복소평면과 복소수의 극형식 (유제 해설)

해설. (1) 복소평면에서 \(-z\)가 나타내는 점은 \(z\)가 나타내는 점을 원점에 대하여 대칭이동한 점이다.

(2) 복소평면에서 \(\overline{z}\)가 나타내는 점은 \(z\)가 나타내는 점을 \(x\)축에 대하여 대칭이동한 점이다.

해설. \(z = 2+\complexI\)라고 하면 \(\overline{z} = 2-\complexI\)이다. 그러므로 \[\begin{aligned} \rpart \left(z^n - \left( \overline{z} \right)^n \right) &= \rpart \left(z^n - \overline{z^n} \right) \\[6pt] &= \frac{1}{2} \left\{ \left(z^n - \overline{z^n}\right) + \overline{\left(z^n - \overline{z^n}\right)} \right\} \\[6pt] &= \frac{1}{2} \left\{ z^n - \overline{z^n} + \overline{z^n} - z^n \right\} \\[6pt] &=0. \end{aligned}\]

참고. \(p\)와 \(q\)가 정수이고 \(z = p + q \complexI\)라고 하자. 이때 \(z^n\)이 순허수가 되도록 하는 자연수 \(n\)이 존재하기 위한 필요충분조건은 점 \((p,\,\,q)\)가 네 직선 \(x=0 ,\) \(y=0 ,\) \(y=x ,\) \(y=-x\) 중 하나 이상의 위에 놓여 있는 것이다.

해설. 주어진 복소수가 실수가 되기 위한 필요충분조건은 그 복소수의 허수부분이 \(0\)인 것이다. 그러므로 \[\ipart\left( z+\frac{1}{z} \right) =0\] 이 되기 위한 조건을 찾자. \[\begin{aligned} \ipart\left( z+\frac{1}{z} \right) &= \ipart(z) + \ipart \left( \frac{1}{z} \right) \\[6pt] &= \ipart(z) - \frac{1}{\lvert z \rvert^2} \ipart(z) \\[6pt] &= \ipart(z) \left( 1- \frac{1}{\lvert z \rvert^2} \right) \end{aligned}\] 이며, \(\ipart(z) \ne 0\)이므로, 위 식의 값이 \(0\)이 되기 위한 필요충분조건은 \[1-\frac{1}{\lvert z \rvert^2 } =0\] 이다. 즉 문제의 복소수가 실수가 되기 위한 필요충분조건은 \[\lvert z \rvert = 1\] 이다. 이 조건을 기하학적으로 표현하면, 복소평면에서 \(z\)가 나타내는 점이 중심이 원점인 단위원 위에 놓여 있는 것이다.

해설. \(z=1\)일 때 \[\begin{aligned} 0 &= \ipart\left( \alpha z + \beta \overline{z} \right) \\[6pt] &= \ipart\left( \alpha + \beta \right) \\[6pt] &= -\frac{\complexI}{2} \left\{ (\alpha + \beta ) - \overline{(\alpha + \beta)} \right\} \end{aligned}\] 이므로 \[ \alpha + \beta = \overline{\alpha} + \overline{\beta} \tag{a}\] 이다. 또한 \(z=\complexI\)일 때 \[\begin{aligned} 0 &= \ipart\left( \alpha z + \beta \overline{z} \right) \\[6pt] &= \ipart\left( \alpha \complexI - \beta \complexI \right) \\[6pt] &= -\frac{\complexI}{2} \left\{ (\alpha \complexI - \beta \complexI ) - \overline{(\alpha \complexI - \beta \complexI)} \right\} \\[6pt] &= -\frac{\complexI}{2} \left\{ (\alpha \complexI - \beta \complexI ) + \complexI \left( \overline{\alpha} - \overline{\beta} \right) \right\} \end{aligned}\] 이므로 \[ \alpha - \beta = - \overline{\alpha} + \overline{\beta} \tag{b}\] 이다. (a)와 (b)를 변마다 더하여 풀면 \[2\alpha = 2\overline{\beta}\] 즉 \(\alpha = \overline{\beta}\)를 얻는다.

