유한집합과 무한집합

by I Seul Bee

이 글은 『미적분학 첫걸음』 0장 3절의 내용입니다.  (미적분학 첫걸음 차례 보기)

음이 아닌 정수는 다음과 같이 집합으로 정의된다. \[\begin{align} 0 &= \varnothing , \\[6pt] 1 &= 0 \cup \left\{ 0 \right\} = \left\{ 0 \right\} , \\[6pt] 2 &= 1 \cup \left\{ 1 \right\} = \left\{ 0 ,\, 1 \right\} , \\[6pt] 3 &= 2 \cup \left\{ 2 \right\} = \left\{ 0 ,\, 1 ,\, 2 \right\} , \\[6pt] 4 &= 3 \cup \left\{ 3 \right\} = \left\{ 0 ,\, 1 ,\, 2 ,\ 3 \right\} , \\[6pt] &\,\,\,\vdots \end{align}\] 그러므로 \(n\)이 음이 아닌 정수라면, \(n\)은 \(n\)개의 원소로 이루어진 집합이다.

\(A\)와 \(B\)가 집합이라고 하자. 만약 \(A\)와 \(B\) 사이에 일대일 대응이 존재하면 “\(A\)와 \(B\)의 기수가 같다(have the same cardinality)”라고 말하고, 이것을 기호로 \(\lvert A \rvert = \lvert B \rvert\) 또는 \(A \approx B\)와 같이 나타낸다.

유한집합과 무한집합

\(E\)가 집합이라고 하자. 만약 음이 아닌 정수 \(k\)가 존재하여 \(\lvert E \rvert = \lvert k \rvert\)를 만족시키면 \(E\)를 유한집합(finite set)이라고 부른다. 이 경우 \(E\)의 원소의 개수는 \(k\)이다. 이것을 기호로 \(n(E) = k\) 또는 \(\lvert E \rvert = k\)와 같이 나타낸다.

만약 \(\lvert E \rvert = k \)를 만족시키고 음이 아닌 정수 \(k\)가 존재하지 않는다면 \(E\)를 무한집합(infinite set)이라고 부른다.

\(A\)와 \(B\)가 집합이라고 하자. 만약 \(A\)로부터 \(B\)로의 일대일 함수가 존재하면 이것을 기호로 \(\lvert A \rvert \le \lvert B \rvert\)와 같이 나타낸다. 만약 \(\lvert A \rvert \le \lvert B \rvert\)이면서 \(\lvert A \rvert \ne \lvert B \rvert\)이면 이것을 기호로 \(\lvert A \rvert < \lvert B \rvert\)와 같이 나타낸다. 이로써 집합의 원소의 수가 무한이 많을 때에도 집합의 크기를 비교할 수 있게 되었다.

다음 정리는 무한집합의 성질을 밝힐 때 자주 사용된다.

정리 0.3.1. (Schröder-Bernstein 정리)

\(A\)와 \(B\)가 집합이라고 하자. 만약 \(\lvert A \rvert \le \lvert B \rvert\)이고 \(\lvert B \rvert \le \lvert A \rvert\)이면, \(\lvert A \rvert = \lvert B \rvert\)이다.

보기 0.3.2. 자주 사용되는 집합의 크기를 비교하면 다음과 같다.

  1. \(\lvert \mathbb{N} \rvert = \lvert \mathbb{Z} \rvert = \lvert \mathbb{Q} \rvert .\)
  2. \(\lvert \mathbb{N} \rvert = \lvert \mathbb{N} \times \mathbb{N} \rvert .\)
  3. \(\lvert \mathbb{N} \rvert < \lvert \mathbb{R} \rvert .\)
  4. \(\lvert \mathbb{R} \rvert = \lvert \mathbb{C} \rvert .\)
  5. \(\lvert \mathbb{R} \rvert = \lvert \mathbb{R}^d \rvert \)   (\(d\)는 양의 정수).
  6. \(\lvert E \rvert < \lvert P(E) \rvert \)   (\(E\)는 임의의 집합, \(P(E)\)는 \(E\)의 멱집합).

\(E\)가 집합이라고 하자. 만약 \(E\)가 유한집합이거나 \(\lvert E \rvert = \lvert \mathbb{N} \rvert\)이면, \(E\)를 가산집합(countable set)이라고 부른다. 가산집합이 아닌 집합을 비가산집합(uncountable set)이라고 부른다. 다음은 모두 가산집합이다. \[\varnothing ,\quad \left\{ 1,\,2,\,3 \right\} ,\quad \mathbb{N} ,\quad \mathbb{Z} ,\quad \mathbb{Q} ,\quad \mathbb{N}^2 .\] 반면 \(\mathbb{R} \)와 \(\mathbb{C}\)는 비가산집합이다.

유한집합과 무한집합의 성질

\(A,\) \(B,\) \(C\)가 집합이라고 하자. 이때 다음이 성립한다.

  • \(A\)가 유한집합이고 \(B\)가 무한집합이면 \(\lvert A \rvert < \lvert B \rvert\)이다.
  • \(\lvert A \rvert \le \lvert B \rvert\)이고 \(\lvert B \rvert \le \lvert C \rvert\)이면 \(\lvert A \rvert \le \lvert C \rvert\)이다.
  • \(A\)가 무한집합이면 \(A\)는 무한가산인 부분집합을 가진다. 이 명제의 역 또한 참이다. 즉 \(A\)가 무한가산인 부분집합을 가지면 \(A\)는 무한집합이다.
  • \(A \subseteq B\)이고 \(B\)가 유한집합이면 \(A\)도 유한집합이다.
  • \(A \subseteq B\)이고 \(A\)가 무한집합이면 \(B\)도 무한집합이다.
  • \(A \subseteq B\)이고 \(B\)가 가산집합이면 \(A\)도 가산집합이다.
  • \(A \subseteq B\)이고 \(A\)가 비가산집합이면 \(B\)도 비가산집합이다.
  • \(A\)가 무한집합일 필요충분조건은 \(A\)와 기수가 같은, \(A\)의 진부분집합이 존재하는 것이다.

마지막 성질은 오랫동안 무한집합과 관련된 역설로 여겨졌으나 칸토어가 무한집합 이론을 창시한 후 무한집합의 특성으로 받아들여지게 되었다.