유클리드 공간

\(d\)가 양의 정수이고 \(\mathbb{R}^d\)가 \(\mathbb{R}\)의 데카르트 곱이라고 하자. 그리고 \[\mathbf{x} = \left( x_1 ,\, x_2 ,\, \cdots ,\, x_d \right) ,\quad \mathbf{y} = \left( y_1 ,\, y_2 ,\, \cdots ,\, y_d \right) \] 가 \(\mathbb{R}^d\)의 원소이며 \(k\)가 실수라고 하자. 이때 벡터합 \(\mathbf{x} + \mathbf{y}\)와 스칼라곱 \(k\mathbf{x}\)를 다음과 같이 정의한다. \[\begin{align} \mathbf{x} + \mathbf{y} &= \left( x_1 + y_1 ,\, x_2 + y_2 ,\, \cdots ,\, x_d + y_d \right) ,\\[6pt] k\mathbf{x} &= \left( kx_1 ,\, kx_2 ,\, \cdots ,\, kx_d \right) . \end{align}\] 집합 \(\mathbf{R}^d\)에 이와 같은 두 연산이 주어진 공간을 \(\boldsymbol{d}\)차원 유클리드 공간(Euclidean \(d\)-space) 또는 간단히 유클리드 공간이라고 부른다. \(\mathbb{R}^d\)의 원소를 벡터(vector)라고 부르고, \(k\)를 스칼라(scalar)라고 부른다.

\(\mathbf{v}\)가 \(\mathbb{R}^d\)의 원소라고 하자. 편의상 \(-1\mathbf{v}\)를 간단히 \(-\mathbf{v}\)로 나타낸다. 또한 모든 성분이 \(0\)인 벡터 \[\mathbf{0} = (0,\,0,\,\cdots,\,0)\] 을 영벡터(zero vector)라고 부른다. \(\mathbf{0}\)은 벡터의 덧셈에 대한 항등원이며, \(-\mathbf{v}\)는 덧셈에 대한 \(\mathbf{v}\)의 역원이다.

\(\mathbf{x},\) \(\mathbf{y},\) \(\mathbf{z}\)가 \(\mathbb{R}^d\)의 벡터이고 \(a,\) \(b\)가 스칼라일 때 다음이 성립한다.

• \( \mathbf{x} + ( \mathbf{y} + \mathbf{z} ) = ( \mathbf{x} + \mathbf{y} ) + \mathbf{z} \)
• \( \mathbf{x} + \mathbf{y} = \mathbf{y} + \mathbf{x} \)
• \( \mathbf{x} + \mathbf{0} = \mathbf{x} \)
• \( \mathbf{x} + (-\mathbf{x} ) = \mathbf{0} \)
• \( a(b\mathbf{x} ) = (ab)\mathbf{x} \)
• \( 1\mathbf{x} = \mathbf{x} \)
• \( a(\mathbf{x} + \mathbf{y} ) = a\mathbf{x} + b\mathbf{y} \)
• \( (a+b)\mathbf{x} = a\mathbf{x} + b\mathbf{x} \)

사실, \(K\)가 체(field)이고 \(V\)에 위 조건을 모두 만족시키는 두 연산 \( + : V \times V \rightarrow V\)와 \(\cdot : K \times V \rightarrow V\)가 주어졌을 때, \(V\)를 \(\boldsymbol{K}\) 위에서의 벡터공간(vector space over \(K\))이라고 부른다. 이 경우 \(V\)의 원소를 벡터라고 부르고, \(K\)의 원소를 스칼라라고 부른다.

기저

다음과 같은 \(\mathbb{R}^3\)의 세 벡터를 살펴보자. \[\mathbf{i} = (1,\,0,\,0),\quad \mathbf{j} = (0,\,1,\,0),\quad \mathbf{k} = (0,\,0,\,1).\] \(\mathbf{R}^3\)의 임의의 벡터 \(\mathbf{x}\)에 대하여 스칼라 \(x_1 ,\) \(x_2 ,\) \(x_3 \)이 존재하여, \(\mathbf{x}\)가 \[\mathbf{x} = x_1 \mathbf{i} + x_2 \mathbf{j} + x_3 \mathbf{k}\] 의 꼴로 유일하게 표현된다. 이러한 관점에서 세 벡터 \(\mathbf{i},\) \(\mathbf{j},\) \(\mathbf{k}\)를 \(\mathbf{R}^3\)의 표준기저(standard basis)라고 부른다. 특히 \(\mathbb{R}^3\)의 표준기저가 \(3\)개의 원소로 이루어져 있으므로, \(\mathbf{R}^3\)의 차원을 \(3\)이라고 정의한다. \(\mathbf{i},\) \(\mathbf{j},\) \(\mathbf{k}\)를 표준단위벡터(standard unit vector)라고 부르기도 한다.

