이 글은 『미적분학 첫걸음』 0장 5절의 내용입니다. (미적분학 첫걸음 차례 보기)
행렬과 복소수는 별개의 개념인 것처럼 보이지만 사실 밀접한 연관이 있다. 이 절에서는 \(2\times 2\) 행렬과 복소수를 살펴보자.
행렬
행렬(matrix)이란 수를 직사각형 모양으로 배열한 뒤 괄호로 묶어 나타낸 것이다. 예컨대 \(2\)개의 행과 \(2\)개의 열을 가진 실행렬, 즉 \(2\times 2\) 실행렬(real matrix)은 다음과 같이 나타낸다. \[\left[ \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right].\] 여기서 \(a_{ij}\)는 \(i\)째 행 \(j\)째 열의 성분(component)이며, 그 값은 실수이다.
\(A\)와 \(B\)가 \(2\times 2\) 행렬이고 \[A = \left[ \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right] ,\quad B = \left[ \begin{array}{cc} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{array} \right]\] 라고 하자. 이때 \(A=B\)는 모든 \(i,\) \(j\)에 대하여 \(a_{ij} = b_{ij}\)를 의미하는 것으로 약속한다.
\(k\)가 실수일 때 \(k\)와 행렬 \(A\)의 스칼라곱(scalar product)을 다음과 같이 정의한다. \[kA = \left[ \begin{array}{cc} ka_{11} & ka_{12} \\ ka_{21} & ka_{22} \end{array} \right].\] 그리고 두 행렬의 합을 다음과 같이 정의한다. \[A+B = \left[ \begin{array}{cc} a_{11} + b_{11} \,&\, a_{12} + b_{12} \\ a_{21} + b_{21} \,&\, a_{22} + b_{22} \end{array} \right].\] 행렬의 곱의 정의는 다소 복잡하다. 두 행렬 \(AB\)의 곱의 \(ij\)-성분은 \(A\)의 \(i\)째 행과 \(B\)의 \(j\)째 열의 점곱(벡터의 내적)으로 정의된다. 즉 \[AB = \left[ \begin{array}{cc} a_{11} b_{11} + a_{12} b_{21} \,&\, a_{11} b_{12} + a_{12} b_{22} \\ a_{21} b_{11} + a_{22} b_{21} \,&\, a_{21} b_{12} + a_{22} b_{22} \end{array} \right].\] 행렬 \(A\)의 행과 열을 바꾼 행렬 \[A^{\rm{T}} = \left[ \begin{array}{cc} ka_{11} & ka_{21} \\ ka_{12} & ka_{22} \end{array} \right]\] 를 \(A\)의 전치행렬(transpose)이라고 부른다.
\(A,\) \(B,\) \(C\)가 \(2\times 2\) 행렬일 때 다음이 성립한다.
- \( A+B = B+A \)
- \( (A+B)+C = A+(B+C) \)
- \( (AB)C = A(BC) \)
- \( A(B+C) = AB+AC \)
- \( (A+B)C = AC+BC \)
복소수
이제 복소수를 정의할 준비가 되었다.
복소수(complex number)란 다음과 같은 꼴의 \(2\times 2\) 실행렬을 이른다. \[\left[\begin{array}{cr} a & -b \\ b & a \end{array}\right]\] 특히 복소수 \[\boldsymbol{i} = \left[\begin{array}{cr} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array}\right]\] 을 허수단위(imaginary unit)이라고 부른다. 실수 \(1\)을 항등행렬(identity matrix)로 정의되는 복소수와 동일시하자. 즉 \[1 = \left[\begin{array}{cr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]\] 이라고 하자. 그러면 임의의 복소수는 실수 \(a,\) \(b\)의 결합인 \(a+b\boldsymbol{i}\)의 꼴로 유일하게 표현된다. 왜냐하면 \[ \left[\begin{array}{cr} a & -b \\ b & a \end{array}\right] = a \left[\begin{array}{cr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] + b \left[\begin{array}{cr} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array}\right] = a+b\boldsymbol{i}\] 이기 때문이다.
\(z = a+b\boldsymbol{i}\)이고 \(a\)와 \(b\)가 실수일 때, \(a\)를 \(z\)의 실수부(real part)라고 부르고 \(b\)를 \(z\)의 허수부(imaginary part)라고 부른다. 복소수의 합과 곱의 정의는 행렬의 합과 곱으로부터 자연스럽게 얻어진다. 즉 \(z_1 = a_1 + b_1 \boldsymbol{i} ,\) \(z_2 = a_2 + b_2 \boldsymbol{i}\)이고 \(a_1 ,\) \(a_2 ,\) \(b_1 ,\) \(b_2\)가 모두 실수일 때, 합 \(z_1 + z_2\)과 곱 \(z_1 z_2\)는 다음과 같다. \[ \begin{align} z_1 + z_2 &= \left[\begin{array}{cr} a_1 & -b_1 \\ b_1 & a_1 \end{array}\right] + \left[\begin{array}{cr} a_2 & -b_2 \\ b_2 & a_2 \end{array}\right] \\[5pt] &= \left[\begin{array}{cr} a_1 + a_2 & -(b_1 + b_2 ) \\ b_1 +b_2 & a_1 + a_2 \end{array}\right] \\[5pt] &= (a_1 + a_2 ) + (b_1 + b_2)\boldsymbol{i} , \\[10pt] z_1 z_2 &= \left[\begin{array}{cr} a_1 & -b_1 \\ b_1 & a_1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cr} a_2 & -b_2 \\ b_2 & a_2 \end{array}\right] \\[5pt] &= \left[\begin{array}{cr} a_1 a_2 - b_1 b_2 & -(a_1 b_2 + a_2 b_1 ) \\ a_1 b_2 + a_2 b_1 & a_1 a_2 - b_1 b_2 \end{array}\right] \\[5pt] &= (a_1 a_2 - b_1 b_2 ) + ( a_1 b_2 + a_2 b_1 )\boldsymbol{i} . \end{align} \] 복소수 전체 집합을 \(\mathbb{C}\)로 나타낸다.
이 절에서 복소수를 행렬로 정의했지만 그것은 복소수 체계의 구조를 명확하게 정의하기 위한 것이므로, 실제로 계산할 땐 복소수를 행렬이라고 생각할 필요가 없다. 허수단위 \(\boldsymbol{i}\)가 \(\boldsymbol{i} ^2 = -1\)을 만족시킨다는 사실과 실수 \(a,\) \(b\)에 대하여 \(a+b\boldsymbol{i}\)의 꼴로 나타낼 수 있는 수를 복소수라고 부른다는 사실을 기억하면 충분하다.