General Topology

열린집합들의 합집합은 열린집합이다. 열린집합의 개수가 무한일지라도 그들을 합집합하여 얻은 결과는 항상 열린집합이다. (참고: 열린집합과 닫힌집합) 그러나 열린집합을 교집합한 결과는 열린집합이 아닐 수도 있다. 그 예를 살펴보자. 전체집합을 \(\mathbb{R}\)라고 하고, 자연수 \(j\)에 대하여 집합 \(A_j\)를 다음과 같이 정의하자. \[A_j = \left( – \frac{1}{j} ,\, 1+ \frac{1}{j} \right).\tag{1}\] 그러면 임의의 \(j\)에 대하여 \(A_j\)는 열린구간이므로, \(\mathbb{R}\)에서의 열린집합이다. 다음으로 \[A = \bigcap_{j=1}^{\infty} A_j\tag{2}\] 라고 하자. 이제 \[A = …

가산집합과 비가산집합은 원소의 개수에 따라 집합을 분류한 것이다. 해석학과 위상수학에서는 원소의 개수뿐만 아니라 원소의 분포 형태까지 고려하여 집합을 분류하는데 그러한 분류법 중 하나가 집합의 범주이다. 정의 1. \(X\)가 위상공간이고 \(E\subseteq X\)라고 하자. 만약 \(\left(\overline{E}\right)^o = \varnothing\)이면 \(E\)는 \(X\)의 어느 곳에서도 조밀하지 않다(nowhere dense)고 말한다. 보기 1. \(\mathbb{R}\)가 보통위상공간이라고 하자. 이때 \(\mathbb{N}\)은 \(\mathbb{R}\)의 어느 곳에서도 조밀하지 않다. 보기 2. \(\mathbb{Z}\)가 보통위상공간이라고 하자. 이때 \[\left(\overline{\mathbb{N}}\right)^o = …

열린집합의 무한 교집합 반례

배어의 범주 정리