다음과 같은 \(\mathbb{R}^2\)의 세 벡터를 살펴보자. \[\mathbf{i} = (1,\,0),\quad \mathbf{j} = (0,\,1).\] 이 벡터는 \(\mathbb{R}^2\)의 기저가 된다. 즉 \(\mathbb{R}^2\)의 임의의 벡터 \(\mathbf{x}\)에 대하여 스칼라 \(x_1 ,\) \(x_2\)가 존재하여, \(\mathbf{x}\)가 \[\mathbf{x} = x_1 \mathbf{i} + x_2 \mathbf{j}\] 의 꼴로 유일하게 표현된다. 더불어 \(\mathbb{R}^2\)의 차원을 \(2\)라고 정의한다.

사실 기저는 유클리드 벡터공간뿐만 아니라 모든 벡터공간에 대해서 생각할 수 있다. \(V\)가 \(K\) 위에서의 벡터공간이고 \(\mathbf{v}_1 ,\) \(\mathbf{v}_2 ,\) \(\cdots ,\) \(\mathbf{v}_d\)가 \(V\)의 벡터이며, 어느것도 영벡터가 아니라고 하자. 만약 \(V\)의 임의의 벡터 \(\mathbf{v}\)에 대하여 스칼라 \(a_1,\) \(a_2 ,\) \(\cdots,\) \(a_d\)가 존재하여, \(\mathbf{v}\)가 \[\mathbf{v} = a_1 \mathbf{v}_1 + a_2 \mathbf{v}_2 + \cdots + a_d \mathbf{v}_d\] 의 꼴로 유일하게 표현된다면, \(\mathbf{v}_1 ,\) \(\mathbf{v}_2 ,\) \(\cdots ,\) \(\mathbf{v}_d\)를 \(V\)의 기저라고 부른다. 그리고 기저를 이루는 벡터의 개수인 \(d\)가 벡터공간 \(V\)의 차원인 것으로 정의한다. 벡터공간에 기저가 존재할 때, 그 공간의 어떠한 기저를 택하든 기저를 이루는 벡터의 개수가 일정함이 알려져 있다. 그러므로 벡터공간의 차원은 잘 정의된다.

이 절에서는 기저의 개수가 유한인 경우만 정의하였다. 사실, 기저의 개수가 무한인 경우도 정의할 수 있으며, 차원이 무한인 벡터공간도 생각할 수 있다. 그러나 그와 관련된 논의는 이 책의 범위를 벗어나므로, 더 이상 깊게 설명하지 않겠다. 관심 있는 사람은 선형대수학 교재를 참고하기 바란다.

선형변환

\(V\)와 \(W\)가 체 \(K\) 위에서의 벡터공간이고, \(T: V \rightarrow W\)가 함수라고 하자. 만약 \(V\)의 임의의 벡터 \(\mathbf{x},\) \(\mathbf{y}\)와 스칼라 \(k\)에 대하여 \[\begin{align} T(\mathbf{x} + \mathbf{y}) &= T(\mathbf{x}) + T(\mathbf{y}), \\[6pt] T(k\mathbf{x}) &= kT(\mathbf{x}) \end{align}\] 가 성립하면, “\(T\)가 선형이다(linear)”라고 말한다. 벡터공간 사이에서 정의된 선형인 함수를 선형변환(linear transformation)이라고 부른다.

\(V\)와 \(W\)가 벡터공간이고 \(T : V \rightarrow W\)가 일대일 대응인 선형변환이면 \(T\)를 동형사상(isomorphism)이라고 부른다. 두 벡터공간 \(V,\) \(W\) 사이에 이와 같은 동형사상이 존재할 때, “\(V\)와 \(W\)가 동형이다(isomorphic)”라고 말한다.

두 벡터공간이 동형일 때 두 공간의 차원이 같음이 알려져 있다.

점곱과 가위곱

\(\mathbf{x}\)와 \(\mathbf{y}\)가 \(\mathbb{R}^d\)의 벡터이고 \[\mathbf{x} = \left( x_1 ,\, x_2 ,\, \cdots ,\, x_d \right) ,\quad \mathbf{y} = \left( y_1 ,\, y_2 ,\, \cdots ,\, y_d \right) \] 라고 하자. 이때 \(\mathbf{x}\)와 \(\mathbf{y}\)의 점곱(dot product)을 다음과 같이 정의한다. \[\mathbf{x} \cdot \mathbf{y} = x_1 y_1 + x_2 y_2 + \cdots + x_d y_d .\] 점곱을 내적(inner product)이라고 부르기도 한다.

벡터 \(\mathbf{x}\)의 길이(length)를 다음과 같이 정의한다. \[\lvert\mathbf{x}\rvert = \sqrt{\mathbf{x} \cdot \mathbf{x}} .\] 벡터의 길이를 노름(norm)이라고 부르기도 한다. 책에 따라서 \(\lvert\mathbf{x}\rvert\)를 \(\lVert\mathbf{x}\rVert\)로 나타내기도 한다. 길이가 \(1\)인 벡터를 단위벡터(unit vector)라고 부른다.

