상극한과 하극한

by I Seul Bee

이 글은 『미적분학 첫걸음』 1장 6절의 내용입니다.  (미적분학 첫걸음 차례 보기)

\(\left\{a_n\right\}\)이 \[ a_n=(-1)^n \] 으로 정의된 실수열이라고 하자. 이 수열은 수렴하지 않는다. 그러나 짝수 번째 항과 홀수 번째 항만 각각 골라 만든 수열을 살펴보면 \[ a_{2n}\rightarrow1, \qquad a_{2n+1}\rightarrow-1 \] 이다. 이처럼 원래 수열에서 일부 항을 순서를 유지하면서 골라 만든 수열의 극한을 조사하면, 수렴하지 않는 수열의 장기적인 움직임을 더 자세히 살펴볼 수 있다.

부분수열과 집적점

\(\left\{a_n\right\}\)이 실수열이라고 하자. 수열의 첨자 가운데 \[ r_1 < r_2 < r_3 < \cdots \] 인 첨자들을 골라 만든 수열 \[ a_{r_1},\,a_{r_2},\,a_{r_3},\,\ldots \] 을 \(\left\{a_n\right\}\)의 부분수열(subsequence)이라고 부르고 \[ \left\{a_{r_k}\right\} \] 와 같이 나타낸다.

\(\lambda\)가 실수라고 하자. \(\left\{a_n\right\}\)의 어떤 부분수열 \(\left\{a_{r_k}\right\}\)이 존재하여 \[ a_{r_k}\rightarrow\lambda \] 이면 \(\lambda\)를 \(\left\{a_n\right\}\)의 집적점(cluster point)이라고 부른다.

수렴하는 수열의 부분수열은 모두 원래 수열과 같은 값에 수렴한다. 실제로 \[ a_n\rightarrow L \] 이고 \(\left\{a_{r_k}\right\}\)이 부분수열이라고 하자. 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 충분히 큰 \(n\)에서 \[ |a_n-L| < \epsilon \] 이다. 한편 \(r_k\rightarrow\infty\)이므로 충분히 큰 \(k\)에서는 \(r_k\)도 이 조건을 만족한다. 따라서 \[ a_{r_k}\rightarrow L. \]

보기 1.6.1.

  1. 수열 \[ \left\{\frac{1}{n}\right\} \] 은 \(0\)을 집적점으로 가진다. 또한 이 수열은 \(0\)에 수렴하므로 모든 부분수열도 \(0\)에 수렴한다. 따라서 \(0\)은 이 수열의 유일한 집적점이다.
  2. 양의 정수 \(n\)의 \(100\)의 자리 숫자를 \(h_n\)이라고 하자. 단, \(n < 100\)일 때에는 \(h_n=0\)으로 정의하자. 그러면 \(0,1,\ldots,9\)가 각각 무한히 많이 나타나므로 이들 모두가 \(\left\{h_n\right\}\)의 집적점이다.
  3. 수열 \[ 1,\,1,\,2,\,1,\,2,\,3,\,1,\,2,\,3,\,4,\,1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,\cdots \] 은 모든 양의 정수를 집적점으로 가진다.
  4. 함수 \[ \phi:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{Q} \] 가 일대일 대응이고 \[ r_n=\phi(n) \] 이라고 하자. 유리수가 실수 안에서 조밀하므로 임의의 실수 \(\lambda\)에 한없이 가까워지는 서로 다른 유리수들을 차례로 고를 수 있다. 따라서 임의의 실수는 \(\left\{r_n\right\}\)의 집적점이다.

정리 1.6.1. (Bolzano-Weierstrass 정리)

유계인 실수열은 적어도 하나의 집적점을 가진다.

증명.

\(\left\{a_n\right\}\)이 유계라고 하자. 그러면 어떤 양수 \(M\)이 존재하여 모든 \(n\)에 대하여 \[ |a_n|\le M \] 이다. 따라서 모든 항은 닫힌구간 \[ I_0=[-M,M] \] 에 속한다.

