집합을 공부할 때 도움이 되도록 집합의 성질을 증명하는 예제와 풀이를 모았습니다. 모든 예제와 풀이에서 \(U\)는 공집합이 아닌 전체집합을 나타내며, \(A,\) \(B,\) \(C\)는 \(U\)의 부분집합을 나타냅니다. 또한 \(\varnothing\)은 공집합을 나타내며, \(P(A)\)는 \(A\)의 멱집합을 나타냅니다. \(C\)가 윗첨자로 쓰였을 때는 여집합을 나타냅니다. 예제 1. 공집합이 임의의 집합의 부분집합임을 증명하시오. 풀이 \(\varnothing\)이 공집합이고 \(A\)가 임의의 집합이라고 하자. 이제 임의의 원소 \(x\)에 대하여 다음 조건부 명제가 참임을 보여야 한다. …
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Sets and Logic
This set of exercises is retrieved from the second chapter of Linear Algebra by Robert J. Valenza. Note that these solutions are not fully elaborated; You have to fill the descriptions by yourself. Problem 1.1 Find the sets \(S,\) \(T\) and \(U\) and functions \(f: S \rightarrow T\) and \(g: T \rightarrow U\) such that \(g \circ f\) is injective, but \(g\) is not …
문제. \(\mathbb{N}\)이 모든 자연수의 집합이라고 하자. 이때, \(\mathbb{N}\)으로부터 \(\mathbb{N}\)으로의 함수, 즉 정의역과 공역이 모두 \(\mathbb{N}\)인 함수의 개수가 실수의 개수와 같음을 보이시오. 풀이. 표기를 편하게 하기 위하여 정의역이 \(A\)이고 공역이 \(B\)인 함수의 모임을 \(B^A\)로 나타낸다. 1단계. 정의역이 \(\mathbb{N}\)이고 공역이 \(E = \left\{ 0,\,1 \right\}\)인 함수의 개수를 세어 보자. 즉 \(E^\mathbb{N}\)의 원소의 개수를 생각해 보자. \(f\in E^\mathbb{N}\)라고 하자. 그러면 각 자연수 \(n\)에 대하여 함숫값 \(f(n)\)은 \(0\) …