선형변환과 행렬의 관계 ($K^n$ 공간)

벡터공간 $K^{n},$ $K^{m}$ 사이에서 정의된 선형변환과 $m \times n$ 행렬의 관계를 살펴보자.

$K$ 가 체(field)이고 $n$ 과 $m$ 이 양의 정수라고 하자. 모든 성분이 $K$ 에 속하는 $m \times n$ 행렬들의 모임을 ${Mat}_{m \times n} (K)$ 로 나타낸다. 또한 정의역이 $K^{n}$ 이고 공역이 $K^{m}$ 인 선형변환들의 모임을 $Hom (K^{n}, K^{m})$ 으로 나타낸다. [여기서 $K^{n}$ 과 $K^{m}$ 은 통상적인 벡터 합과 스칼라 곱이 주어진 벡터공간이다.]

스칼라 $k \in K$ 와 $m \times n$ 행렬 $A = (a_{i j})_{m \times n}$ , $B = (b_{i j})_{m \times n}$ 에 대하여 스칼라곱 $k A$ 와 합 $A + B$ 를 각각 $\begin{matrix} k A = (k a_{i j})_{m \times n}, \\ A + B = (a_{i j} + b_{i j})_{m \times n} \end{matrix}$ 로 정의하면 ${Mat}_{m \times n} (K)$ 는 $K$ 위에서 정의된 벡터공간이다. 마찬가지로 스칼라 $k \in K$ 와 $K^{n}$ 으로부터 $K^{m}$ 으로의 선형변환 $T_{1},$ $T_{2}$ 에 대하여 스칼라곱 $k T_{1}$ 과 합 $T_{1} + T_{2}$ 를 각각 $\begin{matrix} \forall x \in K^{n} : (k T_{1}) (x) = k (T_{1} (x)), \\ \forall x \in K^{n} : (T_{1} + T_{2}) (x) = T_{1} (x) + T_{2} (x) \end{matrix}$ 를 만족시키는 함수로 정의하면 $Hom (K^{n}, K^{m})$ 는 $K$ 위에서 정의된 벡터공간이다.

이제 이 두 공간 ${Mat}_{m \times n} (K)$ 와 $Hom (K^{n}, K^{m})$ 가 동형인 벡터공간임을 보이자.

정리 1. 두 벡터공간 ${Mat}_{m \times n} (K)$ 와 $Hom (K^{n}, K^{m})$ 은 동형이다.

두 벡터공간이 동형임을 보이려면 두 공간 사이에 정의된 동형사싱이 존재함을 보여야 한다. 벡터공간의 동형사상이란 일대일대응(one-to-one이면서 onto)인 선형변환(linear transformation)이어야 한다.

1단계. 두 공간 사이의 함수 $ϕ$ 를 정의하자.

$m \times n$ 행렬 $A$ 에 대하여 선형변환 $T_{A} : K^{n} \to K^{m}$ 을 다음과 같이 정의한다. $\forall x \in K^{n} : T_{A} (x) = A x .$ 즉 $T_{A}$ 는 $K^{n}$ 의 벡터 $x$ 의 왼쪽에 행렬 $A$ 를 곱한 결과를 함숫값으로 취하는 함수이다. 여기서 $x$ 는 $K^{n}$ 의 원소(벡터)를 $n \times 1$ 행렬로 나타낸 열벡터이다. 이제 함수 $ϕ : {Mat}_{m \times n} (K) \to Hom (K^{n}, K^{m})$ 를 다음과 같이 정의하자. $\forall A \in {Mat}_{m \times n} (K) : ϕ (A) = T_{A} .$ 이 함수가 바로 우리가 바라는 동형사상임을 보이자.

2단계. $ϕ$ 는 잘 정의된 함수이다.

각 행렬 $A \in {Mat}_{m \times n} (K)$ 와 $n \times 1$ 행렬 $x$ 의 곱 $A x$ 는 행렬의 곱의 정의에 의하여 잘 정의되며, 곱한 결과는 $m \times 1$ 행렬이 된다. 또한 스칼라 $k \in K$ 와 두 벡터 $x_{1} \in K^{n},$ $x_{2} \in K^{n}$ 에 대하여 $\begin{matrix} T_{A} (k x_{1}) = A (k x_{1}) = k (A x_{1}) = k T_{A} (x_{1}), \\ T_{A} (x_{1} + x_{2}) = A (x_{1} + x_{2}) = A x_{1} + A x_{2} = T_{A} (x_{1}) + T_{A} (x_{2}) \end{matrix}$ 이므로 $T_{A}$ 는 선형변환이다. 즉 $ϕ$ 는 ${Mat}_{m \times n} (K)$ 의 원소를 $Hom (K^{n}, K^{m})$ 의 원소에 대응시킨다. 그러므로 $ϕ$ 는 잘 정의된 함수이다.

