예제 1. 함수 \(f(x,\,y,\,z)\)가 모든 점에서 미분 가능하고 \[f(x,\,y,\,z)=0 \tag{1.1}\] 을 만족시킬 때 \[\left( \frac{\partial x}{\partial g} \right)_z \left( \frac{\partial y}{\partial z}\right)_x \left( \frac{\partial z}{\partial x}\right)_y =-1\tag{1.2}\] 임을 보이시오. (Thomas’ Calculus 13ed 14.10. Exercise 9.) 풀이. 먼저 \(y,\) \(z\)를 독립변수로 두고 (1.1)의 양변을 \(y\)에 관하여 미분하면 다음과 같다. \[\begin{align} &\frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial y} + \frac{\partial …
Calculus
\(3\)차원 공간에 서로 다른 두 점 \(P,\) \(S\)와 벡터 \(\textbf{v}\)가 주어졌다고 하자. 그리고 점 \(S\)를 지나고 \(\textbf{v}\)와 평행한 직선을 \(\ell\)이라고 하자. 이때 \(P\)와 \(\ell\) 사이의 거리 \(d\)는 다음과 같은 방법으로 구할 수 있다. \[d = \frac{\lvert \overrightarrow{PS} \times \textbf{v}\rvert}{\lvert\textbf{v}\rvert}.\tag{1}\] 평행사변형의 인접한 두 변이 각각 \(\overrightarrow{PS},\) \(\textbf{v}\)와 평행하고, 두 변의 길이가 각각 \(\vert\overrightarrow{PS}\lvert,\) \(\lvert\textbf{v}\vert\)와 같을 때, 이 평행사변형의 넓이는 두 벡터의 외적의 크기인 \(\lvert \overrightarrow{PS} …
문제. \(\mathbb{N}\)이 모든 자연수의 집합이라고 하자. 이때, \(\mathbb{N}\)으로부터 \(\mathbb{N}\)으로의 함수, 즉 정의역과 공역이 모두 \(\mathbb{N}\)인 함수의 개수가 실수의 개수와 같음을 보이시오. 풀이. 표기를 편하게 하기 위하여 정의역이 \(A\)이고 공역이 \(B\)인 함수의 모임을 \(B^A\)로 나타낸다. 1단계. 정의역이 \(\mathbb{N}\)이고 공역이 \(E = \left\{ 0,\,1 \right\}\)인 함수의 개수를 세어 보자. 즉 \(E^\mathbb{N}\)의 원소의 개수를 생각해 보자. \(f\in E^\mathbb{N}\)라고 하자. 그러면 각 자연수 \(n\)에 대하여 함숫값 \(f(n)\)은 \(0\) …
문제 1. 함수 \(f\)가 다음과 같이 정의되어 있다. \[f(x,\,y) = \sin x + \sin y\] 이때, \(f\)가 모든 점 \((x,\,y)\)에서 연속임을 보이시오. (\(\epsilon – \delta\) 논법을 사용할 것.) 풀이. 점 \((x,\,y)\)가 임의로 주어졌다고 하자. 그리고 \(\epsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자. \[\delta = \frac{\epsilon}{2}\] 이라고 하면 모든 실수 \(s,\) \(t\)에 대하여 다음이 성립한다. \[ \begin{align} \lvert s-x \rvert < \delta \quad &\Rightarrow \quad \lvert ...
