바이어슈트라스의 근사 정리에 의하면 \(f\)가 닫힌 구간 \([a,\,b]\)에서 정의된 연속함수일 때 \([a,\,b]\) 위에서 \(f\)에 균등수렴하는 다항함수열이 존재한다. 여기서는 더 일반적인 경우를 살펴보자.
정의 1. (대수; algebra)
\(X\)가 거리공간이고 \(C(X)\)가 정의역이 \(X\)인 연속 실함수들의 모임이라고 하자. \(\mathcal{A}\)가 \(C(X)\)의 부분집합이고 공집합이 아니며 두 조건
- \(f,\,g\in\mathcal{A}\)일 때 \(f+g \in \mathcal{A},\) \(fg\in\mathcal{A}\)
- \(f\in\mathcal{A},\) \(c\in\mathbb{R}\)일 때 \(cf\in\mathcal{A}\)
를 모두 만족시키면 \(\mathcal{A}\)를 \(C(X)\)의 실함수 대수(real function algebra) 또는 간단히 대수(algebra)라고 부른다.
\(X\)가 거리공간이고 \(f\in C(X)\)일 때 \(f\)의 균등노름(uniform norm)을 \[\lVert f \rVert := \sup_{x\in X} \lvert f(x) \rvert\] 로 정의한다. 그리고 두 함수 \(f,\,g\in C(X)\)의 거리를 \[\operatorname{dist}(f,\,g) := \lVert f-g \rVert \] 로 정의한다. 만약 \(X\)가 컴팩트 공간이면 \(\operatorname{dist}\)는 \(C(X)\)의 거리함수가 된다.
\(\left\{ f_n \right\}\)이 \(C(X)\)의 원소로 이루어진 수열일 때 \(\left\{f_n \right\}\)이 \(f\)에 수렴한다는 것은 \(\lVert f_n - f \rVert \,\to\, 0\)인 것을 의미한다. 따라서 \(C(X)\)에서의 수렴은 함수열의 균등수렴을 의미한다.
정의 2. (대수의 닫힘과 균등조밀성)
\(X\)가 거리공간이고 \(\mathcal{A}\subseteq C(X)\)라고 하자.
- 만약 \(\mathcal{A}\)의 원소로 이루어진 함수열 \(\left\{f_n \right\}\)이 수렴할 때마다 그 극한함수가 \(\mathcal{A}\)에 속하면 \(\mathcal{A}\)는 닫혀있다(closed)고 말한다.
- 임의의 양수 \(\epsilon\)과 \(f\in C(X)\)에 대하여 \(g\in\mathcal{A}\)가 존재하여 \(\lVert f-g \rVert < \epsilon\)을 만족시키면 \(\mathcal{A}\)는 \(C(X)\)에서 균등조밀하다(uniformly dense)고 말한다.
균등수렴하는 연속함수열의 극한함수는 연속함수이므로 명백히 \(C(X)\)는 닫힌 집합이다.
보조정리 1. \(X\)가 컴팩트 거리공간이고 \(\mathcal{A}\)가 \(C(X)\)의 닫힌 대수이며 상수함수를 원소로 가진다고 하자. 또한 \(C(X)\)의 원소 \(f,\) \(g\)에 대하여 \[f \wedge g := \min \left\{ f,\,g \right\} ,\\[6pt] f\vee g := \max \left\{ f,\,g \right\}\]라고 하자. 그러면 \(\wedge\)와 \(\vee\)는 \(\mathcal{A}\)의 이항연산이다. 즉 \(f,\,g\in \mathcal{A}\)이면 \(f\wedge g \in \mathcal{A},\) \(f\vee g \in \mathcal{A}\)이다.
증명
임의의 \(f,\,g\in C(X)\)에 대하여 \[f\wedge g = \frac{f+g-|f-g|}{2} ,\\[6pt] f\vee g = \frac{f+g+|f-g|}{2}\] 이며 \(\mathcal{A}\)가 대수이므로, 임의의 \(f\in\mathcal{A}\)에 대하여 \(|f|\in\mathcal{A}\)가 성립함을 보이면 충분하다.
\(f\in\mathcal{A}\)라고 하자. 만약 \(\lVert f \rVert =0\)이면 \(|f| =0 \in\mathcal{A}\)로서 증명이 끝난다.