3단계. $ϕ$ 는 선형변환이다.

스칼라 $k \in K$ 와 행렬 $A \in {Mat}_{m \times n} (K)$ 가 주어졌다고 하자. 그러면 $T_{k A}$ 와 $k T_{A}$ 는 모두 $K^{n}$ 으로부터 $K^{m}$ 으로의 선형변환이다. 또한 임의의 $x \in K^{n}$ 에 대하여 $T_{k A} (x) = (k A) x = k (A x) = k (T_{A} (X)) = (k T_{A}) (x)$ 이다. 즉 정의역 $K^{n}$ 의 모든 원소에 대하여 $T_{k A}$ 와 $k T_{A}$ 의 함숫값이 일치하므로, 이 두 함수는 같은 함수이다. 그러므로 $ϕ (k A) = T_{k A} = k T_{A} = k ϕ (A)$ 이다.

다음으로 두 행렬 $A, B \in {Mat}_{m \times n} (K)$ 가 주어졌다고 하자. 그러면 $T_{A + B}$ 와 $T_{A} + T_{B}$ 는 모두 $K^{n}$ 으로부터 $K^{m}$ 으로의 선형변환이다. 또한 임의의 $x \in K^{n}$ 에 대하여 $T_{A + B} (x) = (A + B) x = A x + B x = T_{A} (x) + T_{B} (x) = (T_{A} + T_{B}) (x)$ 이다. 즉 정의역 $K^{n}$ 의 모든 원소에 대하여 $T_{A + B}$ 와 $T_{A} + T_{B}$ 의 함숫값이 일치하므로, 이 두 함수는 같은 함수이다. 그러므로 $ϕ (A + B) = T_{A + B} = T_{A} + T_{B} = ϕ (A) + ϕ (B)$ 이다. 이로써 $ϕ$ 가 선형임이 증명되었다.

4단계. $ϕ$ 는 일대일 함수(one-to-one function)이다.

서로 다른 두 행렬 $A, B \in {Mat}_{m \times n} (K)$ 가 주어졌다고 하자. $A$ 와 $B$ 가 다른 행렬이므로, 두 행렬의 열(column) 중에서 서로 다른 것이 존재한다. $A$ 와 $B$ 의 $j$ 째 열이 서로 다르다고 하자. 즉 $A^{j} \neq B^{j}$ 라고 하자. [여기서 위첨자 $j$ 는 제곱을 나타내는 것이 아니라 $j$ 째 열을 나타낸다.] $K^{n}$ 의 $j$ 째 표준기저원소를 $e_{j}$ 로 나타내자. 그러면 $T_{A} (e_{j}) = A e_{j} = A^{j} \neq B^{j} = B e_{j} = T_{B} (e_{j})$ 이다. 즉 정의역 $K^{n}$ 의 원소 $e_{j}$ 에 대하여 $T_{A}$ 와 $T_{B}$ 의 함숫값이 다르므로 두 함수는 다른 함수이다. 이로써 $A \neq B$ 일 때 $ϕ (A) = T_{A} \neq T_{B} = ϕ (B)$ 이므로 $ϕ$ 는 일대일 함수이다.

5단계. $ϕ$ 는 위로의 함수(onto)이다.

선형변환 $T \in Hom (K^{n}, K^{m})$ 가 주어졌다고 하자. $T$ 의 표현행렬 $M (T)$ 를 다음과 같이 정의한다. $M (T) = [T (e_{1}) T (e_{2}) \dots T (e_{n})]$ 즉 $M (T)$ 는 $j$ 째 열이 $T (e_{j})$ 와 일치하는 행렬이다. 각 $j$ 에 대하여 $T (e_{j})$ 는 $m \times 1$ 행렬이므로 $M (T)$ 는 $m \times n$ 행렬이다. 즉 $M (T) \in {Mat}_{m \times n} (K)$ 이다. 이때 $M (T)$ 를 왼쪽에 곱하는 연산으로 정의된 함수 $T_{M (T)}$ 는 $K^{n}$ 으로부터 $K^{m}$ 으로의 선형변환이다.

이제 $ϕ (M (T)) = T$ 임을 보이자. 각 $j = 1, 2, \dots, n$ 에 대하여 $T_{M (T)} (e_{j}) = (M (T)) e_{j} = (M (T))^{j}$ 이다. 그런데 $(M (T))^{j}$ 는 행렬 $M (T)$ 의 $j$ 째 열을 나타내며, 이것은 $T (e_{j})$ 와 같다. 즉 $T_{M (T)} (e_{j}) = (M (T)) e_{j} = (M (T))^{j} = T (e_{j})$ 이다. 그런데 $e_{1},$ $e_{2},$ $\dots,$ $e_{n}$ 은 $K^{n}$ 의 기저이므로, 이 벡터들의 함숫값이 일치하는 두 선형변환은 완전히 일치한다. 즉 $T_{M (T)}$ 와 $T$ 는 같은 함수이다.