다른 방법. \(\alpha = a+b\complexI ,\) \(\beta = c+d\complexI ,\) \(z = x+y\complexI \)라고 하자. (단, \(a,\) \(b,\) \(c,\) \(d,\) \(x,\) \(y\)는 모두 실수이다.) 그러면 임의의 실수 \(x,\) \(y\)에 대하여 다음 식의 값이 실수여야 한다. \[ (a+b\complexI ) (x+y\complexI ) + (c+d\complexI )(x-y\complexI ) \] 위 식을 풀면 \[(ax-by+cx+dy) + \complexI (ay+bx+dx-cy )\] 이므로, 임의의 실수 \(x,\) \(y\)에 대하여 \[ay+bx+dx-cy = 0\] 즉 \[(b+d)x + (a-c)y = 0\] 이 성립해야 한다. 따라서 다음 연립방정식을 얻는다. \[\left\{ \begin{array}{l} b+d = 0 \\[6pt] a-c = 0 \end{array} \right.\] 이 연립방정식을 풀면 \(b=-d,\) \(a=c\)를 얻는다. 그러므로 \[ \alpha = a+d\complexI = c-d\complexI = \overline{\beta} \] 이다.

해설. (1) \(\lvert w \rvert = \sqrt{3^2 + 4^2} \times \sqrt{2^2 + 7^2} = \sqrt{9+16} \sqrt{4+49} = \sqrt{25} \sqrt{53} = 5 \sqrt{53}.\)

(2) \(\lvert z \rvert = \sqrt{53}\)이므로 \[\left\lvert z^3 w \right\rvert = \lvert z \rvert^3 \times \lvert w \rvert = \left( \sqrt{53} \right)^3 \times 5\sqrt{53} = 14045.\]

(3) \[\left\lvert \frac{1}{z} \right\rvert = \frac{1}{\lvert z \rvert} = \frac{1}{\sqrt{53}}.\]

(4) \[\left\lvert \frac{1}{zw} \right\rvert = \frac{1}{\lvert z \rvert \lvert w \rvert} = \frac{1}{ 5\sqrt{53} \times \sqrt{53} } = \frac{1}{265}.\]

해설. \(z= a+b\complexI ,\) \(a\in\mathbb{R} ,\) \(b\in\mathbb{R}\)이라고 하자. \[\begin{aligned} \, & \, & \sqrt{2} \lvert z \rvert &\ge \lvert \rpart (z) \rvert + \lvert \ipart (z) \rvert \\[6pt] \, & \Longleftrightarrow &\quad \sqrt{2} \sqrt{a^2 + b^2} &\ge \lvert a \rvert + \lvert b \rvert \\[6pt] \, & \Longleftrightarrow &\quad \left( \sqrt{2} \sqrt{a^2 + b^2} \right)^2 &\ge \left( \lvert a \rvert + \lvert b \rvert \right)^2 \\[6pt] \, & \Longleftrightarrow &\quad 2 \left( a^2 + b^2 \right) &\ge a^2 + 2\lvert a \rvert \lvert b \rvert + b^2 \\[6pt] \, & \Longleftrightarrow &\quad \lvert a \rvert^2 - 2 \lvert a \rvert \lvert b \rvert + \lvert b \rvert^2 &\ge 0 \\[6pt] \, & \Longleftrightarrow &\quad \left( \lvert a \rvert + \lvert b \rvert \right)^2 &\ge 0 . \end{aligned}\] 위 관계식에서 마지막 부등식이 참이므로, 처음 부등식도 참이다.

다른 방법. \(z= a+b\complexI ,\) \(a\in\mathbb{R} ,\) \(b\in\mathbb{R}\)이라고 하자. \(z\ne 0,\) \(a \ge 0, \) \(b\ge 0\)인 경우만 생각해도 충분하다.

