미분 공식

기본 공식

\(n\)이 양의 정수이고 \(x\)가 실변수이며 \(f(x) = x^n\)이라고 하자. 이때 \(f\)의 도함수를 구해 보자.

만약 \(n=1\)이면 \[ f ' (x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(x+\Delta x) -x}{\Delta x} = 1 \] 이다. 만약 \(n \ge 2\)이면 \[ \begin{align} f ' (x) &= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} \\[4pt] &= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(x+\Delta x)^n - x^n}{\Delta x} \\[4pt] &= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\left\{ (x+\Delta x)-x \right\} \left\{ (x+\Delta x)^{n-1}+(x+\Delta x)^{n-2}x+\cdots+x^{n-1}\right\}} {\Delta x} \\[4pt] &= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \left\{ (x+\Delta x)^{n-1} +(x+\Delta x)^{n-2}x +(x+\Delta x)^{n-3}x^2 +\cdots+x^{n-1} \right\} \\[4pt] &= \underbrace{x^{n-1}+x^{n-1}+x^{n-1}+\cdots+x^{n-1}}_{n\,\,\text{terms}} \\[4pt] &= nx^{n-1} \end{align} \] 이다. 지금까지 다음 정리를 증명하였다.

다음으로 사칙계산과 관련된 미분 공식을 살펴보자. \(k\)가 상수이고, \(f\)와 \(g\)가 같은 정의역을 가지며 미분 가능한 함수라고 하자.

[1] \(\boldsymbol{kf}\)의 도함수. \[ \begin{align} \frac{d}{dx} \left\{ kf(x) \right\} &= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{kf(x+\Delta x) - kf(x)}{\Delta x} \\[4pt] &= k \times \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \\[6pt] &= kf ' (x) . \end{align} \]

[2] \(\boldsymbol{(f+g)}\)의 도함수. \[ \begin{align} \frac{d}{dx}\left\{ f(x) + g(x) \right\} &= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\left\{f(x+\Delta x)+g(x+\Delta x)\right\} -\left\{f(x)+g(x)\right\}}{\Delta x} \\[4pt] &= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} + \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x} \\[6pt] &= f ' (x) + g ' (x) . \end{align} \]

[3] \(\boldsymbol{(f-g)}\)의 도함수. \[ \begin{align} \frac{d}{dx} \left\{ f(x) - g(x) \right\} &= \frac{d}{dx} \left\{ f(x) + (-1) \cdot g(x) \right\} \\[4pt] &= \frac{d}{dx} f(x) + \frac{d}{dx} \left\{ (-1) g(x) \right\} \\[6pt] &= f ' (x) + (-1) g ' (x) = f ' (x) - g ' (x) . \end{align} \]

[4] \(\boldsymbol{fg}\)의 도함수. \[ \begin{align} \frac{d}{dx} \left\{ f(x)g(x) \right\} &= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x} \\[4pt] &= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{ f(x+\Delta x)g(x+\Delta x) -f(x)g(x+\Delta x) +f(x)g(x+\Delta x) -f(x)g(x) }{\Delta x} \\[4pt] &= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \left\{ \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \cdot g(x+\Delta x) \right\} \\ &\quad+ \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \left\{ f(x)\cdot \frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x} \right\} \\[6pt] &= f ' (x) g(x) + f(x) g ' (x) . \end{align} \]

[5] \(\boldsymbol{f/g}\)의 도함수. \(g(x) \ne 0\)이라고 하자. \(g\)가 \(x\)에서 연속이므로 \(\Delta x\)의 절댓값이 충분히 작으면 \(g(x+\Delta x)\ne0\)이다. 따라서 \[ \begin{align} \frac{d}{dx} \left\{ \frac{f(x)}{g(x)} \right\} &= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\displaystyle\frac{f(x+\Delta x)}{g(x+\Delta x)} -\frac{f(x)}{g(x)}}{\Delta x} \\[4pt] &= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{ f(x+\Delta x)g(x)-f(x)g(x+\Delta x) }{ g(x)g(x+\Delta x)\Delta x } \\[4pt] &= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{ f(x+\Delta x)g(x)-f(x)g(x) -\left\{f(x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)\right\} }{ g(x)g(x+\Delta x)\Delta x } \\[4pt] &= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{1}{g(x)g(x+\Delta x)} \left\{ \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\cdot g(x) -f(x)\cdot \frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x} \right\} \\[4pt] &= \frac{1}{\left\{g(x)\right\}^2} \left\{ f ' (x)g(x)-f(x)g ' (x) \right\} \\[4pt] &= \frac{f ' (x)g(x)-f(x)g ' (x)} {\left\{g(x)\right\}^2}. \end{align} \]

합성함수의 미분

\(A,\) \(B,\) \(C\)가 \(\mathbb{R}\)의 부분집합이고 두 실함수 \(f:A\rightarrow B\)와 \(g:B\rightarrow C\)가 주어졌다고 하고, \(x_0 \in A,\) \(y_0 = f(x_0 )\)라고 하자. 또한 \(f\)가 \(x_0\)에서 미분 가능하고 \(g\)가 \(y_0\)에서 미분 가능하다고 하자. \(B\)에서 함수 \(h\)를 다음과 같이 정의하자. \[ h(y) = \begin{cases} \displaystyle\frac{g(y) -g(y_0)}{y-y_0} - g'(y_0) & \quad \text{if} \,\, y\ne y_0 ,\\[6pt] 0 & \quad \text{if} \,\, y=y_0 . \end{cases} \] 그러면 \(h\)는 \(y_0\)에서 연속이다.

