이 포스트에서는 사칙계산과 관련된 미분의 계산 법칙을 유도하고 다항함수와 유리함수의 미분법을 살펴본다. 먼저 상수함수와 단항함수의 미분법을 살펴보자. 정리 1. (상수함수의 미분) \(f\)가 상수함수이고 \(f(x)=c\)일 때 \(f ‘ (x) = 0\)이다. 증명 \[f ‘ (x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{c-c}{h} = 0.\tag*{\(\blacksquare\)}\] 정리 2. (거듭제곱 미분 법칙) \(n\)이 자연수이고 \(f(x)=x^n\)일 때 \(f ‘ (x) = nx^{n-1}\)이다. (단, \(n=1,\) \(x=0\)일 때에는 \(f ‘ (0) …
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Calculus
함수 \(y=f(x)\)의 그래프가 뾰족한 부분이 없고 매끄럽게 이어져 있을 때 그래프 위의 한 점에서 접선을 생각할 수 있다. 이 접선의 기울기는 접점 근처에서 \(x\)의 변화량과 \(y\)의 변화량의 비의 극한값으로 구할 수 있다. 이러한 개념을 일반화하여 미분을 정의할 수 있다. 이 포스트에서는 실숫값 함수의 미분을 정의하고 그 성질을 살펴본다. 미분의 정의 함수 \(f\)가 서로 다른 두 점 \(a,\) \(b\)를 원소로 갖는 구간에서 정의되어 있다고 하자. …
직관적으로 열린 집합은 경계점을 원소로 갖지 않는 집합이며 닫힌 집합은 모든 경계점을 원소로 갖는 집합이다. 이 포스트에서는 열린 집합과 닫힌 집합을 논리적으로 정의하고 그와 관련된 성질들을 살펴본다. 열린 집합과 닫힌 집합 수열의 극한의 성질에 의하여, 닫힌 구간 \(I\)에 속한 수열이 수렴하면 그 극한값은 닫힌 구간 \(I\)에 속한다. 이것을 일반화하여 닫힌 집합을 정의할 수 있다. (관련 포스트: 수열의 극한 정리 8.) 정의 1. (닫힌 집합) …
함수 \(f\)가 \(c\)에서 수렴하지 않을 때 ‘\(f\)는 \(c\)에서 발산한다’라고 말한다. 함수가 수렴하지 않는 경우를 모두 발산이라고만 하기에는 아까우므로, 발산하는 경우 중에서도 특별한 몇 가지 경우에 대해서는 극한을 따로 정의하고 그 성질을 살펴볼 필요가 있다. 예컨대 \(x\)의 값이 \(c\)에 다가갈 때 \(f(x)\)의 값이 무한히 커지거나 무한히 작아지는 경우의 극한을 생각할 수 있으며, \(x\)의 값이 무한히 커지거나 무한히 작아지는 경우의 극한도 생각할 수 있다. 이 포스트에서는 …
직관적으로, 함수가 연속이라는 것은 그 그래프가 끊어지지 않고 이어져 있는 것이다. 그러나 이와 같은 직관적 개념만으로는 명확하게 다룰 수 없는 연속함수의 성질들이 있다. 이 글에서는 연속성을 엄밀하게 정의하고 연속성으로부터 파생되는 여러 가지 성질들을 살펴본다. 연속함수의 정의 연속의 정의는 한 점에서의 연속과 집합에서의 연속으로 구분하여 생각할 수 있다. 먼저 한 점에서의 연속의 정의를 살펴보자. 정의 1. (점에서의 연속성; 극한을 이용한 정의) 함수 \(f\)가 \(c\)를 원소로 …
\(x\)축에서 한 점 \(c\)에 다가갈 수 있는 방향은 두 가지가 있다. 즉 \(c\)의 왼쪽에서 \(c\)에 다가갈 수도 있으며, \(c\)의 오른쪽에서 \(c\)에 다가갈 수도 있다. 이와 같이 \(x\)가 \(c\)에 다가가는 방향에 따라 \(c\)에서 \(f\)의 극한을 구분할 수 있다. 좌극한과 우극한의 정의 \(x\)가 \(c\)의 왼쪽에서 \(c\)에 접근할 때 \(f(x)\)의 값이 \(L\)에 다가가면 \(f\)는 \(c\)에서 좌극한 \(L\)을 가진다고 말한다. 우극한에 대해서도 비슷한 방법으로 정의한다. 논리적인 정의는 다음과 …
함수의 극한은 미적분의 시작부터 끝까지 모든 곳에 나타나는 개념이다. 이 글에서는 함수의 극한의 엄밀한 정의를 살펴보고, 극한과 관련된 기본적인 성질을 증명한다. 이 글에서 다루는 함수는 정의역과 공역이 \(\mathbb{R}\)의 부분집합인 것으로 한정한다. 극한의 엄밀한 정의 \(f\)가 실수 \(c\)를 원소로 갖는 한 열린 구간에서 정의된 함수라고 하자. 직관적으로 \(c\)에서 \(f\)의 극한값이 \(L\)이라는 것은 \(x\)가 \(c\)에 한없이 가까이 다가갈 때 \(f(x)\)의 값이 \(L\)에 한없이 가까이 다가감을 의미한다. …
이 포스트에서는 수열의 극한을 엄밀하게 정의하고 극한과 관련된 기본적인 성질을 증명한다. 내용 순서 수열의 극한의 정의 극한의 대수적 성질 수열의 극한의 성질 발산하는 수열 미리 알아야 할 내용 집합과 실수 (관련 글) 수열의 극한의 정의 적당한 정수 \(n_0\)에 대하여 정의역을 \(\left\{ n \in \mathbb{Z} \,\vert\, n \ge n_0 \right\}\) 꼴로 나타낼 수 있는 함수를 점열(sequence)이라고 부르며, 공역이 \(\mathbb{R}\)인 점열을 실수열(real sequence)이라고 부른다. [미적분학을 공부하는 …
이 포스트에서는 미적분학을 공부하기 위해 필요한 기초 개념인 수학의 논리, 집합의 성질, 실수계의 성질을 간략하게 살펴본다. 수학의 논리 먼저 논리를 나타내는 기호를 살펴보자. \(p\)와 \(q\)가 수학적 문장일 때 다음과 같이 정의한다. 논리곱 : ‘\(p\) 그리고 \(q\)’를 \((p \,\wedge\, q)\)로 나타낸다. \((p \,\wedge\, q)\)가 참이라는 것은 \(p\)와 \(q\)가 모두 참이라는 것을 의미한다. 논리합: ‘\(p\) 또는 \(q\)’를 \((p\,\vee\,q)\)로 나타낸다. \((p\,\vee\,q)\)가 참이라는 것은 \(p\)와 \(q\) 중 하나 …