Linear Algebra

\[ \newcommand{\vecu}{\mathrm{\bf{u}}} \newcommand{\vecv}{\mathrm{\bf{v}}} \newcommand{\vecw}{\mathrm{\bf{w}}} \newcommand{\vecx}{\mathrm{\bf{x}}} \newcommand{\vecy}{\mathrm{\bf{y}}} \newcommand{\vecz}{\mathrm{\bf{z}}} \newcommand{\veczero}{\mathrm{\bf{0}}} \] 동형의 의미 다음과 같은 집합 \(\mathbb{Z}_3\)을 생각해 보자. \[\mathbb{Z}_3 = \left\{ 0 ,\,\, 1,\,\,2 \right\}\] 이 집합 위에서 덧셈과 곱셈을 새롭게 정의해 보자. 즉 \(m\)과 \(n\)이 \(\mathbb{Z}_3\)의 원소일 때, 새로운 합 \(m+n\)을 \(m\)과 \(n\)의 합을 \(3\)으로 나눈 나머지로, 새로운 곱 \(mn\)을 \(m\)과 \(n\)의 곱을 \(3\)으로 나눈 나머지로 정의하자. 이와 같은 합과 곱을 표로 나타내면 다음 …

다음과 같은 문제를 생각해 보자. 세 점을 지나는 그래프를 갖는 이차함수 \(a_1 ,\) \(a_2 ,\) \(a_3\)이 서로 다른 실수이고, \(b_1 ,\) \(b_2 ,\) \(b_3\)이 실수일 때, 그래프가 세 점 \((a_1 ,\, b_1 ),\) \((a_2 ,\, b_2 ),\) \((a_3 ,\, b_3 )\)을 모두 지나는 이차함수의 식을 어떻게 구할 것인가? 만약 이차함수의 식을 \(y = ax^2 + bx + c \)라고 둔다면, 위 문제는 다음 연립일차방정식에서 …

\[ \newcommand{\vecu}{\mathrm{\bf{u}}} \newcommand{\vecv}{\mathrm{\bf{v}}} \newcommand{\vecw}{\mathrm{\bf{w}}} \newcommand{\vecx}{\mathrm{\bf{x}}} \newcommand{\vecy}{\mathrm{\bf{y}}} \newcommand{\vecz}{\mathrm{\bf{z}}} \] \(V\)와 \(W\)가 집합이고 \(f\)와 \(g\)가 \(V\)로부터 \(W\)로의 함수라고 하자. 정의역 \(V\)에 속하는 몇 개의 점 \(x\)에 대하여 \(f(x) = g(x)\)가 성립한다고 하더라도, \(V\) 전체에서 \(f(x) = g(x)\)가 성립한다는 보장은 없다. 그러나 함수가 벡터공간 사이에서 정의되어 있는 선형변환인 경우에는, 정의역의 기저 원소에 대해서 두 함수의 함숫값이 일치하면 두 함수는 완전히 같은 함수가 된다. 즉 다음 정리가 성립한다. …

Problem 9.1 Describe geometrically the linear transformation \(T_A : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2\) given by \[A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\] and then interpret the meanings of the eigenvalues and eigenvectors accordingly. Solution. \(T_A\) is a reflection about the line \(y=x.\) Hence \(v\) is an eigenvector of \(T_A\) if and only if \(v\) is parallel to or orthogonal to the …