\(y=f(x)\)라고 하면 \[ g(f(x)) - g(f(x_0 )) = g(y) - g(y_0 ) = g' (y_0 )(y-y_0 ) + (y-y_0 )h(y) \] 이다. \(f\)가 \(x_0\)에서 연속이고 \(h\)가 \(y_0\)에서 연속이므로 다음을 얻는다. \[ \begin{align} \left. \frac{d}{dx} (g\circ f) \right\vert_{x=x_0} &= \lim_{x\rightarrow x_0} \frac{g(f(x)) - g(f(x_0 ))}{x-x_0} \\[5pt] &= \lim_{x\rightarrow x_0} \left\{ g ' (f(x_0 )) \frac{f(x)-f(x_0 )}{x-x_0} + h(f(x)) \frac{f(x)-f(x_0 )}{x-x_0} \right\} \\[5pt] &= g ' (f(x_0 )) \cdot \lim_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x)-f(x_0 )}{x-x_0} + h(y_0) \cdot \lim_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x)-f(x_0 )}{x-x_0} \\[6pt] &= g ' ( f(x_0 )) f ' (x_0 ) . \end{align} \] 그러므로 \(g\circ f\)가 \(x_0\)에서 미분 가능하며, 그 미분계수는 \[ (g\circ f) ' (x_0 ) = g ' (f(x_0 )) f ' (x_0 ) \] 이다.

역함수의 미분

\(I = [a,\,b]\)가 길이가 양수인 구간이고 \(f\)가 \(I\)에서 순증가하는 실함수라고 하자. 또한 \[ J = f(I) = \left\{ f(x) \,\vert\, x\in I \right\} \] 라고 하고, \(g\)가 함수 \(f : I \rightarrow J\)의 역함수라고 하자. 그리고 \(x_0 \in (a,\,b)\)이고 \(y_0 = f(x_0 )\)이라고 하자.

함수 \(f\)가 \(x_0\)에서 미분 가능하고 \(f ' (x_0 ) \ne 0\)이라고 가정하자.

\(\left\{ t_n \right\}\)이 세 조건

• \(n\rightarrow\infty\)일 때 \(t_n \rightarrow y_0 ,\)
• 임의의 \(n\)에 대하여 \(t_n \ne y_0 ,\)
• 임의의 \(n\)에 대하여 \(t_n \in J\)

를 모두 만족시키는 임의의 수열이라고 하자. \(f:I\rightarrow J\)가 일대일 대응이므로 각 \(n\)에 대하여 \[ t_n=f(s_n) \] 을 만족시키는 점 \(s_n\in I\)가 딱 하나 존재한다.

이때 \(s_n\rightarrow x_0\)이다. 실제로 충분히 작은 양수 \(\epsilon\)에 대하여 \[ x_0-\epsilon,\quad x_0+\epsilon\in I \] 이고, \(f\)가 순증가하므로 \[ f(x_0-\epsilon) < y_0 < f(x_0+\epsilon) \] 이다. \(t_n\rightarrow y_0\)이므로 충분히 큰 \(n\)에 대하여 \[ f(x_0-\epsilon) < t_n < f(x_0+\epsilon). \] 따라서 \[ x_0-\epsilon < s_n < x_0+\epsilon \] 이므로 \(s_n\rightarrow x_0\)이다.

또한 \(t_n\ne y_0\)이므로 \(s_n\ne x_0\)이다. 따라서 \[ \begin{align} \frac{g(t_n)-g(y_0)}{t_n-y_0} &= \frac{s_n-x_0}{f(s_n)-f(x_0)} \\[4pt] &= \frac{1}{ \displaystyle \frac{f(s_n)-f(x_0)}{s_n-x_0} } \longrightarrow \frac{1}{f ' (x_0 )}. \end{align} \] 이 결과가 위의 조건을 만족시키는 임의의 수열 \(\{t_n\}\)에 대하여 성립하므로 수열 판정법에 의하여 \(g\)는 \(y_0\)에서 미분 가능하고 \[ g ' (y_0) = \frac{1}{f ' (x_0)} \] 이다. \(f\)가 \(I\)에서 순감소하는 경우에도 같은 결과를 얻는다.

음함수의 미분

\(y\)가 \(x\)의 함수이고 두 변수의 관계가 \(F(x,\,y)=0\) 꼴의 식으로 주어졌을 때 \(y\)를 음적으로 정의된 함수(implicitly-defined function) 또는 간단히 음함수라고 부른다. 합성함수의 미분법을 이용하면 음적으로 정의된 함수의 도함수를 구할 수 있다.

매개변수로 나타난 함수의 미분

\(I\)가 길이가 양수인 구간이고 \(t\)가 \(I\)의 값을 취하는 변수라고 하자. 또한 \(y\)가 \(x\)의 함수이고 \(x = f(t),\) \(y=g(t)\)가 성립한다고 하자. 만약 \(f\)와 \(g\)가 모두 미분 가능하고, \(f\)가 \(t\)의 근방에서 일대일이며 \(f ' (t) \ne 0\)이면 \[ \frac{dy}{dx} = \frac{\displaystyle\frac{dy}{dt}} {\displaystyle\frac{dx}{dt}} = \frac{g ' (t)}{f ' (t)} \] 가 성립한다.