이 글은 『미적분학 첫걸음』 1장 7절의 내용입니다. (미적분학 첫걸음 차례 보기)
\(\mathbb{R}^d\)가 \(d\)차원 유클리드 공간이고 \(d\)가 양의 정수라고 하자. 0장 8절에서 벡터 \[ \mathbf{v} = (v_1,\,v_2,\,\ldots,\,v_d) \in\mathbb{R}^d \] 의 노름을 \[ \lVert\mathbf{v}\rVert = \sqrt{v_1^2+v_2^2+\cdots+v_d^2} \] 로 정의하였다.
\(\mathbf{u},\mathbf{v}\in\mathbb{R}^d\)일 때 \[ \lVert\mathbf{u}-\mathbf{v}\rVert \] 를 \(\mathbf{u}\)와 \(\mathbf{v}\) 사이의 거리(distance)라고 부른다. 이제 이 거리를 이용하여 벡터수열의 극한을 정의할 수 있다.
벡터수열의 극한
\(\left\{\mathbf{a}_n\right\}\)이 벡터수열(vector sequence), 즉 각 항 \(\mathbf{a}_n\)이 \(\mathbb{R}^d\)에 속하는 수열이라고 하자. 벡터 \(\mathbf{L}\in\mathbb{R}^d\)에 대하여 \[ \lim_{n\rightarrow\infty} \lVert\mathbf{a}_n-\mathbf{L}\rVert = 0 \] 이면 \(\left\{\mathbf{a}_n\right\}\)이 \(\mathbf{L}\)에 수렴한다고 말한다. 이때 \(\mathbf{L}\)을 \(\left\{\mathbf{a}_n\right\}\)의 극한이라고 부르고 \[ \lim_{n\rightarrow\infty}\mathbf{a}_n = \mathbf{L} \] 또는 \[ \mathbf{a}_n\rightarrow\mathbf{L} \quad\text{as}\quad n\rightarrow\infty \] 와 같이 나타낸다.
실수열의 극한에 대한 \(\epsilon\)-\(N\) 정의를 이용하면 위 정의는 다음 조건과 동치이다. 임의의 양수 \(\epsilon\)에 대하여 충분히 큰 모든 첨자 \(n\)에서 \[ \lVert\mathbf{a}_n-\mathbf{L}\rVert < \epsilon \] 이 성립한다.
\(d=1\)인 경우에는 \(\mathbb{R}^1\)을 \(\mathbb{R}\)과 동일시할 수 있고 \[ \lVert a_n-L\rVert=|a_n-L| \] 이므로 위 정의는 실수열의 수렴 정의와 일치한다.
보기 1.7.1.
- \[ \mathbf{a}_n = \left( \frac{1}{n},\, \frac{n}{n+1} \right) \] 이고 \[ \mathbf{L}=(0,\,1) \] 이라고 하자. 그러면 \[ \begin{aligned} \lVert\mathbf{a}_n-\mathbf{L}\rVert &= \sqrt{ \frac{1}{n^2} + \left( \frac{n}{n+1}-1 \right)^2 }\\ &= \sqrt{ \frac{1}{n^2} + \frac{1}{(n+1)^2} }\\ &\le \frac{\sqrt{2}}{n}. \end{aligned} \] 그런데 \[ \frac{\sqrt{2}}{n}\rightarrow0 \] 이므로 조임 정리에 의하여 \[ \lVert\mathbf{a}_n-\mathbf{L}\rVert\rightarrow0. \] 따라서 \[ \mathbf{a}_n\rightarrow(0,\,1). \]
- \[ \mathbf{b}_n = \left( \frac{1}{n},\,2n \right) \] 이라고 하자. 임의의 벡터 \[ \mathbf{L}=(L_1,\,L_2) \] 에 대하여 \[ \begin{aligned} \lVert\mathbf{b}_n-\mathbf{L}\rVert &= \sqrt{ \left( \frac1n-L_1 \right)^2 + (2n-L_2)^2 }\\ &\ge |2n-L_2|. \end{aligned} \] 또한 \[ |2n-L_2| \ge 2n-|L_2| \rightarrow\infty. \] 따라서 \[ \lVert\mathbf{b}_n-\mathbf{L}\rVert\rightarrow\infty. \] 그러므로 \(\left\{\mathbf{b}_n\right\}\)은 어떠한 벡터에도 수렴하지 않는다.
다음 정리는 벡터수열의 극한을 각 성분의 극한으로 계산할 수 있음을 보여 준다.
정리 1.7.1. (성분별 수렴)
\[ \mathbf{a}_n = \left( a_n^{(1)},\, a_n^{(2)},\, \ldots,\, a_n^{(d)} \right) \] 이고 \[ \mathbf{L} = (L_1,\,L_2,\,\ldots,\,L_d) \] 라고 하자. 이때 \[ \mathbf{a}_n\rightarrow\mathbf{L} \] 일 필요충분조건은 모든 \(j=1,2,\ldots,d\)에 대하여 \[ a_n^{(j)}\rightarrow L_j \] 인 것이다.