이제 \(\lVert f \rVert = M \ne 0\)이라고 하자. 그리고 양수 \(\epsilon\)이 임의로 주어졌다고 하자. 그러면 \[\begin{align} |t| &= (1-(1-t^2 ))^{1/2} \\[6pt] &= 1 - \frac{1}{2}(1-t^2 )-\frac{1}{2\cdot 4} (1-t^2 )^2 \\[6pt]&\quad - \sum_{k=3}^{\infty} \frac{1\cdot 3\cdot 5 \cdots (2k-3)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2k)} (1-t^2 )^k \end{align}\] 은 열린구간 \((-\sqrt{2} ,\, \sqrt{2} )\)이 컴팩트 부분집합 위에서 균등수렴한다. 따라서 위 이항급수는 \([-1,\,1]\)에서 균등수렴한다. \[\begin{align} P_n (t) &:= 1 - \frac{1}{2} (1-t^2 ) - \frac{1}{2\cdot 4} (1-t^2 )^2 \\[6pt] &\quad - \sum_{k=3}^{n} \frac{1\cdot 3\cdot 5 \cdots (2k-3)}{2\cdot 4 \cdot 6 \cdots (2k)} (1-t^2 )^k \end{align}\] 이라고 하자. 그러면 자연수 \(N\)이 존재하여 \(n \ge N ,\) \(t\in [-1,\,1]\)일 때마다 \(\left\lvert P_n (t) - |t| \right\rvert < \epsilon\)이 성립한다. \(x\in X\)가 임의로 주어졌다고 하자. 그리고 \[g_n (x) := P_n \left( \frac{f(x)}{M} \right)\] 라고 하자. \(\mathcal{A}\)가 대수이고 상수함수를 원소로 가지므로 \(g_n \in\mathcal{A}\)이다. \(t := f(x)/M\)이라고 하면 \(M = \lVert f \rVert > 0\)이므로 \(t\in [-1,\,1]\)이다. 따라서 \(n\ge N ,\) \(x\in X\)일 때마다 \[\left\lvert g_n (x) - \left\lvert \frac{f(x)}{M} \right\rvert \right\rvert = \left\lvert P_n (t) - |t| \right\rvert < \epsilon\] 이 성립한다. 그러므로 \(Mg_n \in\mathcal{A}\)이고, \(n\,\to\,\infty\)일 때 \(Mg_n \,\rightrightarrows \, |f|\)이다.
그런데 \(\mathcal{A}\)가 닫힌 집합이므로 \(|f|\in\mathcal{A}\)이다.
정의 3. (점의 분리)
\(\mathcal{A}\)가 \(C(X)\)의 부분집합이라고 하자. 만약 \(x\ne y\)인 임의의 \(x,\,y\in X\)에 대하여 \(f\in\mathcal{A}\)가 존재하여 \(f(x) \ne f(y)\)를 만족시키면 \(\mathcal{A}\)는 \(X\)의 점을 분리시킨다(separate points of X)고 말한다.
이제 바이어슈트라스의 근사 정리를 일반화한 다음 정리를 증명하자.
정리 1. (스톤-바이어슈트라스 정리; Stone-Weierstrass theorem)
\(X\)가 컴팩트 거리공간이라고 하자. \(\mathcal{A}\)가 \(C(X)\)의 대수이고 \(X\)의 점을 분리시키며 상수함수를 원소로 가지면 \(\mathcal{A}\)는 \(C(X)\)에서 균등조밀하다.
증명
\(X\)의 서로 다른 점 \(x,\) \(y\)가 주어졌다고 하자. 그리고 \(a,\) \(b\)가 실수라고 하자. \(\mathcal{A}\)가 \(X\)의 점을 분리시키므로 \(g(x) \ne g(y)\)인 함수 \(g\in\mathcal{A}\)가 존재한다. \(\mathcal{A}\)가 상수함수를 원소로 가지므로 함숫값이 \(g(x)\)와 같은 상수함수와 함숫값이 \(g(y)\)와 같은 상수함수를 원소로 가진다. 더욱이 \(\mathcal{A}\)가 대수이므로 \[f(t) := a \frac{g(t) - g(y)}{g(x) - g(y)} + b \frac{g(t) - g(x)}{g(y) - g(x)}\] 로 정의된 함수 \(f\)에 대하여 \(f\in\mathcal{A}\)이다. 또한 \(f(x) = a,\) \(f(y) = b\)이므로 다음이 증명되었다:
보조정리 2.
\(x,\,y\in X\)이고 \(x \ne y\)이며 \(a,\,b\in\mathbb{R}\)이면 \(f(x) =a,\) \(f(y)=b\)인 \(f\in\mathcal{A}\)가 존재한다.
\(\mathcal{B}\)를 \(\mathcal{A}\)의 폐포(closure), 즉 \(\mathcal{A}\)의 점들로 구성된 함수열의 극한함수들의 모임이라고 하자. \(\mathcal{A}\)가 대수이므로 \(\mathcal{B}\)도 대수이다. \(\mathcal{B}\)는 닫힌집합이므로 보조정리 1에 의하여 임의의 \(f,\) \(g\in\mathcal{B}\)에 대하여 \(f\wedge g\in \mathcal{B}\)이고 \(f\vee g\in \mathcal{B}\)이다.
함수 \(F\in C(X)\)와 양수 \(\epsilon\)이 임의로 주어졌다고 하자. \(G\in\mathcal{B}\)가 존재하여 임의의 \(x\in X\)에 대하여 \[F(x) - \epsilon < G(x) < F(x) + \epsilon \tag{1}\] 을 만족시킴을 보여야 한다.