\(r = \lvert z \rvert ,\) \(z = r (\cos\theta + \complexI \sin\theta )\)라고 하자. 그러면 \[\begin{aligned} \lvert \rpart (z) \rvert + \lvert \ipart (z) \rvert &= a+b \\[6pt] &= r\cos\theta + r\sin\theta \\[6pt] &= r ( \cos\theta + \sin \theta ) \\[6pt] &= \sqrt{2} r \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \cos\theta + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin\theta \right) \\[6pt] &= \sqrt{2} r \left( \sin \frac{\pi}{4} \cos\theta + \cos \frac{\pi}{4} \sin\theta \right) \\[6pt] &= \sqrt{2} r \sin\left( \frac{\pi}{4} +\theta \right ) \\[6pt] &\le \sqrt{2} r = \sqrt{2} \lvert z \rvert . \end{aligned}\]

해설. 문제의 등식의 좌변을 풀면 다음과 같다. \[\begin{aligned} \left\lvert 1+\overline{z} w \right\rvert^2 + \left\lvert z-w \right\rvert^2 &= \left( 1+ \overline{z} w \right) \overline{ \left( 1+\overline{z} w \right) } + \left( z-w \right) \overline{ \left( z-w \right) } \\[6pt] &= \left( 1+ \overline{z} w \right) \left( 1+ z \overline{w} \right) + \left( z-w \right) \left( \overline{z}-\overline{w} \right) \\[6pt] &= 1 + \overline{z} w + z\overline{w} + \overline{z} w z \overline{w} + z\overline{z} - z\overline{w} - w\overline{z} + w\overline{w} \\[6pt] &= 1 + \overline{z} z \overline{w} w + z\overline{z} + w\overline{w} \\[6pt] &= 1 + \lvert z \rvert^2 \lvert w \rvert^2 + \lvert z \rvert^2 + \lvert w \rvert^2 \\[6pt] &= \left( 1+ \lvert z \rvert^2 \right) \left( 1+ \lvert w \rvert ^2 \right). \end{aligned}\]

해설. (1) \(\left\lvert z_1 - z_2 \right\rvert = \sqrt{ (2+4)^2 + (5-1)^2 } = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}.\)

(2) \(\left\lvert z_1 - z_2 \right\rvert = \sqrt{ (3+2)^2 + (-4-1)^2 } = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}.\)

해설. \(u = z+\complexI \)라고 하면 \(u\)는 실수부가 \(z\)이고 허수부가 \(1\)인 복소수이며 \[w = \frac{\overline{u}}{u}\] 이다. 이때 \[\lvert w \rvert = \left\lvert \frac{\overline{u}}{u} \right\rvert = \frac{\left\lvert \overline{u} \right\rvert}{ \lvert u \rvert} = \frac{\lvert u \rvert}{\lvert u \rvert} = 1\] 이므로, \(w\)는 복소평면에서 단위원 위에 놓인 점이다.

한편 \(u\)의 편각을 \(\theta\)라고 두면 \(\overline{u}\)의 편각은 \(-\theta\)이다. \(z\)가 실수축 위를 움직일 때 \(\theta\)의 범위는 \(0 < \theta < \pi\)이고, \[\Arg (w) = \Arg\left( \frac{\overline{u}}{u}\right) = \Arg\left( \overline{u} \right) - \Arg(u) = -\theta -\theta = - 2\theta\] 이다. 그러므로 \(w\)의 편각의 범위는 \[-2 \pi < -2 \theta < 0\] 이다. 따라서 \(w\)의 편각은 \(0\)을 제외한 모든 값을 가질 수 있다. 그러므로 \(w\)는 복소평면에서 단위원 위에 놓인 점이며, \(1\)을 제외한 점이다. 즉 \(w\)의 자취의 방정식은 \[\lvert w \rvert = 1 ,\quad w \ne 1\] 이다.