증명.
먼저 \[ \mathbf{a}_n\rightarrow\mathbf{L} \] 이라고 하자. 각 \(j=1,\ldots,d\)에 대하여 \[ \left| a_n^{(j)}-L_j \right| \le \lVert\mathbf{a}_n-\mathbf{L}\rVert. \] 오른쪽이 \(0\)에 수렴하므로 조임 정리에 의하여 \[ a_n^{(j)}\rightarrow L_j. \]
거꾸로 모든 \(j=1,\ldots,d\)에 대하여 \[ a_n^{(j)}\rightarrow L_j \] 라고 하자. 그러면 \[ \left( a_n^{(j)}-L_j \right)^2 \rightarrow0 \] 이므로 수열의 극한에 관한 사칙연산 법칙에 의하여 \[ \sum_{j=1}^{d} \left( a_n^{(j)}-L_j \right)^2 \rightarrow0. \] 따라서 \[ \begin{aligned} \lVert\mathbf{a}_n-\mathbf{L}\rVert &= \sqrt{ \sum_{j=1}^{d} \left( a_n^{(j)}-L_j \right)^2 }\\ &\rightarrow0. \end{aligned} \] 그러므로 \[ \mathbf{a}_n\rightarrow\mathbf{L}. \]
보기 1.7.2.
- \[ \mathbf{a}_n = \left( \frac{1}{n},\, \frac{n}{n+1} \right) \] 이면 \[ \frac1n\rightarrow0, \qquad \frac{n}{n+1}\rightarrow1. \] 따라서 정리 1.7.1에 의하여 \[ \mathbf{a}_n\rightarrow(0,\,1). \]
- \[ \mathbf{b}_n = \left( \frac1n,\,2n \right) \] 이면 두 번째 성분 \(2n\)이 실수로 수렴하지 않는다. 따라서 정리 1.7.1에 의하여 \(\left\{\mathbf{b}_n\right\}\)은 수렴하지 않는다.
복소수열의 극한
임의의 복소수 \(z\)는 유일한 실수 \(a,b\)를 사용하여 \[ z=a+b\boldsymbol{i} \] 의 꼴로 나타낼 수 있다. 따라서 대응 \[ a+b\boldsymbol{i} \longleftrightarrow (a,\,b) \] 를 이용하여 \(\mathbb{C}\)를 \(\mathbb{R}^2\)와 자연스럽게 동일시할 수 있다. 정확히 말하면 복소수의 덧셈과 실수 스칼라배를 고려할 때 \(\mathbb{C}\)는 \(\mathbb{R}^2\)와 같은 구조의 실수 벡터공간이다.
복소수 \[ z=a+b\boldsymbol{i} \] 의 절댓값(absolute value) 또는 모듈러스(modulus)를 \[ |z| = \sqrt{a^2+b^2} \] 로 정의한다. 이 값은 \(z\)에 대응하는 벡터 \((a,b)\)의 유클리드 노름과 같다. 따라서 두 복소수 \(z,w\) 사이의 거리는 \[ |z-w| \] 로 나타낼 수 있다.
\(\left\{z_n\right\}\)이 복소수열이고 \(z\in\mathbb{C}\)라고 하자. 만약 \[ |z_n-z|\rightarrow0 \] 이면 \(\left\{z_n\right\}\)이 \(z\)에 수렴한다고 말하고 \[ \lim_{n\rightarrow\infty}z_n=z \] 또는 \[ z_n\rightarrow z \quad\text{as}\quad n\rightarrow\infty \] 와 같이 나타낸다.
이제 \[ z_n=a_n+b_n\boldsymbol{i}, \qquad z=a+b\boldsymbol{i} \] 라고 하자. 그러면 \[ |z_n-z| = \sqrt{ (a_n-a)^2+(b_n-b)^2 }. \] 따라서 정리 1.7.1에서 \(d=2\)인 경우를 적용하면 \[ z_n\rightarrow z \] 일 필요충분조건은 \[ a_n\rightarrow a \qquad\text{and}\qquad b_n\rightarrow b \] 인 것이다.
보기 1.7.3. \(n\ge2\)일 때 \[ z_n = \frac{4n}{2n+1} + \frac{3n+1}{n-1}\boldsymbol{i} \] 라고 하자. 그러면 \[ \frac{4n}{2n+1}\rightarrow2 \] 이고 \[ \frac{3n+1}{n-1}\rightarrow3 \] 이므로 \[ \lim_{n\rightarrow\infty}z_n = 2+3\boldsymbol{i}. \]
이처럼 유클리드 공간의 벡터수열과 복소수열의 수렴은 각 성분을 이루는 실수열의 수렴으로 환원할 수 있다. 이후 벡터값 함수나 여러 변수를 가진 함수의 극한에서도 같은 관점이 사용된다.