이로써 임의의 $T \in Hom (K^{n}, K^{m})$ 에 대하여 $M (T) \in {Mat}_{m \times n} (K)$ 가 존재하여 $ϕ (M (T)) = T_{M (T)} = T$ 이므로 $ϕ$ 는 $Hom (K^{n}, K^{m})$ 위로의 함수이다.

위 증명 과정의 5단계에서, 임의의 $T \in Hom (K^{n}, K^{m})$ 에 대하여 $T$ 를 표현하는 행렬 $M (T)$ 를 찾았으며, 이 행렬에 의하여 만들어지는 선형사상은 $T$ 와 일치함을 보였다. 즉 임의의 $T \in Hom (K^{n}, K^{m})$ 에 대하여 $T_{M (T)} = T$ 이다.

이 과정을 반대로 생각할 수 있다. 즉 임의의 행렬 $A \in {Mat}_{m \times n} (K)$ 에 대하여 $A$ 에 의하여 만들어지는 선형사상 $T_{A}$ 를 찾고, 다시 $T_{A}$ 의 표현행렬 $M (T_{A})$ 를 찾을 수 있다. 이 두 행렬이 일치함을 보이자. 먼저 $A$ 가 $m \times n$ 행렬이므로 $T_{A}$ 는 $K^{n}$ 으로부터 $K^{m}$ 으로의 선형변환이다. 그러므로 $M (T_{A})$ 는 $m \times n$ 행렬이다. 그러므로 두 행렬의 크기는 일치한다. 다음으로 두 행렬의 $j$ 째 열을 비교하면 $(M (T_{A}))^{j} = T_{A} (e_{j}) = A e_{j} = A^{j}$ 이므로, 두 행렬의 $j$ 째 열이 일치한다. 그러므로 임의의 $A \in {Mat}_{m \times n} (K)$ 에 대하여 $M (T_{A}) = A$ 이다. 이로써 ${Mat}_{m \times n} (K)$ 의 행렬 $A$ 와 $Hom (K^{n}, K^{m})$ 의 행렬 $T_{A}$ 는 하나씩 대응되며, 이 대응은 두 벡터공간 사이의 동형사상이다.

지금까지 살펴본 내용을 요약하면 다음과 같다.

유한차원 벡터공간 $K^{n},$ $K^{m}$ 사이에서 정의된 선형변환은 $m \times n$ 행렬과 같은 것으로 생각할 수 있다.

정리 1을 증명할 때 사용한 동형사상은 다음과 같은 유용한 성질을 가지고 있다.

정리 2. $m,$ $n,$ $p$ 가 양의 정수이고 $A \in {Mat}_{m \times n} (K), B \in {Mat}_{n \times p} (K)$ 라고 하자. 그러면 $T_{A B} = T_{A} \circ T_{B}$ 이다. 즉 두 행렬을 곱한 행렬로부터 얻어진 선형변환은 각 행렬로부터 얻어진 선형변환의 합성과 같다.

증명

$A B$ 가 $m \times p$ 행렬이므로 $T_{A B}$ 는 $K^{p}$ 로부터 $K^{m}$ 으로의 선형변환이다. 또한 $A$ 와 $B$ 가 각각 $m \times n$ 행렬, $n \times p$ 행렬이므로 $T_{A}$ 와 $T_{B}$ 는 각각 $K^{n}$ 으로부터 $K^{m}$ 으로의 선형변환, $K^{p}$ 로부터 $K^{n}$ 으로의 선형변환이다. 따라서 $T_{A} \circ T_{B}$ 는 $K^{p}$ 로부터 $K^{m}$ 으로의 선형변환이다. 즉 $T_{A B}$ 의 정의역과 공역은 $T_{A} \circ T_{B}$ 의 정의역, 공역과 같다.

이제 두 함수가 일치함을 보이자. 각 $j = 1, 2, \dots, p$ 에 대하여 $\begin{aligned} T_{A B} (e_{j}) & = (A B) e_{j} \\ = (A B)^{j} \\ = A \cdot B^{j} \\ = T_{A} (B^{j}) \\ = T_{A} (B e_{j}) \\ = T_{A} (T_{B} (e_{j})) \\ = (T_{A} \circ T_{B}) (e_{j}) \end{aligned}$ 이다. 여기서 위첨자 $j$ 는 행렬의 $j$ 째 열을 나타내며 $e_{j}$ 는 $K^{p}$ 의 표준기저원소 중 $j$ 째 벡터를 나타낸다. 정의역의 임의의 기저원소에 대하여 두 함수 $T_{A B}$ 와 $T_{A} \circ T_{B}$ 의 값이 일치하므로, 두 함수는 같은 함수이다.