\(I_0\)를 길이가 같은 두 닫힌구간으로 나누면 그중 적어도 하나에는 수열의 항이 무한히 많이 들어 있다. 그러한 구간 하나를 \(I_1\)이라고 하자. 다시 \(I_1\)을 길이가 같은 두 닫힌구간으로 나누고, 수열의 항을 무한히 많이 포함하는 구간 하나를 \(I_2\)라고 하자. 이 과정을 반복하여 \[ I_0\supseteq I_1\supseteq I_2\supseteq\cdots \] 를 얻는다.

\[ I_k=[x_k,y_k] \] 라고 하면 \(I_k\)는 수열의 항을 무한히 많이 포함하고 그 길이는 \[ y_k-x_k=\frac{2M}{2^k} \] 이다.

각 \(I_k\)가 수열의 항을 무한히 많이 포함하므로 첨자들을 \[ m_1 < m_2 < m_3 < \cdots \] 가 되도록 택하면서 \[ a_{m_k}\in I_k \] 가 되게 할 수 있다. 따라서 \(\left\{a_{m_k}\right\}\)은 \(\left\{a_n\right\}\)의 부분수열이다.

한편 \(\left\{x_k\right\}\)은 단조증가하면서 위로 유계이고, \(\left\{y_k\right\}\)은 단조감소하면서 아래로 유계이다. 단조수렴 정리에 의하여 어떤 실수 \(X,Y\)에 대하여 \[ x_k\rightarrow X, \qquad y_k\rightarrow Y. \] 그런데 \[ y_k-x_k=\frac{2M}{2^k}\rightarrow0 \] 이므로 \[ Y-X=0. \] 따라서 \(X=Y\)이다. 이 공통값을 \(\lambda\)라고 하자.

모든 \(k\)에 대하여 \[ x_k\le a_{m_k}\le y_k \] 이므로 조임 정리에 의하여 \[ a_{m_k}\rightarrow\lambda. \] 따라서 \(\lambda\)는 \(\left\{a_n\right\}\)의 집적점이다.

참고. Bolzano-Weierstrass 정리의 역은 성립하지 않는다. 예를 들어 \[ r_n=(-2)^n+2^n \] 이라고 하자. 홀수 \(n\)에 대해서는 \(r_n=0\)이므로 \(0\)은 이 수열의 집적점이다. 그러나 짝수 번째 항은 \[ r_{2n}=2^{2n+1} \] 이고 양의 무한대로 발산하므로 \(\left\{r_n\right\}\)은 유계가 아니다.

상극한과 하극한

상극한과 하극한을 정의하기 위하여 수열의 뒷부분에 나타나는 값들을 살펴보자. \(\left\{a_n\right\}\)이 실수열이고 \(n\)이 첨자라고 하자. \(n\)번째 이후의 항들로 이루어진 집합을 \[ E_n = \left\{ a_k \,\middle|\, k\ge n \right\} \] 이라고 하자.

상한과 하한을 \(\infty\)와 \(-\infty\)까지 허용하여 생각하기로 한다. 즉 집합이 위로 유계가 아니면 그 상한을 \(\infty\), 아래로 유계가 아니면 그 하한을 \(-\infty\)라고 쓰기로 한다.

각 \(n\)에 대하여 \[ s_n=\sup E_n, \qquad t_n=\inf E_n \] 이라고 하자. \(E_{n+1}\subseteq E_n\)이므로 \[ s_{n+1}\le s_n, \qquad t_n\le t_{n+1}. \] 즉 \(\left\{s_n\right\}\)은 단조감소하고 \(\left\{t_n\right\}\)은 단조증가한다.

