이 글은 『미적분학 첫걸음』 6장 2절의 내용입니다. (미적분학 첫걸음 차례 보기)
7장 1절에서 정적분을 정의하고 어떠한 함수가 적분 가능한지 살펴보았다. 이 절에서는 정적분을 계산하는 방법을 살펴보자.
\(a < b\)이고 \(f\)가 \(I=[a,\,b]\)에서 정의된 연속인 실숫값 함수라고 하자. \(x\in I\)에 대하여 \[G(x) = \int_a^x f(t) dt\] 라고 하자. 이제 \(a\le x < b\)라고 하고 \(\Delta x\)가 \(a < x + \Delta x \le b\)를 만족시키는 작은 양수라고 하자. 닫힌구간 \(\left[ x ,\, x+\Delta x \right]\)에서 \(f\)의 최솟값과 최댓값을 각각 \(m,\) \(M\)이라고 하자. (여기서 \(m\)과 \(M\)은 \(\Delta x\)에 따라 변하는 값임을 생각하자.) 다음 그림을 보자.
밑변의 길이가 \(\Delta x\)이고 높이가 \(m\)인 직사각형, 밑변의 길이가 \(\Delta x\)이고 높이가 \(M\)인 직사각형의 넓이를 고려하면 다음 부등식을 얻는다. \[m\Delta x \le G(x+\Delta x) - G(x) \le M\Delta x\] 각 식을 \(\Delta x\)로 나누면 다음을 얻는다. \[m \le \frac{G(x+\Delta x) - G(x)}{\Delta x} \le M.\] 함수 \(f\)가 \(\left[ x,\, x+\Delta x\right]\)에서 연속이므로 \[f( \xi_1 ) = m ,\quad f(\xi _2 ) = M\] 인 \(\xi_1 \)과 \(\xi _2\)가 \(\left[ x,\, x+\Delta x \right]\)에 존재한다. 즉 \[f(\xi_1 ) \le \frac{G(x+\Delta x) - G(x)}{\Delta x} \le f(\xi_2 )\] 이다. \(\Delta x \rightarrow 0^+\)일 때 \(\xi_1 \rightarrow x\)이고 \(\xi_2 \rightarrow x\)이며, \(f\)가 \(x\)에서 연속이므로 \[f(\xi_1 ) \rightarrow f(x) ,\quad f(\xi_2 ) \rightarrow f(x)\] 이다. 그러므로 \(x\)에서 \(G\)의 우미분계수는 \[G_r ' (x) = f(x)\] 이다. \(a\le x+\Delta x < x \le b\)일 때도 마찬가지 방법으로 \(x\)에서 \(G\)의 좌미분계수가 \[G_l ' (x) = f(x)\] 가 됨을 보일 수 있다.
지금까지 다음 정리를 증명하였다.
정리 6.2.1. (적분으로 정의된 함수)
함수 \(f\)가 구간 \(I = [a,\,b]\)에서 정의된 연속인 실숫값 함수이고 \[G(x) = \int_a^x f(t) dt\] 라고 하자 그러면 \(x\in I\)에 대하여 \(G ' (x) = f(x)\)이다.
앞의 가정을 그대로 둔 상태에서, \(F\)가 \(I\)에서 \(f\)의 한 역도함수라고 하자. 그러면 \(x\in I\)에 대하여 \[F ' (x) = f(x) = G ' (x)\] 이므로 상수 \(C\)가 존재하여 임의의 \(x\in I\)에 대하여 \[G(x) = F(x) +C\] 를 만족시킨다. 이 등식에서 \(x\)에 \(a\)를 대입하면 \[F(a) +C = G(a)=0\] 이므로 \(C = -F(a)\)를 얻는다. 즉 \[G(x) = F(x) - F(a)\] 이다. 이 등식에서 \(x\)에 \(b\)를 대입하면 \[G(b) = F(b) - F(a)\] 를 얻는다. \(G(b)\)를 적분 기호로 바꾸어 나타내면 \[\int_a^b f(x)dx = F(b) -F(a)\] 를 얻는다.
지금까지 다음 정리를 증명하였다.
정리 6.2.2. (미적분의 기본정리)
함수 \(f\)가 구간 \(I=[a,\,b]\)에서 정의된 연속인 실숫값 함수이고, \(F\)가 \(I\)에서 \(f\)의 역도함수라고 하자. 그러면 \[\int_a^b f(x) dx = F(b) -F(a)\] 이다.
