무한급수의 뜻

by I Seul Bee

이 글은 『미적분학 첫걸음』 2장 1절의 내용입니다.  (미적분학 첫걸음 차례 보기)

무한급수의 뜻

유한 개의 수를 더할 때에는 덧셈을 반복하면 그 합을 얻을 수 있다. 그러나 무한히 많은 수를 더하는 것은 유한한 덧셈만으로 정의할 수 없다. 이때 앞 장에서 살펴본 수열의 극한을 이용하여 무한한 합의 의미를 정의할 수 있다.

이 절에서는 편의상 \(a_1\)부터 시작하는 실수열 \(\left\{a_n\right\}\)을 생각하자. 수열의 항을 순서대로 덧셈기호로 연결한 형식적인 식 \[ a_1+a_2+a_3+\cdots \] 을 \(\left\{a_n\right\}\)의 무한급수(infinite series), 또는 간단히 급수(series)라고 부르고 \[ \sum_{n=1}^{\infty}a_n \] 과 같이 나타낸다. 이 단계에서 무한급수는 아직 하나의 실숫값을 뜻하지 않고 형식적인 식을 뜻한다.

양의 정수 \(n\)에 대하여 \[ S_n = \sum_{k=1}^{n}a_k = a_1+a_2+\cdots+a_n \] 이라고 하자. \(S_n\)을 급수의 \(\boldsymbol{n}\)번째 부분합(partial sum)이라고 부르고, 수열 \[ \left\{S_n\right\} \] 을 부분합수열(sequence of partial sums)이라고 부른다.

부분합수열 \(\left\{S_n\right\}\)이 어떤 실수 \(S\)에 수렴하면 무한급수 \[ \sum_{n=1}^{\infty}a_n \] 가 수렴(converge)한다고 말하고, \(S\)를 이 급수의 합(sum)이라고 부른다. 즉 \[ \lim_{n\rightarrow\infty}S_n=S \] 이면 \[ \sum_{n=1}^{\infty}a_n=S \] 와 같이 나타낸다.

부분합수열이 어떠한 실수에도 수렴하지 않으면 무한급수가 발산(diverge)한다고 말한다. 특히 \[ S_n\rightarrow\infty \] 이면 \[ \sum_{n=1}^{\infty}a_n=\infty \] 라고 쓰고, 급수가 양의 무한대로 발산한다고 말한다. 마찬가지로 \[ S_n\rightarrow-\infty \] 이면 \[ \sum_{n=1}^{\infty}a_n=-\infty \] 라고 쓴다. 여기서 \(\infty\)와 \(-\infty\)는 급수의 실숫값이 아니라 발산의 양상을 나타내는 기호이다.

따라서 기호 \[ \sum_{n=1}^{\infty}a_n \] 은 문맥에 따라 무한급수라는 형식적인 식을 나타내기도 하고, 급수가 수렴할 때에는 그 합을 나타내기도 한다.

예제 2.1.1. 다음 무한급수의 수렴 여부를 조사하고, 수렴하는 경우 그 합을 구하시오. \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)(n+2)} \]

풀이. \[ \frac{1}{(k+1)(k+2)} = \frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+2} \] 이므로 \(n\)번째 부분합은 \[ \begin{aligned} S_n &= \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(k+1)(k+2)} \\[5pt] &= \left(\frac12-\frac13\right) + \left(\frac13-\frac14\right) +\cdots+ \left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right) \\[5pt] &= \frac12-\frac{1}{n+2}. \end{aligned} \] 따라서 \[ \lim_{n\rightarrow\infty}S_n = \frac12. \] 그러므로 주어진 무한급수는 수렴하며 그 합은 \[ \frac12 \] 이다.

예제 2.1.2. 다음 무한급수의 수렴 여부를 조사하고, 수렴하는 경우 그 합을 구하시오. \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt n} \]

풀이. 일반항을 유리화하면 \[ \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt n} &= \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt n} {(\sqrt{n+1}+\sqrt n)(\sqrt{n+1}-\sqrt n)} \\ &= \sqrt{n+1}-\sqrt n. \end{aligned} \] 따라서 \[ \begin{aligned} S_n &= \sum_{k=1}^{n} \left( \sqrt{k+1}-\sqrt k \right) \\[5pt] &= (\sqrt2-\sqrt1) + (\sqrt3-\sqrt2) +\cdots+ (\sqrt{n+1}-\sqrt n) \\[5pt] &= \sqrt{n+1}-1. \end{aligned} \] 그러므로 \[ S_n\rightarrow\infty. \] 따라서 주어진 무한급수는 양의 무한대로 발산한다.

무한급수의 계산

무한급수의 수렴과 합은 부분합수열의 극한으로 정의된다. 따라서 수열의 극한에 관한 성질로부터 무한급수의 기본 성질을 얻을 수 있다.