정리 2를 사용하면 행렬의 곱셈에 대하여 결합법칙이 성립한다는 사실을 증명할 수 있다.

정리 3. $m,$ $n,$ $p,$ $q$ 가 양의 정수이고 $A \in {Mat}_{m \times n} (K), B \in {Mat}_{n \times p} (K), C \in {Mat}_{p \times q} (K)$ 라고 하자. 그러면 $(A B) C = A (B C)$ 이다.

증명

먼저 $(A B) C$ 와 $A (B C)$ 는 모두 $m \times q$ 행렬이다. 다음으로 $A,$ $B,$ $C$ 에 의하여 얻어지는 선형변환을 $T_{A},$ $T_{B},$ $T_{C}$ 라고 하면 정리 2의결과와 함수의 합성의 결합법칙에 의하여 $\begin{aligned} T_{(A B) C} & = T_{A B} \circ T_{C} \\ = (T_{A} \circ T_{B}) \circ T_{C} \\ = T_{A} \circ (T_{B} \circ T_{C}) \\ = T_{A} \circ T_{B C} \\ = T_{A (B C)} \end{aligned}$ 이다. 그러므로 $(A B) C = M (T_{(A B) C}) = M (T_{A (B C)}) = A (B C)$ 이다.

정리 2를 반대 방향으로 생각할 수 있다.

정리 4. $m,$ $n,$ $p$ 가 양의 정수이고 $T_{1} \in Hom (K^{p}, K^{n}), T_{2} \in Hom (K^{n}, K^{m})$ 라고 하자. 그러면 $M (T_{2} \circ T_{1}) = M (T_{2}) M (T_{1})$ 이다. 즉 두 선형변환의 합성변환의 표현행렬은 각 표현행렬을 곱한 것과 같다.

증명

선형변환의 합성은 선형변환이므로 $T_{2} \circ T_{1}$ 은 $K^{p}$ 로부터 $K^{m}$ 으로의 선형변환이다. 따라서 $M (T_{2} \circ T_{1})$ 은 $m \times p$ 행렬이다. 또한 $M (T_{2})$ 와 $M (T_{1})$ 은 각각 $m \times n$ 행렬, $n \times p$ 행렬이므로, 두 행렬의 곱 $M (T_{2}) M (T_{1})$ 은 $m \times p$ 행렬이다. 즉 $M (T_{2} \circ T_{1})$ 과 $M (T_{2}) M (T_{1})$ 은 크기가 같은 행렬이다.

이제 이 두 행렬의 열이 모두 일치함을 보이자. 각 $j = 1, 2, \dots, p$ 에 대하여 $\begin{aligned} (M (T_{2} \circ T_{1}))^{j} & = (T_{2} \circ T_{1}) (e_{j}) \\ = T_{2} (T_{1} (e_{j})) \\ = T_{2} (M (T_{1})^{j}) \\ = T_{2} ((M (T_{1})) e_{j}) \\ = (M (T_{2})) ((M (T_{1})) e_{j}) \\ = (M (T_{2}) M (T_{1})) (e_{j}) \\ = (M (T_{2}) M (T_{1}))^{j} \end{aligned}$ 이다. 여기서 위첨자 $j$ 는 행렬의 $j$ 째 열을 나타내며 $e_{j}$ 는 $K^{p}$ 의 표준기저원소 중 $j$ 째 벡터를 나타낸다. 두 행렬 $M (T_{2} \circ T_{1})$ 과 $M (T_{2}) M (T_{1})$ 의 모든 열이 일치하므로, 두 행렬은 같은 행렬이다.

정리 2, 3, 4의 내용을 요약하면 다음과 같다.

행렬의 곱은 함수의 합성과 같은 것으로 생각할 수 있다.

선형변환과 행렬의 관계 (Kn 공간)

1단계. 두 공간 사이의 함수 ϕ를 정의하자.

2단계. ϕ는 잘 정의된 함수이다.

3단계. ϕ는 선형변환이다.

4단계. ϕ는 일대일 함수(one-to-one function)이다.

5단계. ϕ는 위로의 함수(onto)이다.

Linear Algebra Review Problems for 5 Days

선형변환과 행렬의 관계 (일반적인 벡터공간)

선형변환과 행렬의 관계 ( $K^{n}$ 공간)

1단계. 두 공간 사이의 함수 $ϕ$ 를 정의하자.

2단계. $ϕ$ 는 잘 정의된 함수이다.

3단계. $ϕ$ 는 선형변환이다.

4단계. $ϕ$ 는 일대일 함수(one-to-one function)이다.

5단계. $ϕ$ 는 위로의 함수(onto)이다.