다른 방법. \(x,\) \(y\)가 실수이고 \(w = x+y\complexI\)라고 하자. 그러면 문제에서 주어진 등식은 다음과 같다. \[x+y\complexI = \frac{z-\complexI}{z+\complexI}.\] \(z\)가 실수일 때, 위 식의 우변을 변형하여 실수부와 허수부를 분리하면 다음과 같다. \[x+y\complexI = \frac{z^2 -1}{z^2 +1} + \frac{-2z}{z^2 +1} \complexI.\] 그러므로 \(x\)와 \(y\)는 다음과 같은 매개변수 \(z\)에 대한 식으로 표현된다. \[x=\frac{z^2 -1}{z^2 +1} ,\quad y= \frac{-2z}{z^2 +1} .\tag{a}\] 여기서 첫 번째 등식을 변형하여 \(x\)를 \(z\)에 대한 식으로 나타내자. \[\begin{aligned} x &= \frac{z^2 +1 -2}{z^2 +1} = 1- \frac{2}{z^2 +1} ,\\[6pt] x-1 &= - \frac{2}{z^2 +1} , \\[6pt] z^2 +1 &= - \frac{2}{x-1} , \\[6pt] z^2 &= \frac{2}{1-x} -1 = \frac{1+x}{1-x} \quad ( -1 \le x < 1 ) ,\\[6pt] z &= \pm\sqrt{ \frac{1+x}{1-x} } \quad (-1 \le x < 1 ). \end{aligned}\] 여기서 구한 \(z^2\)과 \(z\)를 (a)의 두 번대 등식에 대입하면 다음과 같다. \[\begin{aligned} y &= \pm 2 \sqrt{ \frac{1+x}{1-x}} \times \frac{x-1}{2} \\[6pt] &= \mp \sqrt{ (1+x)(1-x) } \\[6pt] &= \mp \sqrt{1-x^2} \quad (-1 \le x < 1 ). \end{aligned}\] 그러므로 복소평면에서 \(x+y\complexI\)가 나타내는 자취는 중심이 원점인 단위원이며, 한 점 \(1\)만 제외된다.

해설. (1) 삼각부등식에 의하여 다음을 얻는다. \[\begin{aligned} \left\lvert z_1 - z_2 \right\rvert &= \left\lvert z_1 + \left( -z_2 \right) \right\rvert \\[6pt] &\le \left\lvert z_1 \right\rvert + \left\lvert -z_2 \right\rvert \\[6pt] &= \left\lvert z_1 \right\rvert + \left\lvert z_2 \right\rvert . \end{aligned}\]

(2) 삼각부등식에 의하여 다음을 얻는다. \[\begin{aligned} \left\lvert z_1 \right\rvert &= \left\lvert \left( z_1 - z_2 \right) + z_2 \right\rvert \\[6pt] &\le \left\lvert z_1 - z_2 \right\rvert + \left\lvert z_2 \right\rvert . \end{aligned}\] 부등식의 양변에서 \(\left\lvert z_2 \right\rvert\)를 빼면 바라는 부등식을 얻는다.

(3) 삼각부등식에 의하여 다음을 얻는다. \[\begin{aligned} \left\lvert z_1 + z_2 + z_3 \right\rvert &= \left\lvert z_1 + \left( z_2 + z_3 \right) \right\rvert \\[6pt] &\le \left\lvert z_1 \right\rvert + \left\lvert z_2 + z_3 \right\rvert \\[6pt] &\le \left\lvert z_1 \right\rvert + \left\lvert z_2 \right\rvert + \left\lvert z_3 \right\rvert . \end{aligned}\]

해설. (1) \(\lvert z \rvert = 1\)일 때 \[\left\lvert z^2 +z+1 \right\rvert \le \left\lvert z \right\rvert^2 + \lvert z \rvert + \lvert 1 \rvert = 1+1+1 = 3\] 이다. 또한 \(z=1\)일 때 \[\left\lvert z^2 +z+1 \right\rvert = \lvert 1+1+1 \rvert = 3\] 이다. 그러므로 구하는 최댓값은 \(3\)이다.

