘상한 공리’라고 부르기도 한다.) 이 성질은 수열의 극한과 함수의 극한의 이론을 전개할 때 중요한 역할을 한다. 즉 최소상계 성질에 의하여, 실수열이 수렴하면 그 극한은 반드시 실수이다. 반면 유리수열은 수렴하더라도 그 극한이 유리수가 아닐 수 있다. 이와 같은 맥락에서 “실수계는 완비성(completeness property)을 가진다”라고 말한다.

구간

구간이란 두 실수 사이에 있는 수들의 모임이다. 구간은 네 가지 형태가 있으며, 각각의 정의는 다음과 같다. \[\begin{align} [a,\,b] &= \left\{ x\in \mathbb{R} \,\vert\, a \le x \le b \right\}, \\[6pt] (a,\,b) &= \left\{ x\in \mathbb{R} \,\vert\, a < x < b \right\}, \\[6pt] [a,\,b) &= \left\{ x\in \mathbb{R} \,\vert\, a \le x < b \right\}, \\[6pt] (a,\,b] &= \left\{ x\in \mathbb{R} \,\vert\, a < x \le b \right\}. \end{align}\] 첫 번째 형태의 구간을 닫힌구간(closed interval)이라고 부르며, 두 번째 형태의 구간을 열린구간(open interval)이라고 부른다. 세 번째 형태와 네 번째 형태의 구간을 반열린구간(half-open interval) 또는 반닫힌구간(half-closed interval)이라고 부른다.

만약 \(a\ge b\)이면 \((a,\,b),\) \([a,\,b),\) \((a,\,b]\)는 모두 공집합이다. 만약 \(a=b\)이면 \([a,\,b]\)는 원소가 하나인 집합 \(\left\{a \right\}\)이다. 만약 \(a > b\)이면 \([a,\,b],\) \((a,\,b),\) \([a,\,b),\) \((a,\,b]\)는 모두 공집합이다.

\(a \le b\)일 때, 구간의 길이를 \(b-a\)로 정의한다. 만약 \(a > b\)이면 구간의 길이를 \(0\)으로 정의한다. 만약 \(a < b\)이면, 구간이 양수 길이를 가진다(nondegenerate)라고 말한다.