\[ \newcommand{\vecu}{\mathrm{\bf{u}}} \newcommand{\vecv}{\mathrm{\bf{v}}} \newcommand{\vecw}{\mathrm{\bf{w}}} \newcommand{\vecx}{\mathrm{\bf{x}}} \newcommand{\vecy}{\mathrm{\bf{y}}} \newcommand{\vecz}{\mathrm{\bf{z}}} \newcommand{\veczero}{\mathrm{\bf{0}}} \] 동형의 의미 다음과 같은 집합 \(\mathbb{Z}_3\)을 생각해 보자. \[\mathbb{Z}_3 = \left\{ 0 ,\,\, 1,\,\,2 \right\}\] 이 집합 위에서 덧셈과 곱셈을 새롭게 정의해 보자. 즉 \(m\)과 \(n\)이 \(\mathbb{Z}_3\)의 원소일 때, 새로운 합 \(m+n\)을 \(m\)과 \(n\)의 합을 \(3\)으로 나눈 나머지로, 새로운 곱 \(mn\)을 \(m\)과 \(n\)의 곱을 \(3\)으로 나눈 나머지로 정의하자. 이와 같은 합과 곱을 표로 나타내면 다음 …
Category:
Linear Algebra
다음과 같은 문제를 생각해 보자. 세 점을 지나는 그래프를 갖는 이차함수 \(a_1 ,\) \(a_2 ,\) \(a_3\)이 서로 다른 실수이고, \(b_1 ,\) \(b_2 ,\) \(b_3\)이 실수일 때, 그래프가 세 점 \((a_1 ,\, b_1 ),\) \((a_2 ,\, b_2 ),\) \((a_3 ,\, b_3 )\)을 모두 지나는 이차함수의 식을 어떻게 구할 것인가? 만약 이차함수의 식을 \(y = ax^2 + bx + c \)라고 둔다면, 위 문제는 다음 연립일차방정식에서 …
\[ \newcommand{\vecu}{\mathrm{\bf{u}}} \newcommand{\vecv}{\mathrm{\bf{v}}} \newcommand{\vecw}{\mathrm{\bf{w}}} \newcommand{\vecx}{\mathrm{\bf{x}}} \newcommand{\vecy}{\mathrm{\bf{y}}} \newcommand{\vecz}{\mathrm{\bf{z}}} \] \(V\)와 \(W\)가 집합이고 \(f\)와 \(g\)가 \(V\)로부터 \(W\)로의 함수라고 하자. 정의역 \(V\)에 속하는 몇 개의 점 \(x\)에 대하여 \(f(x) = g(x)\)가 성립한다고 하더라도, \(V\) 전체에서 \(f(x) = g(x)\)가 성립한다는 보장은 없다. 그러나 함수가 벡터공간 사이에서 정의되어 있는 선형변환인 경우에는, 정의역의 기저 원소에 대해서 두 함수의 함숫값이 일치하면 두 함수는 완전히 같은 함수가 된다. 즉 다음 정리가 성립한다. …
이 글은 벡터공간의 차원이, 그 벡터공간의 기저의 기수(cardinal number)로서 잘 정의됨을 살펴보는 글이다. 유한집합으로 생성되는 벡터공간의 차원이 잘 정의된다는 것은 보통의 선형대수학 교재에 아주 잘 소개되어 있으므로 여기서는 생략하고, 이 글에서는 유한집합으로 생성되지 않는 벡터공간, 즉 무한차원벡터공간의 차원이 잘 정의되는 것을 살펴본다. 이 글은 참고문헌 [1]의 제9장 2절의 내용을 바탕으로 작성하였다. Invariance of Dimensionality 체 \(\mathbb{F}\) 위의 벡터공간 \(V\)가 주어졌을 때, (선택공리를 가정했을 때) …
\(A\)가 \(n\)차 정사각행렬이고 모든 성분이 체 \(K\)의 성분이라고 하자. 즉 \(A\in M_n (K)\)라고 하자. 그리고 \(A\)의 특성다항식을 \(p_A (t)\)라고 하자. 그러면 \(\lambda \in K\)가 \(A\)의 고윳값일 필요충분조건은 \(p_A(\lambda)=0\)인 것이다. 이때 \(p_A (t)\)는 다음과 같은 꼴로 인수분해된다. \[p_A (t) = (t-\lambda )^r q(t).\] 여기서 \((t-\lambda)\)의 차수 \(r\)를 고윳값 \(\lambda\)의 대수적 중복도라고 부른다. 고윳값 \(\lambda\)를 고정시켜 두고 다음 집합을 생각하자. \[\left\{ \mathbf{v}\in \mathbb{R}^n \,\vert\, A\mathbf{v} = …