(2) \(\lvert z \rvert = 1\)일 때 \[\left\lvert z^3 - 2 \right\rvert \ge \left\lvert \left\lvert z^3 \right\rvert - \lvert 2 \rvert \right\rvert = \lvert 1-2 \rvert = 1\] 이다. 또한 \(z=1\)일 때 \[\left\lvert z^3 - 2 \right\rvert = \lvert 1-2 \rvert = 1\] 이다. 그러므로 구하는 최솟값은 \(1\)이다.

다른 방법. (1) 등식 \(\lvert z \rvert = 1\)을 다른 방법으로 표현하면 \[z = \cos \theta + \complexI \sin \theta ,\quad \theta \in \mathbb{R}\] 이다. 따라서 \[\begin{aligned} z^2 + z + 1 &= (\cos \theta + \complexI \sin \theta )(\cos \theta + \complexI \sin \theta ) + \cos \theta + \complexI \sin \theta + 1 \\[6pt] &= \left( \cos^2 \theta - \sin^2 \theta + \cos \theta + 1 \right) +\complexI \left( 2\sin\theta \cos\theta + \sin\theta \right) \\[6pt] &= \left( 2\cos^2 \theta + \cos\theta \right) = \complexI \sin\theta (2\cos\theta +1 ) \\[6pt] &= \cos\theta ( 2\cos\theta +1) + \complexI \sin\theta (2\cos\theta +1) \end{aligned}\] 이고, \[\begin{aligned} \left\lvert z^2+z+1 \right\rvert^2 &= \cos^2 \theta (2\cos\theta +1)^2 +\sin^2 \theta (2\cos\theta +1)^2 \\[6pt] &= \left( \cos^2 \theta + \sin^2 \theta \right) (2\cos\theta +1)^2 \\[6pt] &= (2\cos\theta +1)^2 , \\[6pt] \left\lvert z^2+z+1 \right\rvert &= \left\lvert 2\cos\theta +1 \right\rvert \end{aligned}\] 이다. 그런데 \[-2 \le 2\cos\theta \le 2\] 이므로 \[-1 \le 2\cos\theta +1 \le 3\] 즉 \[\left\lvert 2\cos\theta +1 \right\rvert \le 3\] 이다. 여기서 \(\theta = 2k\pi ,\) \(k\in\mathbb{Z}\)일 때 \[\left\lvert 2\cos\theta +1 \right\rvert = 3\] 이 성립한다. 그러므로 구하는 최댓값은 \(3\)이다.

(2) \(z = \cos \theta + \complexI \sin \theta ,\) \(\theta \in \mathbb{R}\)라고 하면 \[z^3 = \cos 3\theta + \complexI \sin 3\theta\] 이므로, \(z^3\) 또한 복소평면에서 단위원 위를 움직이며, 단위원 위의 모든 점을 지난다. 따라서 \[\left\lvert z^3 - 2 \right\rvert\] 의 값은 복소평면에서 단위원 위의 점 \(z^3\)과 \(2\) 사이의 거리를 나타낸다. 단위원 위의 점 중에서 \(2\)와 가장 가까운 점은 \(1\)이다. 즉 \(z^3 = 1\)일 때 \[\left\lvert z^3 - 2 \right\rvert = \lvert 1-2 \rvert = 1\] 이며, 이 값이 구하는 최솟값이다.

해설. 주어진 부등식을 변형하면 다음과 같다. \[\begin{aligned} \left\lvert 2z-3 \right\rvert & \le \left\lvert 2z+2 \right\rvert , \\[6pt] \left\lvert z- \frac{3}{2} \right\rvert & \le \left\lvert z+1 \right\rvert . \end{aligned}\] 이 부등식의 경계는 두 점 \(\frac{3}{2}\)과 \(-1\)로부터 거리가 같은 점들의 모임이므로, 직선 \(x = \frac{1}{4}\)이다. 이 경계를 포함하여, \(\frac{3}{2}\)에 더 가까운 점들의 모임, 즉 복소평면에서 오른쪽 영역이 구하는 영역이다.