\(\left\{a_n\right\}\)의 상극한(limit superior)과 하극한(limit inferior)을 각각 \[ \varlimsup_{n\rightarrow\infty}a_n = \inf_n\sup_{k\ge n}a_k \] 및 \[ \varliminf_{n\rightarrow\infty}a_n = \sup_n\inf_{k\ge n}a_k \] 로 정의한다. 다음과 같이 쓰기도 한다. \[ \limsup_{n\rightarrow\infty}a_n, \qquad \liminf_{n\rightarrow\infty}a_n. \] 상극한과 하극한의 값으로는 실수뿐 아니라 \(\infty\)와 \(-\infty\)도 허용한다.

따라서 상극한과 하극한은 모든 실수열에 대하여 정의된다. 예를 들어 수열이 위로 유계가 아니면 모든 꼬리집합 \(E_n\)도 위로 유계가 아니므로 \[ \varlimsup_{n\rightarrow\infty}a_n=\infty. \] 마찬가지로 수열이 아래로 유계가 아니면 \[ \varliminf_{n\rightarrow\infty}a_n=-\infty. \] 또한 \[ a_n\rightarrow\infty \] 이면 \[ \varliminf_{n\rightarrow\infty}a_n = \varlimsup_{n\rightarrow\infty}a_n = \infty, \] 이고 \[ a_n\rightarrow-\infty \] 이면 두 값이 모두 \(-\infty\)이다.

보기 1.6.2.

  1. 만약 \(a_n=(-1)^n\)이면 \[ \varlimsup_{n\rightarrow\infty}a_n=1, \qquad \varliminf_{n\rightarrow\infty}a_n=-1. \]
  2. 만약 \[ b_n=(-2)^n+2^n \] 이면 짝수 번째 항은 양의 무한대로 발산하고 홀수 번째 항은 \(0\)이다. 따라서 \[ \varlimsup_{n\rightarrow\infty}b_n=\infty, \qquad \varliminf_{n\rightarrow\infty}b_n=0. \]
  3. 만약 \(c_n=(-2)^n\)이면 \[ \varlimsup_{n\rightarrow\infty}c_n=\infty, \qquad \varliminf_{n\rightarrow\infty}c_n=-\infty. \]
  4. 만약 \[ d_n=\left(\frac12\right)^n \] 이면 \(d_n\rightarrow0\)이므로 \[ \varlimsup_{n\rightarrow\infty}d_n = \varliminf_{n\rightarrow\infty}d_n = 0. \]

정리 1.6.2.

\(\left\{a_n\right\}\)이 유계인 실수열이고 집적점들의 집합을 \(C\)라고 하자. 그러면 \(C\)는 공집합이 아니며 최댓값과 최솟값을 가진다. 또한 \[ \max C = \varlimsup_{n\rightarrow\infty}a_n \] 이고 \[ \min C = \varliminf_{n\rightarrow\infty}a_n. \] 특히 \[ \varliminf_{n\rightarrow\infty}a_n \le \varlimsup_{n\rightarrow\infty}a_n. \]

증명.

Bolzano-Weierstrass 정리에 의하여 \(C\)는 공집합이 아니다. 다음과 같이 놓자. \[ s_n=\sup_{k\ge n}a_k, \qquad t_n=\inf_{k\ge n}a_k. \] 수열 \(\left\{a_n\right\}\)이 유계이므로 \(s_n\)과 \(t_n\)은 모두 실수이다. 또한 \(\left\{s_n\right\}\)은 단조감소하고 아래로 유계이며, \(\left\{t_n\right\}\)은 단조증가하고 위로 유계이다. 따라서 단조수렴 정리에 의하여 \[ s_n\rightarrow S, \qquad t_n\rightarrow T \] 인 실수 \(S,T\)가 존재한다. 정의에 의하여 \[ S=\varlimsup_{n\rightarrow\infty}a_n, \qquad T=\varliminf_{n\rightarrow\infty}a_n. \]

먼저 \(S\)가 집적점임을 보이자. \(n_1 < n_2 < \cdots\)를 충분히 빠르게 증가하도록 택하고, 각 \(j\)에 대하여 \[ a_{m_j}>s_{n_j}-\frac1j, \qquad m_j\ge n_j \] 이면서 \[ m_1 < m_2 < \cdots \] 가 되도록 \(m_j\)를 고를 수 있다. 상한의 정의에 의하여 이러한 항이 존재한다. 또한 \[ a_{m_j}\le s_{n_j}. \] 따라서 \[ s_{n_j}-\frac1j < a_{m_j} \le s_{n_j}. \] \(s_{n_j}\rightarrow S\)이므로 조임 정리에 의하여 \[ a_{m_j}\rightarrow S. \] 따라서 \(S\in C\)이다.

