집합의 연산

이 절에서는 집합의 표기법과 연산을 살펴보자. 여기서는 집합의 직관적 정의를 받아들인다.

집합과 원소

• 수학적 개체 \(a\)가 집합 \(A\)에 속할 때, 이것을 기호로 \(a\in A\)와 같이 나타낸다.
• 수학적 개체 \(a\)가 집합 \(A\)에 속하지 않을 때, 이것을 기호로 \(a\notin A\)와 같이 나타낸다.
• 두 집합 \(A,\) \(B\)가 같은 원소로 이루어져 있을 때, 이것을 기호로 \(A=B\)와 같이 나타낸다.
• 원소가 하나도 없는 집합을 공집합(empty set)이라고 부르고, \(\varnothing\)으로 나타낸다.
• \(A\)와 \(B\)가 집합이고 \(A\)에 속한 모든 원소가 \(B\)에 속할 때, “\(A\)가 \(B\)의 부분집합이다”라고 말하고, 이것을 기호로 \(A\subseteq B\)와 같이 나타낸다. (책에 따라서는 이것을 \(A\subset B\)와 같이 나타내기도 한다.)
• \(A\)와 \(B\)가 집합이고 \(A\subseteq B\)이지만 \(A\ne B\)일 때, “\(A\)가 \(B\)의 진부분집합이다”라고 말하고, 이것을 기호로 \(A\subsetneq B\)와 같이 나타낸다.
• 집합 \(A\)가 유한 개의 원소 \(x_1,\) \(x_2,\) \(\cdots,\) \(x_n\)으로 이루어져 있을 때, 이것을 기호로 \[ A = \left\{ x_1,\, x_2,\, \cdots,\, x_n \right\} \] 와 같이 나타낸다.
• 집합 \(B\)가 \(U\)의 원소 중 성질 \(p(x)\)를 갖는 것들만으로 이루어져 있을 때, 이것을 기호로 \[ B = \left\{ x\in U \,\vert\, p(x) \right\} \] 와 같이 나타낸다.

집합의 연산

\(A\)와 \(B\)가 집합이라고 하자. 이때 다음과 같이 정의한다.

• \(A\)와 \(B\)의 합집합(union)을 \[ A\cup B = \left\{ x \,\vert\, x\in A \,\,\text{or}\,\, x\in B \right\} \] 로 정의한다.
• \(A\)와 \(B\)의 교집합(intersection)을 \[ A\cap B = \left\{ x \,\vert\, x\in A \,\,\text{and}\,\, x\in B \right\} \] 로 정의한다.
• \(A\)에서 \(B\)를 뺀 차집합(difference)을 \[ A\setminus B = \left\{ x \,\vert\, x\in A \,\,\text{and}\,\, x\notin B \right\} \] 로 정의한다.

집합 \(U\)를 전체집합으로 고정해 두고, \(U\)의 부분집합만을 논할 때가 있다. 이때 \(A\subseteq U\)에 대하여 \(U\)의 원소 중 \(A\)에 속하지 않는 원소들로 이루어진 집합을 \(A\)의 여집합(complement)이라고 부르고 \(A^c\)로 나타낸다. 즉 \[ A^c = U \setminus A \] 이다.

두 집합의 합집합과 교집합은 여러 집합의 합집합과 교집합으로 확장할 수 있다. \(A_1,\) \(A_2,\) \(\cdots,\) \(A_n\)이 집합일 때 다음과 같이 정의한다. \[ \begin{align} \bigcup_{i=1}^{n} A_i &= A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n,\\[6pt] \bigcap_{i=1}^{n} A_i &= A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n. \end{align} \] 더 일반적으로 \(I\)가 공집합이 아닌 지표집합이고, 각 \(i\in I\)에 대하여 \(A_i\)가 집합일 때 다음과 같이 정의한다. \[ \begin{align} \bigcup_{i\in I} A_i &= \left\{ x\,\vert\, x\in A_i \text{ for at least one } i\in I \right\},\\[6pt] \bigcap_{i\in I} A_i &= \left\{ x\,\vert\, x\in A_i \text{ for all } i\in I \right\}. \end{align} \]

데카르트 곱

\(A\)와 \(B\)가 집합일 때, \(A\)와 \(B\)의 데카르트 곱(Cartesian product)을 다음과 같이 정의한다. \[ A \times B = \left\{ (x,\,y) \,\vert\, x\in A \text{ and } y\in B \right\}. \] 또한 \(A_1,\) \(A_2,\) \(\cdots,\) \(A_n\)이 집합일 때 다음과 같이 정의한다. \[ \prod_{i=1}^{n} A_i = A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n = \left\{ \left( x_1,\, x_2,\, \cdots,\, x_n \right) \,\vert\, x_i\in A_i \text{ for all } i=1,\,2,\,\ldots,\,n \right\}. \] 만약 \(A_1=A_2=\cdots=A_n=A\)이면 다음과 같이 정의한다. \[ A^n = \prod_{i=1}^n A = \left\{ \left( x_1,\, x_2,\, \cdots,\, x_n \right) \,\vert\, x_i\in A \text{ for all } i=1,\,2,\,\ldots,\,n \right\}. \]