절대수렴과 조건수렴

이 글은 『미적분학 첫걸음』 2장 3절의 내용입니다. (미적분학 첫걸음 차례 보기)

${a_{n}}$ 이 실수열이라고 하자. 무한급수의 절대수렴과 조건수렴을 다음과 같이 정의한다.

만약 무한급수 $\sum_{n = 1}^{\infty} | a_{n} |$ 이 수렴하면 “무한급수 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ 이 절대수렴한다(converge absolutely)”라고 말한다.
만약 무한급수 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ 이 수렴하지만 절대수렴하지는 않으면 “무한급수 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ 이 조건수렴한다(converge conditionally)”라고 말한다.

절대수렴과 조건수렴의 관계

${a_{n}}$ 이 실수열일 때 다음과 같이 정의한다. $\begin{aligned} a_{n}^{+} & = {\begin{cases} a_{n} & if a_{n} \geq 0, \\ 0 & if a_{n} < 0; \end{cases} \\ a_{n}^{-} & = {\begin{cases} - a_{n} & if a_{n} \leq 0, \\ 0 & if a_{n} > 0. \end{cases} \end{aligned}$ 정의에 의하여 임의의 $n$ 에 대하여 $a_{n} = a_{n}^{+} - a_{n}^{-} and | a_{n} | = a_{n}^{+} + a_{n}^{-}$ 이다. 또한 $a_{n}^{+} \geq 0 and a_{n}^{-} \geq 0$ 이며, $a_{n}^{+} \leq | a_{n} | and a_{n}^{-} \leq | a_{n} |$ 이다. 그러므로, 만약 $\sum_{n = 1}^{\infty} | a_{n} |$ 이 수렴하면 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}^{+}$ 와 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}^{-}$ 가 모두 수렴한다.

역으로 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}^{+}$ 와 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}^{-}$ 가 모두 수렴하면 $\sum_{n = 1}^{\infty} | a_{n} |$ 이 수렴한다.

그러므로 다음 정리를 얻는다.

보조정리 2.3.1. 무한급수 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ 이 절대수렴하기 위한 필요충분조건은 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}^{+}$ 와 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}^{-}$ 가 모두 수렴하는 것이다.

무한급수 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ 이 절대수렴한다고 하자. 그러면 $a_{n}^{+} \leq | a_{n} | and a_{n}^{-} \leq | a_{n} |$ 이므로 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}^{+}$ 와 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}^{-}$ 가 모두 수렴한다. 그런데 $\sum_{k = 1}^{n} a_{k} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k}^{+} - \sum_{k = 1}^{n} a_{k}^{-}$ 이므로 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ 이 수렴한다.

그러므로 다음 정리를 얻는다.

정리 2.3.2. 무한급수 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ 이 절대수렴하면, 이 무한급수는 수렴한다.

참고. 위 정리의 역은 일반적으로 참이 아니다. 다음 무한급수를 살펴보자. $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{n} .$ 이 무한급수는 교대급수 판정법(2.4절을 참고하라)에 의하여 수렴하지만, 절대수렴하지는 않는다.

보기 2.3.1. 다음 무한급수가 수렴하도록 하는 $x$ 의 값의 범위를 구해 보자. $1 + 2 x + x^{2} + 2 x^{3} + x^{4} + 2 x^{5} + \dots .$ 예제 2.2.7에서 $0 \leq x < 1$ 일 때 이 무한급수가 수렴하고 $x \geq 1$ 일 때 이 무한급수가 발산함을 보였다. 따라서 $- 1 < x < 0$ 일 때 무한급수 $1 + 2 | x | + | x |^{2} + 2 | x |^{3} + | x |^{4} + 2 | x |^{5} + \dots$ 이 수렴한다. 즉 $- 1 < x < 0$ 일 때 문제의 무한급수가 절대수렴한다. 그러므로 $- 1 < x < 1$ 일 때 문제의 무한급수가 수렴한다.

$x \leq - 1$ 이거나 $x \geq 1$ 일 때는 무한급수의 항이 $0$ 에 수렴하지 않으므로 문제의 무한급수가 발산한다.

재배열된 무한급수

수열 ${a_{n}}$ 의 모든 항이 $0$ 이상이며 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = S$ 로서 ${a_{n}}$ 의 무한급수가 수렴한다고 하자. 그리고 ${a_{r_{n}}}$ 이 ${a_{n}}$ 을 재배열한 수열(항의 순서를 바꾼 수열)이라고 하자. 음이 아닌 항으로 이루어진 무한급수의 부분합은 무한급수의 합을 넘을 수 없으므로 $\sum_{k = 1}^{n} a_{r_{k}} \leq S$ 이다. 즉 $\sum_{k = 1}^{n} a_{r_{k}}$ 는 유계이다. 그러므로 $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{r_{k}}$ 는 적당한 실수 $T$ 에 수렴한다. 이때 $T \leq S$ 가 성립한다.

