교대급수

무한급수 \[\sum_{n=1}^{\infty} c_n\] 의 항의 부호가 교대로 나타나면, 즉 임의의 \(n\)에 대하여 \(c_n c_{n+1} < 0\)이면, 위 무한급수를 교대급수(alternating series)라고 부른다.

수열 \(\left\{ a_n \right\}\)의 모든 항이 양수라고 하자. 그리고 \(\left\{ a_n \right\}\)이 단조감소하며 \(0\)에 수렴한다고 하자. 무한급수 \[\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n a_n\] 의 부분합을 \(S_n\)이라고 하자. 즉 \[S_n = \sum_{k=1}^n (-1)^k a_k\] 라고 하자. 그러면 \[\begin{align} S_{2(n+1)} &= S_{2n+2} \\[5pt] &= S_{2n} + (-1)^{2n+1} a_{2n+1} + (-1)^{2n+2} a_{2n+2} \\[5pt] &= S_{2n} - a_{2n+1} + a_{2n+2} \\[5pt] &\le S_{2n} \end{align}\] 이고 \[\begin{align} S_{2(n+1)+1} &= S_{2n+1} + (-1)^{2n+2} a_{2n+2} + (-1)^{2n+3} a_{2n+3} \\[5pt] &= S_{2n+1} + a_{2n+2} - a_{2n+3} \\[5pt] &\ge S_{2n+1} \end{align}\] 이다. 그러므로 \(\left\{ S_{2n} \right\}\)은 단조감소하고 \(\left\{ S_{2n+1}\right\}\)은 단조증가한다. 또한 임의의 \(n\)에 대하여 \[S_1 \le S_{2n+1} \le S_{2n} \le S_2\] 이므로, \(\left\{ S_{2n} \right\}\)과 \(\left\{ S_{2n+1}\right\}\)이 모두 유계이다. 그러므로 단조수렴 정리에 의하여 \(\left\{ S_{2n} \right\}\)과 \(\left\{ S_{2n+1}\right\}\)이 모두 수렴한다. 그 극한을 각각 \(S,\) \(S ' \)이라고 하자. 그러면 \(n\rightarrow\infty\)일 때 \[\left\lvert S_{2n+1} - S_{2n} \right\rvert = \left\lvert a_{2n+1} \right\rvert \,\rightarrow\,0\] 이다. 따라서 \(S = S' \)이다. 그러므로 \(\left\{ S_n \right\}\)이 수렴한다.

이로써 다음 정리를 얻는다.

수열 \(\left\{ a_n \right\}\)이 단조감소하고 \(0\)에 수렴한다고 하자. 다음과 같은 교대급수를 살펴보자. \[S = \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^k a_k .\] 이 무한급수의 부분합을 \(S_n\)이라고 하자. 그러면 다음이 성립한다. \[\begin{align} \lvert S-S_n \rvert &= \lvert a_{n+1} - a_{n+2} + a_{n+3} - a_{n+4} + - \cdots \rvert \\[5pt] &= \lvert a_{n+1} - (a_{n+2} - a_{n+3}) - (a_{n+4} - a_{n+4} ) - \cdots \rvert \\[5pt] &\le \lvert a_{n+1} \rvert . \end{align}\] 그러므로 다음과 같은 교대급수의 오차의 한계 공식을 얻는다.