정리 2.1.1. (무한급수의 선형성)

두 무한급수 \[ \sum_{n=1}^{\infty}a_n, \qquad \sum_{n=1}^{\infty}b_n \] 이 모두 수렴하고 그 합이 각각 \(S,T\)라고 하자. \(k\)가 실수이면 다음이 성립한다.

  1. \[ \sum_{n=1}^{\infty}ka_n=kS. \]
  2. \[ \sum_{n=1}^{\infty}(a_n+b_n)=S+T. \]
  3. \[ \sum_{n=1}^{\infty}(a_n-b_n)=S-T. \]

증명.

\[ A_n=\sum_{j=1}^{n}a_j, \qquad B_n=\sum_{j=1}^{n}b_j \] 라고 하자. 가정에 의하여 \[ A_n\rightarrow S, \qquad B_n\rightarrow T. \]

급수 \(\sum ka_n\)의 \(n\)번째 부분합은 \[ \sum_{j=1}^{n}ka_j = kA_n \] 이므로 \[ kA_n\rightarrow kS. \] 따라서 \[ \sum_{n=1}^{\infty}ka_n=kS. \]

마찬가지로 \[ \sum_{j=1}^{n}(a_j+b_j) = A_n+B_n \rightarrow S+T \] 이고 \[ \sum_{j=1}^{n}(a_j-b_j) = A_n-B_n \rightarrow S-T. \] 따라서 (2)와 (3)도 성립한다.

예제 2.1.3. \[ \sum_{n=1}^{\infty}a_n=3, \qquad \sum_{n=1}^{\infty}b_n=-4 \] 일 때 다음 무한급수의 합을 구하시오.

  1. \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(3a_n-b_n)\)
  2. \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(2a_n+5b_n)\)

풀이.

  1. \[ \begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty}(3a_n-b_n) &= 3\sum_{n=1}^{\infty}a_n - \sum_{n=1}^{\infty}b_n \\ &= 3\cdot3-(-4) = 13. \end{aligned} \]
  2. \[ \begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty}(2a_n+5b_n) &= 2\sum_{n=1}^{\infty}a_n + 5\sum_{n=1}^{\infty}b_n \\ &= 2\cdot3+5(-4) = -14. \end{aligned} \]

정리 2.1.2. (일반항 판정법)

무한급수 \[ \sum_{n=1}^{\infty}a_n \] 이 수렴하면 \[ a_n\rightarrow0. \] 따라서 \(a_n\)이 \(0\)에 수렴하지 않으면 무한급수 \[ \sum_{n=1}^{\infty}a_n \] 은 발산한다.

증명.

\(n\)번째 부분합을 \[ S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k \] 라고 하자. 급수가 수렴하고 그 합이 \(S\)이면 \[ S_n\rightarrow S. \] 또한 첨자를 하나 옮긴 수열도 같은 값에 수렴하므로 \[ S_{n-1}\rightarrow S. \] \(n\ge2\)일 때 \[ a_n=S_n-S_{n-1} \] 이므로 \[ \lim_{n\rightarrow\infty}a_n = S-S = 0. \]

보기 2.1.4. 무한급수 \[ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \] 은 발산한다. 실제로 일반항 \((-1)^n\)은 \(0\)에 수렴하지 않으므로 정리 2.1.2에 의하여 이 급수는 수렴할 수 없다.

주의. 정리 2.1.2의 역은 성립하지 않는다. 즉 \[ a_n\rightarrow0 \] 이라는 사실만으로 \[ \sum_{n=1}^{\infty}a_n \] 이 수렴한다고 결론 내릴 수 없다. 예를 들어 \[ \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt n} \rightarrow0 \] 이지만 예제 2.1.2에서 보았듯이 \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt n} \] 은 양의 무한대로 발산한다.

무한등비급수

등비수열의 항들을 차례로 더하여 만든 무한급수를 무한등비급수, 등비급수 또는 기하급수(geometric series)라고 부른다.

\(a\ne0\)이고 \(r\)가 실수라고 하자. 등비수열 \[ a_n=ar^{n-1} \] 에 대응하는 무한등비급수는 \[ \sum_{n=1}^{\infty}ar^{n-1} = a+ar+ar^2+\cdots \] 이다.

정리 2.1.3. (무한등비급수의 합)

\(a\ne0\)일 때 무한등비급수 \[ \sum_{n=1}^{\infty}ar^{n-1} \] 이 수렴할 필요충분조건은 \[ |r| < 1 \] 인 것이다. 이때 급수의 합은 \[ \sum_{n=1}^{\infty}ar^{n-1} = \frac{a}{1-r} \] 이다.

증명.

