이 글은 『미적분학 첫걸음』 2장 3절의 내용입니다. (미적분학 첫걸음 차례 보기)
\(\left\{ a_n \right\}\)이 실수열이라고 하자. 무한급수의 절대수렴과 조건수렴을 다음과 같이 정의한다.
- 만약 무한급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} \left\lvert a_n \right\rvert\)이 수렴하면 “무한급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)이 절대수렴한다(converge absolutely)”라고 말한다.
- 만약 무한급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)이 수렴하지만 절대수렴하지는 않으면 “무한급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)이 조건수렴한다(converge conditionally)”라고 말한다.
절대수렴과 조건수렴의 관계
\(\left\{ a_n \right\}\)이 실수열일 때 다음과 같이 정의한다. \[\begin{align} a_n^+ &= \begin{cases} a_n & \quad \text{if} \,\, a_n \ge 0,\\ 0 & \quad \text{if} \,\, a_n < 0; \end{cases} \\[6pt] a_n^- &= \begin{cases} -a_n & \quad \text{if} \,\, a_n \le 0,\\ 0 & \quad \text{if} \,\, a_n > 0. \end{cases} \end{align}\] 정의에 의하여 임의의 \(n\)에 대하여 \[a_n = a_n^+ - a_n^- \quad\text{and}\quad \left\lvert a_n \right\rvert = a_n^+ + a_n^-\] 이다. 또한 \[a_n^+ \ge 0 \quad\text{and}\quad a_n^- \ge 0\] 이며, \[a_n^+ \le \left\lvert a_n \right\rvert \quad\text{and}\quad a_n^- \le \left\lvert a_n \right\rvert\] 이다. 그러므로, 만약 \(\sum_{n=1}^{\infty} \left\lvert a_n \right\rvert\)이 수렴하면 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n ^+\)와 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n^-\)가 모두 수렴한다.
역으로 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n ^+\)와 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n^-\)가 모두 수렴하면 \(\sum_{n=1}^{\infty} \left\lvert a_n \right\rvert\)이 수렴한다.
그러므로 다음 정리를 얻는다.
보조정리 2.3.1. 무한급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)이 절대수렴하기 위한 필요충분조건은 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n ^+\)와 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n^-\)가 모두 수렴하는 것이다.
무한급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)이 절대수렴한다고 하자. 그러면 \[a_n^+ \le \left\lvert a_n \right\rvert \quad\text{and}\quad a_n^- \le \left\lvert a_n \right\rvert\] 이므로 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n^+\)와 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n^-\)가 모두 수렴한다. 그런데 \[\sum_{k=1}^n a_k = \sum_{k=1}^n a_k^+ - \sum_{k=1}^n a_k ^-\] 이므로 \(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)이 수렴한다.
그러므로 다음 정리를 얻는다.
정리 2.3.2. 무한급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n \)이 절대수렴하면, 이 무한급수는 수렴한다.
참고. 위 정리의 역은 일반적으로 참이 아니다. 다음 무한급수를 살펴보자. \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}.\] 이 무한급수는 교대급수 판정법(2.4절을 참고하라)에 의하여 수렴하지만, 절대수렴하지는 않는다.
보기 2.3.1. 다음 무한급수가 수렴하도록 하는 \(x\)의 값의 범위를 구해 보자. \[1 + 2x + x^2 + 2x^3 + x^4 + 2x^5 + \cdots .\] 예제 2.2.7에서 \(0 \le x < 1\)일 때 이 무한급수가 수렴하고 \(x \ge 1\)일 때 이 무한급수가 발산함을 보였다. 따라서 \(-1 < x < 0\)일 때 무한급수 \[1 + 2 \lvert x \rvert + \lvert x \rvert^2 + 2 \lvert x \rvert^3 + \lvert x \rvert^4 + 2 \lvert x \rvert^5 + \cdots\] 이 수렴한다. 즉 \(-1 < x < 0\)일 때 문제의 무한급수가 절대수렴한다. 그러므로 \(-1 < x < 1\)일 때 문제의 무한급수가 수렴한다.
\(x\le -1\)이거나 \(x \ge 1\)일 때는 무한급수의 항이 \(0\)에 수렴하지 않으므로 문제의 무한급수가 발산한다.
재배열된 무한급수
수열 \(\left\{ a_n \right\}\)의 모든 항이 \(0\) 이상이며 \[\sum_{n=1}^{\infty} a_n = S\] 로서 \(\left\{a_n\right\}\)의 무한급수가 수렴한다고 하자. 그리고 \(\left\{ a_{r_n}\right\}\)이 \(\left\{ a_n \right\}\)을 재배열한 수열(항의 순서를 바꾼 수열)이라고 하자. 음이 아닌 항으로 이루어진 무한급수의 부분합은 무한급수의 합을 넘을 수 없으므로 \[\sum_{k=1}^n a_{r_k} \le S\] 이다. 즉 \(\sum_{k=1}^n a_{r_k}\)는 유계이다. 그러므로 \(\sum_{k=1}^{\infty}a_{r_k}\)는 적당한 실수 \(T\)에 수렴한다. 이때 \(T\le S\)가 성립한다.