미적분의 기본정리에서 등식의 우변을 다음과 같이 나타내기도 한다. \[\int_a^b f(x) dx = F(x) \bigg\vert_a^b\] 또는 \[\int_a^b f(x) dx = \bigg[ F(x) \bigg]_a^b .\] \(F(x)\)가 하나의 항으로 이루어져 있다면 두 표현 중 어느 것을 사용해도 무방하다. \(F(x)\)가 둘 이상의 항으로 이루어져 있다면 두 번째 표현을 써야 하며, 두 번째 표현을 쓰고 싶다면 \(F(x)\)의 항 전체를 괄호로 묶으면 된다.
예제 6.2.1. 다음 적분을 구하시오. \[\int_0^1 x \,dx .\]
풀이. \(f(x) =x ,\) \(F(x) = \frac{1}{2} x^2\)이라고 하면 \(F ' = f\)이다. 그러므로 미적분의 기본 정리에 의하여 \[\int_0^1 x\,dx = \int_0^1 f(x) dx = F(1) - F(0) = \frac{1}{2} -0 = \frac{1}{2}\] 이다.
예제 6.2.2. 다음 적분을 구하시오. \[\int_0^1 x^2 \,dx .\]
풀이. \(g(x) =x^2 ,\) \(G(x) = \frac{1}{3} x^2\)이라고 하면 \(G ' = g\)이다. 그러므로 미적분의 기본 정리에 의하여 \[\int_0^1 x^2 \,dx = \int_0^1 g(x) dx = G(1) - G(0) = \frac{1}{3} -0 = \frac{1}{3}\] 이다.
참고. 미적분의 기본 정리(정리 6.2.2)에서 \(f\)의 역도함수 \(F\)는 어느 것을 택하든 상관 없다. 예컨대 \(F_1\)이 \(f\)의 또 다른 역도함수라면 상수 \(C_1\)이 존재하여 임의의 \(x\in [a,\,b]\)에 대하여 \(F(x) = F_1 (x) + C_1\)을 만족시킨다. 그러므로 \[\begin{align} \int_a^b f(x) dx &= F(b) - F(a) \\[5pt] &= (F_1 (b) + C_1 ) - ( F_1 (a) + C_1 ) \\[5pt] &= F_1 (b) - F_2 (a) \end{align}\] 가 성립한다.
함수 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 미분 가능하고 \(f ' \)이 \([a,\,b]\)에서 적분 가능하다고 하자. 그리고 \(x_i\)가 \[a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_{i-1} < x_i < \cdots < x_{n-1} < x_n = b\] 를 만족시키는 \((n+1)\)개의 점이라고 하자. 이 점들의 모임을 \(P\)라고 하자. 그러면 평균값 정리에 의하여, \(i=1,\,2,\,\cdots,\,n\)일 때 \(x_{i-1}\)과 \(x_i\) 사이에 점 \(c_i\)가 존재하여 다음을 만족시킨다. \[f ' (c_i ) = \frac{f(x_i ) - f(x_{i-1})}{x_i - x_{i-1}} .\] 이 식을 변형하면 \[f(x_i ) - f(x_{i-1}) = f ' (c_i ) \Delta x_i\] 이다. \(i=1\)일 때부터 \(i=n\)일 때까지 위 식을 변마다 더하면 \[f(b) - f(a) = \sum_{i=1}^n f ' (c_i ) \Delta x_i\] 를 얻는다. \(f ' \)이 \([a,\,b]\)에서 적분 가능하므로 \(\lVert P \rVert \rightarrow 0\)일 때 위 등식의 우변은 \([a,\,b]\)에서 \(f ' \)의 적분값에 수렴한다.
지금까지 다음 정리를 증명하였다.
정리 6.2.3. (도함수의 정적분)
함수 \(f\)가 구간 \([a,\,b]\)에서 미분 가능하고 \(f ' \)이 \([a,\,b]\)에서 적분 가능하면 \[\int_a^b f ' (x) dx = f(b)-f(a)\] 이다.
참고. 함수 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 미분 가능할지라도 \(f ' \)은 \([a,\,b]\)에서 적분 가능하지 않을 수 있다. 예컨대 함수 \(f\)가 \([-1,\,1]\)에서 다음과 같이 주어졌다고 하자. \[f(x) = \begin{cases} x^2 \sin\frac{1}{x^3} \quad &\text{if} \,\, x\ne 0 , \\[5pt] 0 \quad &\text{if} \,\, x =0. \end{cases}\] 그러면 \[f ' (x) = \begin{cases} 2x\sin\frac{1}{x^3} - \frac{3}{x^3} \cos\frac{1}{x^3} \quad &\text{if} \,\, x\ne 0 , \\[5pt] 0 \quad &\text{if} \,\, x=0 \end{cases}\] 이다. 따라서 \(f ' \)은 \(0\)을 원소로 갖는 구간에서 유계가 아니다.
그러므로 \(f ' \)은 \([-1,\,1]\)에서 적분 불가능하다.