관점을 바꾸어 보면 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ 이 $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{r_{k}}$ 의 항의 순서를 바꾼 무한급수이므로 $\sum_{k = 1}^{n} a_{k} \leq T$ 이다. 그러므로 $S \leq T$ 이다.

이로써 등식 $T = S$ 를 얻는다.

이제 ${a_{n}}$ 의 모든 항이 $0$ 이상이라는 조건을 제외하자. 대신 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ 이 절대수렴한다고 가정하자. ${a_{r_{n}}}$ 이 ${a_{n}}$ 을 재배열한 수열이라고 하자. 그러면 ${a_{r_{n}}^{+}}$ 와 ${a_{r_{n}}^{-}}$ 는 각각 ${a_{n}^{+}}$ 와 ${a_{n}^{-}}$ 를 재배열한 수열이다. 여기에 보조정리 2.3.1을 사용하면 다음 등식을 얻는다. $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}^{+} - \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}^{-} = \sum_{n = 1}^{\infty} a_{r_{n}}^{+} - \sum_{n = 1}^{\infty} a_{r_{n}}^{-} = \sum_{n = 1}^{\infty} a_{r_{n}} .$ 그러므로 다음 정리를 얻는다.

정리 2.3.3. (절대수렴하는 무한급수의 재배열)

무한급수 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ 이 절대수렴한다고 하자. ${a_{r_{n}}}$ 이 ${a_{n}}$ 을 재배열한 수열이라면 무한급수 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{r_{n}}$ 도 절대수렴하며, $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = \sum_{n = 1}^{\infty} a_{r_{n}}$ 이 성립한다.

이번에는 조건수렴하는 무한급수를 재배열한 경우를 살펴보자. 무한급수 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ 이 조건수렴한다고 하자. 그러면 두 무한급수 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}^{+}, \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}^{-}$ 는 모두 양의 무한대로 발산한다.

$A$ 가 임의로 주어진 수라고 하자.

${a_{n}^{+}}$ 의 항을 앞에서부터 차례로 더해가다 보면 그 합 $P_{1}$ 이 $A$ 보다 커지는 순간이 온다. 즉 $P_{1} > A$ 이다. 여기서 멈춘 후, 다시 ${- a_{n}^{-}}$ 의 항을 앞에서부터 차례로 더해가다 보면 그 합 $Q_{1}$ 이 $A - P_{1}$ 보다 작아지는 순간이 온다. 즉 $P_{1} + Q_{1} < A$ 이다. 여기서 멈춘 후, 다시 ${a_{n}^{+}}$ 의 남은 항을 앞에서부터 차례로 더해가다 보면 그 합 $P_{2}$ 가 $A - P_{1} - Q_{1}$ 보다 커지는 순간이 온다. 즉 $P_{1} + Q_{1} + P_{2} > A$ 이다. 여기서 멈춘 후, 다시 ${- a_{n}^{-}}$ 의 남은 항을 앞에서부터 차례로 더해가다 보면 그 합 $Q_{2}$ 가 $A - P_{1} - Q_{1} - P_{2}$ 보다 작아지는 순간이 온다. 즉 $P_{1} + Q_{1} + P_{2} + Q_{1} < A$ 이다.

이 과정을 반복하면 $A$ 에 수렴하는 무한급수 $P_{1} + Q_{1} + P_{2} + Q_{2} + P_{3} + Q_{3} + \dots$ 를 얻는다. 이 무한급수는 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ 의 항을 재배열한 무한급수이다.

그러므로 다음 정리를 얻는다.

정리 2.3.4. (리만의 재배열 정리)

무한급수 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ 이 조건수렴한다고 하자. 그리고 $A$ 가 임의로 주어진 수라고 하자. 그러면 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ 의 항을 재배열하여 $A$ 에 수렴하는 무한급수 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{r_{n}}$ 을 만들 수 있다.

보기 2.3.2. 다음 두 무한급수를 살펴보자. $\begin{aligned} S & = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + - \dots, \\ T & = 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} - \frac{1}{8} + \frac{1}{5} - \frac{1}{10} - \frac{1}{12} + - - \dots . \end{aligned}$ $T$ 는 $S$ 의 항을 재배열한 무한급수이다. 두 무한급수의 부분합을 각각 $S_{n},$ $T_{n}$ 이라고 하자. 그러면 $\frac{1}{2} S_{2 n} = T_{3 n}$ 이 성립한다. 그런데 ${S_{2 n}}$ 이 $S$ 에 수렴하므로 $lim_{n \to \infty} T_{3 n} = \frac{1}{2} S$ 이다. 그러므로 이 등식으로부터 $S$ 가 절대수렴하지 않는다는 사실을 추론할 수 있다.

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