해설. 문제의 부등식을 다음과 같이 두 개의 부등식을 연립한 것으로 나타내자. \[\begin{align} \lvert z \rvert & \le 3 , \tag{b} \\[6pt] 3 & \le \left\lvert \frac{3z-5}{z-\complexI} \right\rvert . \tag{c} \end{align}\] 우선 (b)는 중심이 원점이고 반지름의 길이가 \(3\)인 원의 내부와 경계를 포함하는 영역이다.

다음으로 (c)를 변형하자. \[\begin{aligned} \lvert 3z-3\complexI \rvert \le \lvert 3z-5 \rvert ,\\[6pt] \left\lvert z- \complexI \right\rvert \le \left\lvert z- \frac{5}{3} \right\rvert \end{aligned}\] 이므로, (c)는 점 \(\complexI\)와 \(\frac{5}{3}\)를 잇는 선분의 수직이등분선을 경계로 하고, 왼쪽 윗부분과 경계선을 포함하는 영역이다.

끝으로 (a)는 (b)와 (c)의 공통영역(교집합)이다.

해설. (1) \[ z = 2 \left( - \cos \frac{\pi}{4} - \complexI \sin \frac{\pi}{4} \right) = 2 \left( \cos \frac{5 \pi}{4} + \complexI \sin \frac{5 \pi}{4} \right) . \]

(2) \[ z = \cos\left( \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{13} \right) + \complexI \sin\left( \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{13} \right) = \cos \frac{11 \pi}{26} + \complexI \sin\frac{11 \pi}{26} . \]

해설. (1) 복소평면에서 \(z_1\)이 나타내는 점을 \(\mathrm{A}\)이라고 하고 \(z_2\)가 나타내는 점을 \(\mathrm{B}\)라고 하며, \(z_1 + z_2\)가 나타내는 점을 \(\mathrm{C}\)라고 하자.

그러면 \(\theta \ne 0\)일 때 사각형 \(\mathrm{AOBC}\)는 마름모이다. 마름모의 두 대각선은 서로 수직이등분하므로 \[\angle\mathrm{BOC} = \frac{\theta}{2}\] 이다. 그러므로 \[\left\lvert z_1 + z_2 \right\rvert = \overline{ \mathrm{OC} } = 2\cos\frac{\theta}{2}\] 이며, \[\Arg\left(z_1 + z_2 \right) = \frac{3}{2}\theta\] 이다. \(\theta = 0\)일 때도 \(z_1 + z_2\)의 절댓값과 편각은 동일하게 표현된다.

(2) 앞에서와 마찬가지로 점 \(\mathrm{A},\) \(\mathrm{B}\)를 정하자. 그러면 복소수 \(z_1 - z_2\)가 나타내는 벡터는 벡터 \(\overrightarrow{\mathrm{BA}}\)와 같다. 이 벡터의 크기는 선분 \(\mathrm{AB}\)의 길이와 같다. 그런데 삼각형 \(\mathrm{AOB}\)에서 사인 법칙을 사용하면 다음을 얻는다. \[\frac{\overline{\mathrm{AB}}}{\sin\theta} = \frac{1}{\sin\frac{\pi-\theta}{2}}.\] 그러므로 \[\overline{\mathrm{AB}} = \frac{\sin\theta}{\sin\left( \frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2} \right)} = \frac{ 2\sin \frac{\theta}{2} \cos\frac{\theta}{2} }{\cos\frac{\theta}{2}} = 2\sin \frac{\theta}{2}.\] 한편 \(z_1 - z_2\)의 편각은 \[\theta + \angle\mathrm{BAO} = \theta + \frac{\pi - \theta}{2} = \frac{\pi + \theta}{2}\] 이다.