\(d=2\)이거나 \(d=3\)일 때, 영벡터가 아닌 두 벡터 \(\mathbf{x}\)와 \(\mathbf{y}\) 사이의 각을 \(\theta\)라고 하면 \[\mathbf{x} \cdot \mathbf{y} = \lvert\mathbf{x}\rvert \lvert\mathbf{y}\rvert \cos\theta\] 가 성립한다. 일반적으로 \(\mathbf{x}\)와 \(\mathbf{y}\)가 \(\mathbb{R}^d\)의 벡터이고 영벡터가 아닐 때(\(d\)가 \(2\) 또는 \(3\)이라는 조건이 없을 때), \(\mathbf{x}\)와 \(\mathbf{y}\) 사이의 각을 \[\mathbf{x} \cdot \mathbf{y} = \lvert\mathbf{x}\rvert \lvert\mathbf{y}\rvert \cos\theta\] 를 만족시키고 \(0\le\theta\le \pi\)의 범위에 있는 실수 \(\theta\)로 정의한다.

만약 \(\mathbf{x} \cdot \mathbf{y} = 0\)이면, “\(\mathbf{x}\)와 \(\mathbf{y}\)가 직교한다(orthogonal)”라고 말하고, 이것을 기호로 \(\mathbf{x} \perp \mathbf{y}\)와 같이 나타낸다. 영벡터는 임의의 벡터와 직교한다.

만약 스칼라 \(k\)가 존재하여 \(\mathbf{x} = k\mathbf{y}\) 또는 \(\mathbf{y} = k\mathbf{x}\)를 만족시키면, “\(\mathbf{x}\)와 \(\mathbf{y}\)가 평행하다(parallel)”라고 말하고, 이것을 기호로 \(\mathbf{x} /\!/ \mathbf{y}\)와 같이 나타낸다. 이 경우 \(\mathbf{x}\cdot\mathbf{y} = \pm\lvert\mathbf{x}\rvert \lvert\mathbf{y}\rvert\)가 성립한다. 영벡터는 임의의 벡터와 평행하다.

\(d=3\)일 때, \(\mathbf{R}^3\)에 또 다른 유용한 연산을 정의할 수 있다. \[\mathbf{x} = (x_1 ,\, x_2 ,\, x_3 ),\quad \mathbf{y} = (y_1 ,\, y_2 ,\, y_3 )\] 일 때, 이 두 벡터의 가위곱(cross product)을 다음과 같이 정의한다. \[\begin{align} \mathbf{x} \times \mathbf{y} &= \left\lvert \begin{array}{ccc} \mathbf{i} \,&\, \mathbf{j} \,&\, \mathbf{k} \\ x_1 \,&\, x_2 \,&\, x_3 \\ y_1 \,&\, y_2 \,&\, y_3 \end{array} \right\rvert \\[5pt] &= \left( \left\lvert \begin{array}{cc} x_2 \,&\, x_3 \\ y_2 \,&\, y_3 \end{array} \right\rvert ,\, \left\lvert \begin{array}{cc} x_2 \,&\, x_3 \\ y_2 \,&\, y_3 \end{array} \right\rvert ,\, \left\lvert \begin{array}{cc} x_2 \,&\, x_3 \\ y_2 \,&\, y_3 \end{array} \right\rvert \right) \\[5pt] &= \left( x_2 y_3 - x_3 y_2 ,\, x_3 y_1 - x_1 y_3 ,\, x_1 y_2 - x_2 y_1 \right) . \end{align}\] 가위곱을 외적이라고 부르기도 한다. 가위곱의 정의에 의하여 \[\mathbf{x} \times \mathbf{y} \perp \mathbf{x} \quad\text{and}\quad \mathbf{x} \times \mathbf{y} \perp \mathbf{y}\] 가 성립한다.

\(\mathbb{R}^3\)의 표준기저원소는 가위곱과 관련하여 다음 등식을 만족시킨다. \[\mathbf{i}\times\mathbf{j} = \mathbf{k},\quad \mathbf{j}\times\mathbf{k} = \mathbf{i},\quad \mathbf{k}\times\mathbf{i} = \mathbf{j} .\] 그러므로 \(\mathbf{i},\) \(\mathbf{j},\) \(\mathbf{k}\)는 직교족을 이룬다. 즉 벡터들이 쌍마다 서로 직교하고 그 어느것도 영벡터가 아닐 때, 그 벡터들을 직교족(orthogonal family)이라고 부른다. 더욱이 \(\mathbf{i},\) \(\mathbf{j},\) \(\mathbf{k}\)는 모두 길이가 \(1\)인 벡터이다. 그러므로 이들 벡터들은 정규직교족(orthonormal family)을 이룬다.