열린집합들의 합집합은 열린집합이다. 열린집합의 개수가 무한일지라도 그들을 합집합하여 얻은 결과는 항상 열린집합이다. (참고: 열린집합과 닫힌집합) 그러나 열린집합을 교집합한 결과는 열린집합이 아닐 수도 있다. 그 예를 살펴보자. 전체집합을 \(\mathbb{R}\)라고 하고, 자연수 \(j\)에 대하여 집합 \(A_j\)를 다음과 같이 정의하자. \[A_j = \left( – \frac{1}{j} ,\, 1+ \frac{1}{j} \right).\tag{1}\] 그러면 임의의 \(j\)에 대하여 \(A_j\)는 열린구간이므로, \(\mathbb{R}\)에서의 열린집합이다. 다음으로 \[A = \bigcap_{j=1}^{\infty} A_j\tag{2}\] 라고 하자. 이제 \[A = …
미적분학 II 과제입니다. 다음 문제 중 하나 이상을 풀어서 제출하세요. 문제에서 \(f\)는 항상 정의역이 \(\mathbb{R}^2\)이고 공역이 \(\mathbb{R}\)인 함수를 나타냅니다. 또한 증명은 모두 극한과 연속의 엄밀한 정의(\(\epsilon – \delta\) 논법)를 사용해야 합니다. (문제에서 ‘참고’는 힌트가 아닙니다.) 문제 1. 함수 \(f\)가 다음과 같이 정의되어 있다. \[f(x,\,y) = \sin x + \sin y\] 이때, \(f\)가 모든 점 \((x,\,y)\)에서 연속임을 보이시오. 문제 2. 함수 \(f\)가 다음과 같이 정의되어 …
\(n\)이 \(2\) 이상인 자연수이고 \(x_1 ,\) \(x_2 ,\) \(\cdots ,\) \(x_n\)이 모두 \(0\) 이상인 실수라고 하자. 그러면 다음 부등식이 성립한다. \[\sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n} \le \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}\tag{1}\] 여기서 등식이 성립할 필요충분조건은 \(x_1 = x_2 = \cdots = x_n\)인 것이다. 라그랑주 승수법(method of Lagrange’s multiplier)을 이용하여 이것을 증명해 보자. 증명을 마칠 때까지 첨수 \(i\)는 \(n\) 이하의 자연수를 나타내는 것으로 약속한다. …
‘자기주도적 학습 과제’는 스스로 공부하는 학생들에게 학습의 방향을 안내해주기 위한 문제입니다. 매주 5문제가 제공됩니다. Thomas Calculus 관련 단원을 공부한 후 충분히 생각하면서 문제를 풀어보세요. 여러분의 실력 향상에 도움이 될 것입니다. **** **** **** 1주차 1주차 문제의 관련 단원은 12.1 ~ 12.4절입니다. ‘유클리드 공간’의 정의는 무엇인가요? 수학에서 ‘공간(space)’이란 어떤 의미를 갖나요? ‘공간을 정의한다’라는 것은 무슨 뜻인가요? Thomas Calculus에서는 유클리드 공간에서 벡터의 내적(inner product)을 기하학적 방법으로 …
평면에서 선적분과 이중적분의 관계를 설명하는 그린 정리가 있는 것처럼 공간에서도 선적분과 면적분의 관계를 설명하는 정리, 면적분과 삼중적분의 관계를 설명하는 정리가 있다. 이 포스트에서는 그린 정리를 3차원으로 확장한 적분 정리를 살펴본다. 내용 순서 회전벡터장 스토크스 정리 스토크스 정리의 응용 발산 정리 발산 정리의 응용 미리 알아야 할 내용 Line integral (관련 글) Green’s theorem (관련 글) Surface integral (관련 글) \[ \newcommand{\curl}{{\operatorname{curl}}} \newcommand{\grad}{{\operatorname{grad}}} \newcommand{\opdiv}{{\operatorname{div}}} \] …
지난 포스트에서 테일러 급수를 정의하고 함수를 테일러 급수로 나타내는 방법을 살펴보았다. 또한 \(f\)에 의하여 생성된 테일러 급수가 \(f\)에 수렴함을 증명하는 방법도 살펴보았다. 더불어 거듭제곱급수를 이용하여 삼각함수를 정의하는 방법(관련 포스트)과 거듭제곱급수를 이용하여 지수함수를 정의하는 방법(관련 포스트)도 살펴보았다. 이 포스트에서는 테일러 급수를 활용한 다양한 예를 살펴본다. 내용 순서 이항급수 비초등적분 라이프니츠 공식 부정형 극한의 계산 함수의 정의역 확장하기 미리 알아야 할 내용 거듭제곱급수 (관련 글) 테일러 …