해설. 우선 \[\begin{aligned} \beta - \alpha &= -\complexI = \cos \frac{3}{2}\pi + \complexI \sin \frac{3}{2}\pi , \\[6pt] \gamma - \alpha &= 3+3\complexI = 3\sqrt{2} \left( \cos\frac{\pi}{4} + \complexI \sin\frac{\pi}{4}\right) \end{aligned}\] 이다. 그러므로 \[\begin{aligned} z &= \frac{\beta - \alpha}{\gamma - \alpha} \\[6pt] &= \frac{1}{3\sqrt{2}}\left( \cos\left( \frac{3}{2}\pi - \frac{\pi}{4} \right) + \complexI \sin \left( \frac{3}{2}\pi - \frac{\pi}{4} \right) \right) \\[6pt] &= \frac{\sqrt{2}}{6} \left( \cos\frac{5}{4}\pi + \complexI \sin \frac{5}{4}\pi \right) \end{aligned}\] 이다.

해설. \(\frac{z_2}{z_1}\)의 편각이 \(\frac{\pi}{2}\)이고 \(z_1\)의 절댓값과 \(z_2\)의 절댓값이 같으므로 \[z_2 = \complexI z_1\] 이다. 이 식으로부터 다음 식을 얻는다. \[\begin{aligned} \sqrt{3} b-1 + \left( \sqrt{3} -b \right) \complexI &= \complexI \left( 2-\sqrt{3} a + a\complexI \right) , \\[6pt] \sqrt{3} b-1 + \left( \sqrt{3} -b \right) \complexI &= -a + \left( 2-\sqrt{3} a\right)\complexI \end{aligned}\] 여기서 실수부분과 허수부분을 비교하면 다음과 같은 연립방정식을 얻는다. \[\left\{ \begin{array}{l} \sqrt{3} b-1 =-a \\[6pt] \sqrt{3} -b = 2-\sqrt{3} a \end{array} \right.\] 조심스럽게 이 연립방정식을 풀면 다음을 얻는다. \[a=\frac{\sqrt{3}-1}{2} ,\quad b=\frac{\sqrt{3}-1}{2}.\] (꼭 손으로 직접 풀어보세요.)

해설. (1) \[\begin{aligned} z &= \frac{ ( 1+\sqrt{3}\complexI ) ( 1-\complexI ) }{ ( 1+\complexI )( 1-\complexI ) } \\[6pt] &= \frac{ 1+\sqrt{3} + (\sqrt{3} - 1 )\complexI }{ 2 } \\[6pt] &= \frac{ 1+\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3} - 1 }{2} \complexI . \\[6pt] \end{aligned}\]

(2) \[\begin{aligned} 1+\sqrt{3}\complexI &= 2\left( \cos\frac{\pi}{3} + \complexI \sin\frac{\pi}{3} \right) ,\\[6pt] 1+\complexI &= \sqrt{2} \left( \cos\frac{\pi}{4} + \complexI \sin\frac{\pi}{4} \right) . \end{aligned}\]

(3) \(z\)를 극형식으로 나타내면 다음과 같다. \[z = \frac{1+\sqrt{3} \complexI}{1+\complexI} = \sqrt{2} \left( \cos\frac{\pi}{12} + \complexI \sin\frac{\pi}{12} \right).\] 그러므로 \[\begin{aligned} \cos\frac{\pi}{12} &= \frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} , \\[6pt] \sin\frac{\pi}{12} &= \frac{\sqrt{3} -1}{2\sqrt{2}} . \end{aligned}\]

해설. 복소수 \(-1+\complexI\)의 편각이 \(\frac{3}{4}\pi\)이므로, \[w = (-1+\complexI) \times \frac{z-1}{z+1}\] 이 음의 실수가 되려면 복소수 \[\frac{z-1}{z+1}\] 의 편각이 \(\frac{\pi}{4}\)가 되어야 한다. 한편 \[z-1 = \overrightarrow{\mathrm{QR}} ,\quad z+1 = \overrightarrow{\mathrm{PR}} \] 이므로, 삼각형 \(\mathrm{RPQ}\)에서 \[\angle\mathrm{PRQ} = \left\lvert \Arg(z-1) - \Arg(z+1) \right\rvert = \frac{\pi}{4}\] 이다. (복소평면에 삼각형 \(\mathrm{RPQ}\)의 그림을 그려 보자.)