\(x_0 \in X\)라고 하자. \(y\ne x_0\)인 각 점 \(y\)에 대하여, 보조정리 2에 의하여 \(f_y \in \mathcal{A}\)가 존재하여 \[f_y (x_0 ) = F(x_0 ) ,\, f_y (y) = F(y)\] 를 만족시킨다. \(f_y\)와 \(F\)가 연속함수이므로 \[V_y := \left\{ x\in X \,\vert\, f_y (x) < F(x) + \epsilon \right\}\] 은 열린 집합이다. 임의의 \(y\in X\)에 대하여 \(x_0 \in V_y ,\) \(y\in V_y \)이므로 \[X = \bigcup_{y\ne x_0} V_y\] 가 성립한다. \(X\)가 컴팩트 집합이므로 \(X\)의 점 \(y_1 ,\) \(y_2 ,\) \(\cdots ,\) \(y_N\)이 존재하여 \[X = V_{y_1} \cup V_{y_2} \cup \cdots \cup V_{y_N}\] 을 만족시킨다. \(f_j := f_{y_j}\)이고 \[g_{x_0} = f_1 \wedge f_2 \wedge \cdots \wedge f_N\] 이라고 하자. 그러면 \(g_{x_0}\in \mathcal{B}\)이며 \[g_{x_0} (x_0 ) = F(x_0 ) \wedge F(x_0 ) \wedge \cdots \wedge F(X_0 ) = F(x_0 )\] 이다. 임의의 \(x\in X\)에 대하여 \(N\) 이하의 자연수 \(k\)가 존재하여 \(x\in V_{y_k}\)이므로 \[g_{x_0} (x) \le f_k (x) < F(x) + \epsilon \tag{2}\] 이 성립한다. 이로써 (1)의 오른쪽 부등식이 증명되었다. \[W_{x_j} := \left\{ x\in X \,\vert\, g_{x_j} (x) > F(x) - \epsilon \right\}\] 이라고 하고 \(X\)를 덮는 유한 열린덮개 \[\left\{W_{x_j} \,\vert\, j =1 ,\,2,\,\cdots,\,M \right\}\] 을 이용하여 위 논의를 반복하자. \[g_j := g_{x_j} ,\quad \, G := g_1 \vee g_2 \vee \cdots \vee g_M\] 이라고 하자. 그러면 (2)에 의하여 임의의 \(x\in X\)에 대하여 \(G(x) < F(x) + \epsilon\)이 성립한다. 그런데 임의의 \(x\in X\)에 대하여 \(j\)가 존재하여 \(x\in W_{x_j}\)이므로 임의의 \(x\in X\)에 대하여 \[G(x) \ge g_j (x) \ge F(x) - \epsilon\] 이 성립한다. 따라서 임의의 \(x\in X\)에 대하여 (1)이 성립한다.
참고. 만약 \(C(X)\)가 \(X\)에서 연속인 복소함수들의 모임이고 \(\mathcal{A}\)가 \(C(X)\)의 복소함수 대수이면 정리 1은 성립하지 않는다. 그러나 만약 임의의 \(f\in\mathcal{A}\)에 대하여 켤레복소함수가 \(\mathcal{A}\)에 속한다는 조건, 즉 \(\overline{f} \in\mathcal{A}\)라는 조건이 추가되면 정리 1과 같은 결론을 얻을 수 있다.
증명
\(\mathcal{A}\)에 속하는 실함수들의 모임을 \(\mathcal{A}_{\mathbb{R}}\)라고 하자. 만약 \(x_1 \ne x_2\)이면 \(f(x_1 ) =1,\) \(f(x_2 ) =0\)인 함수 \(f\in\mathcal{A}\)가 존재한다. \(u\)와 \(v\)가 실함수이고 \(f = u + \mathbf{i} v\)라고 하면 \[u = \frac{f+\overline{f}}{2} \in\mathcal{A}\] 이다. 따라서 \(0 = u(x_2 ) \ne u(x_1 ) = 1\)이므로 \(\mathcal{A}_{\mathbb{R}}\)는 \(X\)의 점을 분리시킨다. 또한 명백히 \(\mathcal{A}_{\mathbb{R}}\)는 모든 상수함수를 원소로 가진다.
\(\mathcal{A}_{\mathbb{R}}\)가 정리 1의 가정을 모두 만족시키므로 \(\mathcal{A}_{\mathbb{R}}\)는 \(C(X)\)에서 균등조밀하다. 만약 \(\phi\)가 \(X\)에서 연속인 복소함수이면 \(\phi\)의 실수부와 허수부는 각각 \(C(X)\)에 속하는 실함수이므로 \(\phi\)의 실수부에 수렴하는 \(\mathcal{A}_{\mathbb{R}}\)의 함수열과 \(\phi\)의 허수부에 수렴하는 \(\mathcal{A}_{\mathbb{R}}\)의 함수열을 구성할 수 있다.
따라서 \(\mathcal{A}\)는 \(C(X)\)에서 균등조밀하다.