선형 확장 정리

보조정리 1의 증명 $V$의 벡터 $\mathbf{v}$가 임의로 주어졌다고 하자. $B$가 $V$의 기저이므로, $B$에 속하는 유한 개의 벡터 ${\mathbf{v}}_1,$ ${\mathbf{v}}_2,$ $\cdots ,$ ${\mathbf{v}}_k$와 스칼라 ${\alpha }_1,$ ${\alpha }_2,$ $\cdots ,$ ${\alpha }_k$가 존재하여 다음을 만족시킨다. $$\mathbf{v}={\alpha }_1{\mathbf{v}}_1+{\alpha }_2{\mathbf{v}}_2+\cdots +{\alpha }_k{\mathbf{v}}_k.$$ 각 ${\mathbf{v}}_j$에 대하여 $T_1({\mathbf{v}}_j)=T_2({\mathbf{v}}_j)$이므로, 다음 결과를 얻는다. $$\begin{array}{rl}{T}_1(\mathbf{v})& =T_1({\alpha }_1{\mathbf{v}}_1+{\alpha }_2{\mathbf{v}}_2+\cdots +{\alpha }_k{\mathbf{v}}_k)\\ & ={\alpha }_1{T}_1({\mathbf{v}}_1)+{\alpha }_2{T}_1({\mathbf{v}}_2)+\cdots +{\alpha }_k{T}_1({\mathbf{v}}_k)\\ & ={\alpha }_1{T}_2({\mathbf{v}}_1)+{\alpha }_2{T}_2({\mathbf{v}}_2)+\cdots +{\alpha }_k{T}_2({\mathbf{v}}_k)\\ & =T_2({\alpha }_1{\mathbf{v}}_1+{\alpha }_2{\mathbf{v}}_2+\cdots +{\alpha }_k{\mathbf{v}}_k)\\ & =T_2(\mathbf{v}).\end{array}$$ 즉 $V$에 속하는 임의의 벡터 $\mathbf{v}$에 대하여 $T_1(\mathbf{v})=T_2(\mathbf{v})$가 성립한다.

정리 2의 증명 $V$에 속하는 벡터 $\mathbf{v}$가 임의로 주어졌다고 하자. 이제 $\mathbf{v}$의 함숫값 $T(\mathbf{v})$를 정의하려고 한다. $B$가 $V$의 기저이므로, $B$에 속하는 유한 개의 벡터 ${\mathbf{v}}_1,$ ${\mathbf{v}}_2,$ $\cdots ,$ ${\mathbf{v}}_k$와 스칼라 ${\alpha }_1,$ ${\alpha }_2,$ $\cdots ,$ ${\alpha }_k$가 존재하여 다음을 만족시킨다. $$\mathbf{v}={\alpha }_1{\mathbf{v}}_1+{\alpha }_2{\mathbf{v}}_2+\cdots +{\alpha }_k{\mathbf{v}}_k.$$ 이때 $T(\mathbf{v})$를 다음과 같이 정의한다. $$T(\mathbf{v})={\alpha }_{1}f({\mathbf{v}}_1)+{\alpha }_{2}f({\mathbf{v}}_2)+\cdots +{\alpha }_{k}f({\mathbf{v}}_k).$$ 그러면 $T$는 벡터공간 $V$의 모든 벡터에 대하여 정의된 함수이다.