해설. (1) 극형식을 사용하자. \[ \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{6}\complexI = \frac{1}{\sqrt{3}} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}\complexI \right) = \frac{1}{\sqrt{3}} \left( \cos\frac{\pi}{6} + \complexI \sin\frac{\pi}{6} \right)\] 이므로 \[\begin{aligned} z^{-12} &= \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^{-12} \left( \cos\frac{-12\pi}{6} + \complexI \sin\frac{-12\pi}{6} \right) \\[6pt] &= 3^6 \left( \cos 0 + \complexI \sin 0 \right) = 3^6 . \end{aligned}\]

(2) \[\begin{aligned} w &= (1-\complexI )^{-5} \\[6pt] &= \left[ \sqrt{2} \left\{ \cos\left( - \frac{\pi}{4} \right) +\complexI \sin \left( - \frac{\pi}{4} \right) \right\} \right]^{-5} \\[6pt] &= \frac{1}{4\sqrt{2}} \left( \cos \frac{5\pi}{4} + \complexI \sin \frac{5\pi}{4} \right) \\[6pt] &= \frac{1}{4\sqrt{2}} \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} \complexI \right) \\[6pt] &= - \frac{1}{8} - \frac{1}{8}\complexI . \end{aligned}\]

해설. \(\omega\)는 다음 방정식의 허근이다. \[z^{14} = 1.\] 특히 위 방정식의 모든 근은 다음과 같다. \[1,\,\, \omega ,\,\, \omega^2 ,\,\, \omega^3 ,\,\, \cdots ,\,\, \omega^{13} .\] 그러므로 \[(z-1)(z-\omega )(z-\omega^2) \cdots (z-\omega^{13}) = z^{14}-1 \] 이다. \(\omega^7 = -1\)이라는 사실을 사용하여 위 식의 좌변을 변형하면 \[ ( z+\omega^7 )( z+\omega^8 ) \cdots ( z+\omega^{13} )( z + \omega^{14} ) \cdots ( z+\omega^{20} ) = z^{14}-1\] 즉 \[ ( z+\omega^7 )( z+\omega^8 ) \cdots ( z+\omega^{13} )( z + 1 ) \cdots ( z+\omega^{6} ) = z^{14}-1\] 이다. 이 식에 \(z=2\)를 대입하면 \[ ( 2+\omega^7 )( 2+\omega^8 ) \cdots ( 2+\omega^{13} ) \times 2 \times ( 2+\omega^1 ) \cdots ( 2+\omega^6 ) = 2^{14}-1\] 이므로 \[ ( 2+\omega )( 2+\omega^2 )\cdots ( 2+\omega^{13} ) = \frac{1}{2} (2^{14} -1 ) = \frac{16383}{2} . \] 이다.

해설. \(8\complexI\)를 극형식으로 나타내면 \[8\complexI = 8 \left( \cos\frac{\pi}{2} + \complexI \sin\frac{\pi}{2} \right)\] 이므로 \(8\complexI\)의 \(6\)제곱근은 다음과 같다. \[\sqrt{2} \left\{ \cos \left( \frac{\pi}{12} + \frac{2k\pi}{6} \right) + \complexI \sin \left( \frac{\pi}{12} + \frac{2k\pi}{6} \right) \right\} \quad (k=0,\,\,1,\,\,2,\,\,3,\,\,4,\,\,5.)\]

해설. \(-128 (1+\sqrt{3} \complexI )\)를 극형식으로 나타내면 \[-128 ( 1+\sqrt{3} \complexI ) = 256 \left( \cos\frac{4\pi}{3} + \complexI\sin\frac{4\pi}{3} \right)\] 이므로 \(-128 (1+\sqrt{3} \complexI )\)의 \(8\)제곱근은 다음과 같다. \[ 2 \left\{ \cos\left( \frac{\pi}{6} + \frac{2k\pi}{8} \right) + \complexI \sin\left( \frac{\pi}{6} + \frac{2k\pi}{8} \right) \right\} \quad (k=0,\,\,1,\,\,2,\,\,\cdots,\,\,7.) \]