이제 \(\lambda\in C\)라고 하자. 어떤 부분수열 \(\left\{a_{r_j}\right\}\)에 대하여 \[ a_{r_j}\rightarrow\lambda \] 이다. 임의의 고정된 \(n\)에 대하여 충분히 큰 \(j\)에서는 \(r_j\ge n\)이므로 \[ a_{r_j}\le s_n. \] 극한의 순서 보존 성질에 의하여 \[ \lambda\le s_n. \] 이는 모든 \(n\)에 대하여 성립하므로 \[ \lambda\le S. \] 따라서 \(S\)는 \(C\)의 최댓값이다.

같은 방법으로 \(T\)에 수렴하는 부분수열을 만들 수 있고, 모든 \(\lambda\in C\)에 대하여 \[ T\le\lambda \] 임을 보일 수 있다. 따라서 \[ T=\min C. \] 그러므로 \[ \varliminf_{n\rightarrow\infty}a_n = T \le S = \varlimsup_{n\rightarrow\infty}a_n. \]

정리 1.6.3.

\(\left\{a_n\right\}\)이 유계인 실수열이고 \(L\)이 실수라고 하자. 다음 두 조건은 서로 동치이다.

  1. \(\left\{a_n\right\}\)이 \(L\)에 수렴한다.
  2. \[ \varliminf_{n\rightarrow\infty}a_n = \varlimsup_{n\rightarrow\infty}a_n = L. \]

증명.

\(\left\{a_n\right\}\)이 \(L\)에 수렴한다고 하자. 수렴하는 수열의 모든 부분수열도 \(L\)에 수렴하므로 \(L\)은 유일한 집적점이다. 정리 1.6.2에 의하여 \[ \varliminf_{n\rightarrow\infty}a_n = \varlimsup_{n\rightarrow\infty}a_n = L. \]

거꾸로 \[ \varliminf_{n\rightarrow\infty}a_n = \varlimsup_{n\rightarrow\infty}a_n = L \] 이라고 하자. 다음과 같이 놓는다. \[ s_n=\sup_{k\ge n}a_k, \qquad t_n=\inf_{k\ge n}a_k. \] 그러면 \[ s_n\rightarrow L, \qquad t_n\rightarrow L. \] 또한 모든 \(n\)에 대하여 \[ t_n\le a_n\le s_n. \] 따라서 조임 정리에 의하여 \[ a_n\rightarrow L. \]

정리 1.6.3은 주어진 유계수열이 수렴하는지 판정할 때 유용하다. 특히 상극한과 하극한이 서로 다르면 그 수열은 수렴하지 않는다.

보기 1.6.3.

  1. \(a_n=(-1)^n\)이면 \[ \varlimsup_{n\rightarrow\infty}a_n = 1 \ne -1 = \varliminf_{n\rightarrow\infty}a_n \] 이므로 \(\left\{a_n\right\}\)은 수렴하지 않는다.
  2. 수열 \(\left\{b_n\right\}\)이 \[ 3,\,6,\,9,\,3,\,6,\,9,\,3,\,6,\,9,\,\cdots \] 로 주어졌다면 \[ \varlimsup_{n\rightarrow\infty}b_n = 9 \ne 3 = \varliminf_{n\rightarrow\infty}b_n. \] 따라서 \(\left\{b_n\right\}\)은 수렴하지 않는다.
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