이제 $T$가 선형변환임을 보이자. $\mathbf{v}$와 $\mathbf{w}$가 $V$에 속하는 임의의 벡터이고, $\lambda$가 스칼라라고 하자. $B$가 $V$의 기저이므로, $B$에 속하는 유한 개의 벡터 ${\mathbf{v}}_1,$ ${\mathbf{v}}_2,$ $\cdots ,$ ${\mathbf{v}}_m$과 스칼라 ${\alpha }_1,$ ${\alpha }_2,$ $\cdots ,$ ${\alpha }_m,$ ${\beta }_1,$ ${\beta }_2,$ $\cdots ,$ ${\beta }_m$ 이 존재하여 다음을 만족시킨다. $$\begin{array}{rl}\mathbf{v}& ={\alpha }_1{\mathbf{v}}_1+{\alpha }_2{\mathbf{v}}_2+\cdots +{\alpha }_m{\mathbf{v}}_m\\ \mathbf{w}& ={\beta }_1{\mathbf{v}}_1+{\beta }_2{\mathbf{v}}_2+\cdots +{\beta }_m{\mathbf{v}}_m.\end{array}$$ 그러면 $$\begin{array}{rl}\mathbf{v}+\mathbf{w}& =({\alpha }_1+{\beta }_1){\mathbf{v}}_1+({\alpha }_2+{\beta }_2){\mathbf{v}}_2+\cdots +({\alpha }_m+{\beta }_m){\mathbf{v}}_m,\\ \lambda \mathbf{v}& =\lambda {\alpha }_1{\mathbf{v}}_1+\lambda {\alpha }_2{\mathbf{v}}_2+\cdots +\lambda {\alpha }_m{\mathbf{v}}_m\end{array}$$ 이므로, 다음 결과를 얻는다. $$\begin{array}{rl}T(\mathbf{v}+\mathbf{w})& =T(({\alpha }_1+{\beta }_1){\mathbf{v}}_1+({\alpha }_2+{\beta }_2){\mathbf{v}}_2+\cdots +({\alpha }_m+{\beta }_m){\mathbf{v}}_m)\\ & =({\alpha }_1+{\beta }_1)T({\mathbf{v}}_1)+({\alpha }_2+{\beta }_2)T({\mathbf{v}}_2)+\cdots +({\alpha }_m+{\beta }_m)T({\mathbf{v}}_m)\\ & =\{{\alpha }_{1}T({\mathbf{v}}_1)+{\alpha }_{2}T({\mathbf{v}}_2)+\cdots +{\alpha }_{m}T({\mathbf{v}}_m)\}\\ & +\{{\beta }_{1}T({\mathbf{v}}_1)+{\beta }_{2}T({\mathbf{v}}_2)+\cdots +{\beta }_{m}T({\mathbf{v}}_m)\}\\ & =T({\alpha }_1{\mathbf{v}}_1+{\alpha }_2{\mathbf{v}}_2+\cdots +{\alpha }_m{\mathbf{v}}_m)+T({\beta }_1{\mathbf{v}}_1+{\beta }_2{\mathbf{v}}_2+\cdots +{\beta }_m{\mathbf{v}}_m)\\ & =T(\mathbf{v})+T(\mathbf{w}),\\ T(\lambda \mathbf{v})& =T(\lambda {\alpha }_1{\mathbf{v}}_1+\lambda {\alpha }_2{\mathbf{v}}_2+\cdots +\lambda {\alpha }_m{\mathbf{v}}_m)\\ & =(\lambda {\alpha }_1)T({\mathbf{v}}_1)+(\lambda {\alpha }_2)T({\mathbf{v}}_2)+\cdots +(\lambda {\alpha }_m)T({\mathbf{v}}_m)\\ & =\lambda \{{\alpha }_{1}T({\mathbf{v}}_1)+{\alpha }_{2}T({\mathbf{v}}_2)+\cdots +{\alpha }_{m}T({\mathbf{v}}_m)\}\\ & =\lambda T(\mathbf{v}).\end{array}$$ 그러므로 $T$는 선형변환이다.

끝으로 $T$의 유일성을 증명하자. $T_1$이 $V$로부터 $W$로의 선형변환이고, $B$의 모든 원소 ${\mathbf{v}}_j$에 대하여 $T_1({\mathbf{v}}_j)=f({\mathbf{v}}_j)$를 만족시킨다고 하자. 그러면 $B$의 모든 원소 ${\mathbf{v}}_j$에 대하여 $T_1({\mathbf{v}}_j)=T({\mathbf{v}}_j)$이므로, 보조정리 1에 의하여, $V$의 모든 벡터 $\mathbf{v}$에 대하여 $T_1(\mathbf{v})=T(\mathbf{v})$이다. 즉 $T_1$은 $T$와 동일한 함수이다.