수열의 정의

미적분학에서 극한의 개념을 이해하기 위하여 먼저 수열을 살펴보자. 직관적으로 수열(sequence)이란 \[ a_1,\,a_2,\,a_3,\,\cdots \] 와 같이 대상을 일정한 순서로 나열한 것이다. 수열을 이루는 각 대상을 항(term)이라고 부르며, \(a_n\)을 \(\boldsymbol{n}\)째 항이라고 부른다.

수열의 정의

수열은 함수의 개념을 이용하여 엄밀하게 정의할 수 있다. \(n_0\)가 정수일 때 \[ Z_{n_0} = \left\{ n\in\mathbb{Z} \,\middle|\, n\ge n_0 \right\} \] 라고 하자. 어떤 집합 \(S\)에 대하여 함수 \[ a:Z_{n_0}\rightarrow S \] 를 \(S\)의 원소를 항으로 갖는 무한수열(infinite sequence)이라고 부른다.

정수 \(n\ge n_0\)에 대하여 함수 \(a\)의 함숫값 \(a(n)\)을 \(a_n\)으로 나타낸다. 따라서 수열 \(a\)를 \[ (a_n)_{n=n_0}^{\infty} \quad\text{또는}\quad \{a_n\}_{n=n_0}^{\infty} \] 와 같이 나타낸다. 첫째항 \(a_{n_0}\)를 초항(initial term)이라고 부른다. 첫째항의 첨자가 문맥에서 분명하면 수열을 간단히 \[ (a_n) \quad\text{또는}\quad \{a_n\} \] 과 같이 나타내기도 한다.

여기서 \(\{a_n\}\)은 수열을 나타내기 위한 관습적인 표기이며, 수열의 항들로 이루어진 집합을 뜻하는 것은 아니다. 수열에서는 항의 순서와 같은 값이 몇 번 나타나는지가 중요하다. 예를 들어 \[ (1,\,2,\,1,\,2,\,\ldots) \] 와 \[ (1,\,1,\,2,\,2,\,\ldots) \] 는 서로 다른 수열이다.

또한 \(n_0\le n_1\)인 두 정수 \(n_0,n_1\)에 대하여 \[ \left\{ n\in\mathbb{Z} \,\middle|\, n_0\le n\le n_1 \right\} \] 를 정의역으로 하는 함수를 유한수열(finite sequence)이라고 부른다. 이 경우 수열은 \[ a_{n_0},\,a_{n_0+1},\,\ldots,\,a_{n_1} \] 과 같이 유한 개의 항으로 이루어진다.

여러 종류의 수열

수열의 모든 항이 \(\mathbb{R}\)에 속하면 그 수열을 실수열(real sequence)이라고 부른다. 같은 방법으로 모든 항이 \(\mathbb{Q}\)에 속하면 유리수열(rational sequence), 모든 항이 \(\mathbb{C}\)에 속하면 복소수열(complex sequence)이라고 부른다. 또한 모든 항이 \(\mathbb{R}^d\)에 속하면 벡터수열(vector sequence)이라고 부른다.

더 일반적으로 수열의 항은 반드시 수일 필요가 없다. 어떤 집합 \(S\)를 택하더라도 \(S\)에 값을 갖는 수열을 생각할 수 있다. 특히 공간의 점들을 항으로 갖는 수열을 문헌에 따라 점열이라고 부르기도 한다.

첫째항의 첨자

수열이 식 \(a_n\)으로 주어졌지만 첫째항의 첨자가 명시되어 있지 않을 때에는 다음 관례를 사용한다. 음이 아닌 정수 \(n_0\) 중에서 모든 정수 \(n\ge n_0\)에 대하여 \(a_n\)이 정의되도록 하는 가장 작은 \(n_0\)가 존재하면, 그 \(n_0\)를 첫째항의 첨자로 삼는다.

예를 들어 \[ a_n = \frac{1}{n(n-3)} \] 으로 주어진 수열을 생각하자. \(a_3\)은 정의되지 않지만 모든 정수 \(n\ge4\)에 대해서는 \(a_n\)이 정의된다. 따라서 첫째항을 \[ a_4 \] 로 삼는다.

첫째항의 첨자가 명시되어 있다면 명시된 첨자를 우선한다. 또한 위 조건을 만족시키는 \(n_0\)가 존재하지 않는 경우에는 첫째항의 첨자를 따로 지정해야 한다.

수열의 극한은 무한수열에 대하여 정의하므로, 이 책에서 별다른 언급 없이 수열이라고 하면 무한수열을 뜻하는 것으로 약속한다.