이 글은 『미적분학 첫걸음』 1장 7절의 내용입니다. (미적분학 첫걸음 차례 보기)
\(\mathbb{R}^d\)가 유클리드 공간이고 \(d\)가 \(2\) 이상인 정수라고 하자.
\(\mathbf{v} = \left(v_1 ,\, v_2 ,\, \cdots ,\, v_d \right) \in\mathbb{R}^d \)일 때 \(\mathbf{v}\)의 노름(norm)을 다음과 같이 정의한다. \[\left\lvert \mathbf{v} \right\rvert = \sqrt{v_1 ^2 + v_2 ^2 + \cdots + v_d ^2} .\] \(\mathbf{u}\)와 \(\mathbf{v}\)가 \(\mathbb{R}^d\)의 점일 때, \[\left\lvert \mathbf{u} - \mathbf{v} \right\rvert\] 를 \(\mathbf{u}\)와 \(\mathbf{v}\) 사이의 거리(distance)라고 정의한다.
유클리드 공간에서 점 사이의 거리를 정의하였으므로, 이제 유클리드 공간에서의 극한을 논할 수 있다.
\(\left\{ \mathbf{a}_n\right\}\)이 벡터수열(vector sequence)이라고 하자. 즉 각 항 \(\mathbf{a}_n\)이 \(\mathbb{R}^d\)에 속한다고 하자. 만약 벡터 \(\mathbf{L} \in \mathbb{R}^d\)이 존재하여 \[\lim_{n\rightarrow\infty} \left\lvert \mathbf{a}_n - \mathbf{L} \right\rvert = 0\] 을 만족시키면 “\(\left\{ \mathbf{a}_n\right\}\)이 \(\mathbf{L}\)에 수렴한다”라고 말한다. 이때 \(\mathbf{L}\)을 \(\left\{ \mathbf{a}_n\right\}\)의 극한이라고 부른다. 이것을 기호로 \[\lim_{n\rightarrow\infty}\mathbf{a}_n = \mathbf{L}\] 또는 \[\mathbf{a}_n \,\rightarrow\,\mathbf{L} \quad\text{as}\quad n\,\rightarrow\,\infty\] 와 같이 나타낸다.
보기 1.7.1.
- \(\mathbf{a}_n = \left( \frac{1}{n} ,\, \frac{n}{n+1}\right)\)이고 \(\mathbf{L} = (0,\,1)\)이라고 하자. 그러면 \(n\rightarrow\infty\)일 때 \[\left\lvert \mathbf{a}_n - \mathbf{L} \right\rvert = \sqrt{\frac{1}{n^2} + \frac{1}{(n+1)^2}} \le \sqrt{ \frac{1}{n^2} + \frac{1}{n^2} } = \frac{\sqrt{2}}{n} \,\rightarrow\,0\] 이다. 그러므로 \(\left\{ \mathbf{a}_n \right\}\)은 \((0,\,1)\)에 수렴한다.
- \(\mathbf{b}_n = \left(\frac{1}{n} ,\, 2n \right)\)이라고 하자. 그리고 \(\mathbf{L} = \left( L_1 ,\, L_2 \right)\)이 임의로 주어진 벡터라고 하자. 그러면 \(n\rightarrow\infty\)일 때 \[\left\lvert \mathbf{b}_n - \mathbf{L} \right\rvert = \sqrt{ \left( \frac{1}{n} - L_1 \right)^2 + \left( 2n-L_2 \right)^2 } \,\rightarrow\, \infty\] 이다. 그러므로 \(\left\{ \mathbf{b}_n \right\}\)은 어떠한 벡터 \(\mathbf{L}\)에도 수렴하지 않는다.
다음 정리는 벡터수열의 극한을 계산할 때 유용하게 사용된다.
정리 1.7.1.