관점을 바꾸어 보면 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)이 \(\sum_{k=1}^{\infty}a_{r_k}\)의 항의 순서를 바꾼 무한급수이므로 \(\sum_{k=1}^n a_k \le T\)이다. 그러므로 \(S\le T\)이다.
이로써 등식 \(T=S\)를 얻는다.
이제 \(\left\{ a_n \right\}\)의 모든 항이 \(0\) 이상이라는 조건을 제외하자. 대신 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)이 절대수렴한다고 가정하자. \(\left\{ a_{r_n}\right\}\)이 \(\left\{ a_n \right\}\)을 재배열한 수열이라고 하자. 그러면 \(\left\{a_{r_n}^+\right\}\)와 \(\left\{a_{r_n}^-\right\}\)는 각각 \(\left\{ a_n ^+ \right\}\)와 \(\left\{ a_n ^- \right\}\)를 재배열한 수열이다. 여기에 보조정리 2.3.1을 사용하면 다음 등식을 얻는다. \[\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \sum_{n=1}^{\infty} a_n^+ - \sum_{n=1}^{\infty} a_n^- = \sum_{n=1}^{\infty} a_{r_n}^+ - \sum_{n=1}^{\infty} a_{r_n}^- = \sum_{n=1}^{\infty} a_{r_n}.\] 그러므로 다음 정리를 얻는다.
정리 2.3.3. (절대수렴하는 무한급수의 재배열)
무한급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)이 절대수렴한다고 하자. \(\left\{ a_{r_n}\right\}\)이 \(\left\{a_n\right\}\)을 재배열한 수열이라면 무한급수 \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{r_n}\)도 절대수렴하며, \[\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \sum_{n=1}^{\infty} a_{r_n}\] 이 성립한다.
이번에는 조건수렴하는 무한급수를 재배열한 경우를 살펴보자. 무한급수 \[\sum_{n=1}^{\infty} a_n\] 이 조건수렴한다고 하자. 그러면 두 무한급수 \[\sum_{n=1}^{\infty} a_n^+ ,\quad \sum_{n=1}^{\infty} a_n^-\] 는 모두 양의 무한대로 발산한다.
\(A\)가 임의로 주어진 수라고 하자.
\(\left\{ a_n ^+ \right\}\)의 항을 앞에서부터 차례로 더해가다 보면 그 합 \(P_1\)이 \(A\)보다 커지는 순간이 온다. 즉 \[P_1 > A\]이다. 여기서 멈춘 후, 다시 \(\left\{ -a_n ^- \right\}\)의 항을 앞에서부터 차례로 더해가다 보면 그 합 \(Q_1\)이 \(A-P_1\)보다 작아지는 순간이 온다. 즉 \[P_1 + Q_1 < A\]이다. 여기서 멈춘 후, 다시 \(\left\{ a_n^+ \right\}\)의 남은 항을 앞에서부터 차례로 더해가다 보면 그 합 \(P_2\)가 \(A-P_1 - Q_1\)보다 커지는 순간이 온다. 즉 \[P_1 + Q_1 + P_2 > A\]이다. 여기서 멈춘 후, 다시 \(\left\{ -a_n^- \right\}\)의 남은 항을 앞에서부터 차례로 더해가다 보면 그 합 \(Q_2\)가 \(A - P_1 - Q_1 - P_2\)보다 작아지는 순간이 온다. 즉 \[P_1 +Q_1 +P_2 + Q_1 < A\]이다.
이 과정을 반복하면 \(A\)에 수렴하는 무한급수 \[P_1 + Q_1 + P_2 + Q_2 + P_3 + Q_3 + \cdots\] 를 얻는다. 이 무한급수는 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)의 항을 재배열한 무한급수이다.
그러므로 다음 정리를 얻는다.
정리 2.3.4. (리만의 재배열 정리)
무한급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)이 조건수렴한다고 하자. 그리고 \(A\)가 임의로 주어진 수라고 하자. 그러면 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)의 항을 재배열하여 \(A\)에 수렴하는 무한급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_{r_n}\)을 만들 수 있다.
보기 2.3.2. 다음 두 무한급수를 살펴보자. \[\begin{align} S &= 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + - \cdots , \\[5pt] T &= 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} - \frac{1}{8} + \frac{1}{5} - \frac{1}{10} - \frac{1}{12} + - - \cdots . \end{align}\] \(T\)는 \(S\)의 항을 재배열한 무한급수이다. 두 무한급수의 부분합을 각각 \(S_n ,\) \(T_n \)이라고 하자. 그러면 \[\frac{1}{2} S_{2n} =T_{3n}\] 이 성립한다. 그런데 \(\left\{ S_{2n} \right\}\)이 \(S\)에 수렴하므로 \[\lim_{n\rightarrow\infty} T_{3n} = \frac{1}{2}S\] 이다. 그러므로 이 등식으로부터 \(S\)가 절대수렴하지 않는다는 사실을 추론할 수 있다.