이 글은 『미적분학 첫걸음』 1장 2절의 내용입니다. (미적분학 첫걸음 차례 보기)
수렴하는 수열
\(\left\{ a_n \right\}\)이 실수열이고 \(L\)이 실수라고 하자. 만약 \(n\)이 한없이 커질 때 항 \(a_n\)이 \(L\)에 한없이 가까워지면 “\(\left\{ a_n \right\}\)이 \(L\)에 수렴(converge)한다”라고 말한다. 이때 \(L\)을 수열 \(\left\{a_n \right\}\)의 극한(limit) 또는 극한값이라고 부르고, 이것을 기호로 \[\lim_{n\rightarrow \infty} a_n = L\] 또는 \[a_n \,\, \rightarrow \,\, L \quad \text{as} \quad n\,\, \rightarrow \,\, \infty\] 와 같이 나타낸다.
보기 1.2.1.
- 만약 \(a_n = \displaystyle\frac{1}{n}\)이면 \(\left\{a_n \right\}\)은 \(0\)에 수렴한다. 즉 \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n}=0\)이다.
- 만약 \(b_n = \displaystyle\frac{n+1}{n}\)이면 \(\left\{b_n \right\}\)은 \(1\)에 수렴한다. 즉 \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n+1}{n}=1\)이다.
- 만약 \(c_n = \displaystyle\frac{(-1)^n}{n}\)이면 \(\left\{c_n \right\}\)은 \(0\)에 수렴한다. 즉 \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{(-1)^n}{n}=0\)이다.
- 만약 \(s_n = 4\)이면 \(\left\{s_n \right\}\)은 \(4\)에 수렴한다. 즉 \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty} 4=4\)이다.
발산하는 수열
수열 \(\left\{ a_n \right\}\)이 어떠한 값에도 수렴하지 않으면 “\(\left\{a_n\right\}\)이 발산(diverge)한다”라고 말한다.
만약 \(n\)이 한없이 커질 때 항 \(a_n\)도 한없이 커지면, “\(\left\{a_n\right\}\)이 양의 무한대에 발산한다”라고 말하고, 이것을 기호로 \[\lim_{n\rightarrow\infty} a_n = \infty\] 와 같이 나타낸다. 만약 \(n\)이 한없이 커질 때 항 \(-a_n\)도 한없이 커지면, “\(\left\{a_n\right\}\)이 음의 무한대에 발산한다”라고 말하고, 이것을 기호로 \[\lim_{n\rightarrow\infty} a_n = -\infty\] 와 같이 나타낸다.
수열 \(\left\{a_n\right\}\)이 수렴하지 않고, 양의 무한대에 발산하지 않고, 음의 무한대에 발산하지도 않으면 “\(\left\{ a_n \right\}\)이 진동(oscillate)한다”라고 말한다.
보기 1.2.2.
- 만약 \(a_n = n^2\)이면 \(\left\{a_n \right\}\)은 무한대에 발산한다. 즉 \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}n^2 = \infty\)이다.
- 만약 \(b_n = -2^n\)이면 \(\left\{b_n \right\}\)은 음의 무한대에 발산한다. 즉 \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}\left(-2^n\right)=-\infty\)이다.
- 만약 \(c_n = (-1)^n\)이면 \(\left\{c_n \right\}\)은 진동한다.
- 만약 \(x_n = n+n(-1)^n\)이면 \(\left\{x_n \right\}\)은 진동한다.
- 만약 \(y_n = (-2)^n\)이면 \(\left\{y_n \right\}\)은 진동한다.
- 만약 \(z_n = (-n)^n\)이면 \(\left\{z_n \right\}\)은 진동한다.
수열의 극한의 엄밀한 정의
이 책에서 도입한 극한의 개념은 직관적으로 정의된 극한이다. 사실 수열의 극한을 다음과 같이 엄밀하게 정의할 수 있다.
\(\left\{a_n\right\}\)이 실수열이고 \(L\)이 실수라고 하자. 만약 임의의 양수 \(\epsilon\)에 대하여 양의 정수 \(N\)이 존재하여 \(n > N\)인 모든 정수 \(n\)에 대하여 \(\left\lvert a_n - L \right\rvert < \epsilon\)이 성립하면 “\(\left\{a_n\right\}\)이 \(L\)에 수렴한다”라고 말하고, \(L\)을 \(\left\{ a_n \right\}\)의 극한이라고 부른다.
위 정의는 다음과 같이 기호로 나타낼 수 있다. \[\forall \epsilon > 0 \, \exists N \in \mathbb{N} \, \forall n\in\mathbb{N} \,:\quad \left[ n > N \quad \rightarrow \quad \left\lvert a_n - L \right\rvert < \epsilon \right].\] 엄밀한 정의를 이용하여 수열의 극한을 증명하는 다음 예제를 보자.
예제 1.2.3. \(b_n = \displaystyle\frac{n+1}{n}\)이라고 하자. 이때 \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} b_n = 1\)을 증명하시오.
풀이. 양수 \(\epsilon\)이 임의로 주어졌다고 하자. 자연수들의 모임은 위로 유계가 아니므로 \(N > 1/\epsilon\)인 자연수 \(N\)이 존재한다. 이때 \(n > N\)인 모든 정수 \(n\)에 대하여 다음이 성립한다. \[\left\lvert b_n - 1 \right\rvert = \left\lvert \frac{n+1}{n} - 1\right\rvert = \frac{1}{n} < \frac{1}{N} < \epsilon.\] 그러므로 \(\left\{b_n \right\}\)은 \(1\)에 수렴한다.
수열의 극한과 관련된 모든 성질은 \(\epsilon-N\) 정의를 사용하여 증명할 수 있다. 이 책에서는 \(\epsilon-N\) 정의를 사용한 증명을 더 상세하게 다루지는 않겠다.