\(\left\{ x_n \right\},\) \(\left\{ y_n \right\},\) \(\left\{ z_n \right\}\)이 실수열이고, \(\left\{\mathbf{a}_n\right\}\)이 \[\mathbf{a}_n = \left( x_n ,\, y_n ,\, z_n \right)\] 으로 정의된 벡터수열이라고 하자. 이때 \(\left\{\mathbf{a}_n\right\}\)이 \((x,\,y,\,z)\)에 수렴할 필요충분조건은 \(\left\{ x_n \right\},\) \(\left\{ y_n \right\},\) \(\left\{ z_n \right\}\)이 각각 \(x,\) \(y,\) \(z\)에 수렴하는 것이다.
증명.
부등식 \[ \begin{gather} \left\lvert x_n - x \right\rvert \le \left\lvert \mathbf{a}_n - \mathbf{L} \right\rvert , \\[5pt] \left\lvert y_n - y \right\rvert \le \left\lvert \mathbf{a}_n - \mathbf{L} \right\rvert , \\[5pt] \left\lvert z_n - z \right\rvert \le \left\lvert \mathbf{a}_n - \mathbf{L} \right\rvert \end{gather} \] 과 \[ \left\lvert \mathbf{a}_n - \mathbf{L} \right\rvert \le \left\lvert x_n - x \right\rvert + \left\lvert y_n - y \right\rvert + \left\lvert z_n - z \right\rvert \] 를 이용하면 증명된다.
보기 1.7.2.
- \(\mathbf{a}_n = \left( \frac{1}{n} ,\, \frac{n}{n+1}\right)\)이면, \(n\rightarrow\infty\)일 때 \[\frac{1}{n} \,\rightarrow\,0 \quad\text{and}\quad \frac{n}{n+1} \,\rightarrow\,1\] 이므로 \(\left\{ \mathbf{a}_n \right\}\)은 \((0,\,1)\)에 수렴한다.
- \(\mathbf{b}_n = \left(\frac{1}{n} ,\, 2n \right)\)이면, \(n\rightarrow\infty\)일 때 \[2n \,\rightarrow\,\infty\] 이므로 \(\left\{\mathbf{b}_n\right\}\)은 수렴하지 않는다.
임의의 복소수 \(z\)는 실수 \(a,\) \(b\)를 사용하여 \(z = a+b\boldsymbol{i}\)의 꼴로 나타낼 수 있으며, 하나의 복소수 \(z\)에 이와 같은 꼴로 대응되는 실수 \(a,\) \(b\)는 각각 유일하다. 따라서 복소수 \(z = a+b\boldsymbol{i}\)를 순서쌍 \((a,\,b)\)에 대응시키면 \(\mathbb{C}\)는 2차원 유클리드 공간과 같다. 이와 같은 관점에서 각 복소수는 2차원 벡터이며, 복소수열의 극한은 벡터수열과 마찬가지로 정의된다.
\(\left\{z_n\right\}\)이 복소수열이고 \(z_n = a_n + b_n \boldsymbol{i}\)이며 \(\left\{a_n \right\}\)과 \(\left\{b_n\right\}\)이 실수열이라고 하자. 이때 \(\left\{ z_n \right\}\)이 \(z = a+b\boldsymbol{i}\)에 수렴할 필요충분조건은 \(\left\{ a_n \right\}\)과 \(\left\{ b_n \right\}\)이 각각 \(a\)와 \(b\)에 수렴하는 것이다. 여기서 \(z\)를 수열 \(\left\{z_n\right\}\)의 극한이라고 부르며, 이것을 기호로 \[\lim_{n\rightarrow\infty} z_n = z\] 또는 \[z_n \,\rightarrow\,z \quad\text{as}\quad n\,\rightarrow\,\infty\] 와 같이 나타낸다.
보기 1.7.3. \[z_n = \frac{4n}{2n+1} + \frac{3n+1}{n-1}\boldsymbol{i}\] 이면 \[\lim_{n\rightarrow\infty} z_n = 2 + 3 \boldsymbol{i}\] 이다.
유클리드 공간에서 정의된 벡터수열의 여러 가지 성질은 실수열의 성질로부터 유도된다. 그러나 이 책에서는 벡터수열의 극한과 관련된 이론을 더 깊이 다루지는 않겠다.