\(r\ne1\)이라고 하자. \(n\)번째 부분합을 \(S_n\)이라고 하면 \[ S_n = a+ar+\cdots+ar^{n-1}. \] 양변에 \(r\)를 곱하면 \[ rS_n = ar+ar^2+\cdots+ar^n. \] 두 식을 빼면 \[ (1-r)S_n = a(1-r^n) \] 이므로 \[ S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}. \]

만약 \[ |r| < 1 \] 이면 정리 1.4.1에 의하여 \[ r^n\rightarrow0. \] 따라서 \[ S_n \rightarrow \frac{a}{1-r}. \] 그러므로 급수는 수렴하고 그 합은 \[ \frac{a}{1-r} \] 이다.

반대로 \[ |r|\ge1 \] 이라고 하자. \(a\ne0\)이므로 일반항 \[ ar^{n-1} \] 은 \(0\)에 수렴하지 않는다. 따라서 정리 2.1.2에 의하여 급수는 발산한다. 특히 \(r=1\)일 때에도 일반항은 항상 \(a\ne0\)이므로 발산한다.

예제 2.1.5. 다음 무한급수의 수렴 여부를 조사하고, 수렴하는 경우 그 합을 구하시오.

  1. \[ 1+\frac23+\left(\frac23\right)^2+\left(\frac23\right)^3+\cdots \]
  2. \[ 1-\frac43+\left(\frac43\right)^2-\left(\frac43\right)^3+\cdots \]

풀이.

  1. 공비가 \(\frac23\)인 무한등비급수이다. 공비의 절댓값이 \(1\)보다 작으므로 수렴하며 그 합은 \[ \frac{1}{1-\frac23} = 3 \] 이다.
  2. 공비가 \(-\frac43\)인 무한등비급수이다. 공비의 절댓값이 \(1\)보다 크므로 발산한다.

예제 2.1.6. 다음 무한급수의 합을 구하시오.

  1. \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^n+4^n}{5^n}\)
  2. \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-2)^n+5^n}{(-6)^n}\)

풀이.

  1. \[ \begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n+4^n}{5^n} &= \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac35\right)^n + \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac45\right)^n \\[5pt] &= \frac{\frac35}{1-\frac35} + \frac{\frac45}{1-\frac45} \\ &= \frac32+4 = \frac{11}{2}. \end{aligned} \]
  2. \[ \begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-2)^n+5^n}{(-6)^n} &= \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac13\right)^n + \sum_{n=1}^{\infty} \left(-\frac56\right)^n \\[5pt] &= \frac{\frac13}{1-\frac13} + \frac{-\frac56}{1+\frac56} \\ &= \frac12-\frac5{11} = \frac1{22}. \end{aligned} \]

예제 2.1.7. 무한등비급수의 합을 이용하여 다음 순환소수를 분수로 나타내시오.

  1. \(0.0\dot{1}\dot{2}\)
  2. \(1.\dot{0}1\dot{2}\)

풀이.

  1. \[ \begin{aligned} 0.0\dot{1}\dot{2} &= \frac{12}{10^3} + \frac{12}{10^5} + \frac{12}{10^7} +\cdots \\[5pt] &= \frac{12}{10^3} \left( 1+\frac1{100}+\frac1{100^2}+\cdots \right) \\[5pt] &= \frac{12}{1000} \cdot \frac{1}{1-\frac1{100}} \\ &= \frac{2}{165}. \end{aligned} \]
  2. \[ \begin{aligned} 1.\dot{0}1\dot{2} &= 1 + \frac{12}{1000} + \frac{12}{1000^2} + \frac{12}{1000^3} +\cdots \\[5pt] &= 1 + \frac{12}{1000} \left( 1+\frac1{1000}+\frac1{1000^2}+\cdots \right) \\[5pt] &= 1 + \frac{12}{1000} \cdot \frac{1}{1-\frac1{1000}} \\ &= 1+\frac{12}{999} = \frac{337}{333}. \end{aligned} \]

예제 2.1.8. 그림과 같이 한 변의 길이가 \(4\)인 정사각형을 크기가 같은 \(4\)개의 정사각형으로 나눈 뒤 그중 한 조각에 색을 칠한다. 색이 칠해지지 않은 \(3\)개의 정사각형 조각 중 하나를 택하여 다시 크기가 같은 \(4\)개의 정사각형으로 나눈 뒤 그중 한 조각에 색을 칠한다. 이 과정을 무한히 반복할 때 색칠된 정사각형들의 넓이의 합을 구하시오.

풀이. 그림과 같이 차례로 색칠되는 정사각형의 넓이를 \[ S_1,S_2,S_3,\ldots \] 라고 하자.

그러면 \[ S_1=4 \] 이고, 매 단계에서 한 변의 길이가 절반이 되므로 넓이는 앞 단계의 \(\frac14\)배가 된다. 따라서 \[ S_n = 4\left(\frac14\right)^{n-1}. \] 그러므로 색칠된 정사각형들의 넓이의 합은 \[ \begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty}S_n &= \sum_{n=1}^{\infty} 4\left(\frac14\right)^{n-1} \\ &= \frac{4}{1-\frac14} = \frac{16}{3}. \end{aligned} \]