다음과 같은 타원의 방정식을 생각해 봅시다. \[2x^2 – 4xy + 5y^2 = 36\tag{1}\] 선형대수학에서 공부한 이차형식의 성질을 이용하면 좌변을 변형하여 타원의 장축과 단축의 길이를 구할 수 있습니다. 하지만 오늘은 라그랑주의 방법(method of Lagrange’s multiplier)을 이용하여 이 타원의 장축과 단축의 길이를 구해보겠습니다. 타원의 중심이 좌표평면의 원점이므로, 타원 위의 점 중에서 원점으로부터 가장 멀리 있는 점까지의 거리와 가장 가까이 있는 점까지의 거리를 찾으면 됩니다. 즉 타원 …
Problem 9.1 Describe geometrically the linear transformation \(T_A : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2\) given by \[A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\] and then interpret the meanings of the eigenvalues and eigenvectors accordingly. Solution. \(T_A\) is a reflection about the line \(y=x.\) Hence \(v\) is an eigenvector of \(T_A\) if and only if \(v\) is parallel to or orthogonal to the …
이 글은 현재는 절판된 Serge Lang의 선형대수 교재 제2판([1], VII, §6)의 내용을 토대로 쓴 것이다. 퍼가지 마시라. 이 글에서는 행렬식을 한 도형의 체적으로 이해하는 이야기를 소개한다. 먼저 2-차원의 경우를 논할텐데, ‘체적(volume)’이라는 용어를 2-차원 도형의 넓이를 일컬을 때에도 그냥 사용하고자 한다. 또한 ‘\(\operatorname{Vol}\)’와 같은 기호를 이용하여 넓이를 나타내기도 할 것이다. 물론 이 기호를 일반적인 고차원 도형의 체적을 나타내는 기호로도 쓸 것이다. 먼저 두 벡터 \(v, …
지난 포스트에서 벡터공간 \(K^n,\) \(K^m\) 사이에서 정의된 선형변환과 \(m\times n\) 행렬의 관계를 살펴보았다(지난 포스팅 보기). 이번에는 일반적인 유한차원 벡터공간 \(V,\) \(V’\) 사이에서 정의된 선형변환과 행렬의 관계를 살펴보자. \(K\)가 체이고 \(n\)과 \(m\)이 양의 정수라고 하자. 그리고 \(V\)와 \(V’\)이 \(K\) 위에서 정의된 \(n\)차원 벡터공간, \(m\)차원 벡터공간이라고 하자. 또한 \[\begin{align} B: &\,\, v_1 ,\, v_2 ,\, \cdots ,\, v_n, \\[6pt] B’ : & \,\, v_1 ‘ ,\, …
벡터공간 \(K^n,\) \(K^m\) 사이에서 정의된 선형변환과 \(m\times n\) 행렬의 관계를 살펴보자. \(K\)가 체(field)이고 \(n\)과 \(m\)이 양의 정수라고 하자. 모든 성분이 \(K\)에 속하는 \(m\times n\) 행렬들의 모임을\(\newcommand{\MatK}{\operatorname{Mat}_{m \times n}(K)}\) \[\MatK\] 로 나타낸다. 또한 정의역이 \(K^n\)이고 공역이 \(K^m\)인 선형변환들의 모임을\(\newcommand{\HomK}{\operatorname{Hom}(K^n ,\, K^m )}\) \[\HomK\] 으로 나타낸다. [여기서 \(K^n\)과 \(K^m\)은 통상적인 벡터 합과 스칼라 곱이 주어진 벡터공간이다.] 스칼라 \(k\in K\)와 \(m\times n\) 행렬 \(A = (a_{ij})_{m\times n}\), …