\(V\)와 \(W\)가 집합이고 \(f\)와 \(g\)가 \(V\)로부터 \(W\)로의 함수라고 하자. 정의역 \(V\)에 속하는 몇 개의 점 \(x\)에 대하여 \(f(x) = g(x)\)가 성립한다고 하더라도, \(V\) 전체에서 \(f(x) = g(x)\)가 성립한다는 보장은 없다. 그러나 함수가 벡터공간 사이에서 정의되어 있는 선형변환인 경우에는, 정의역의 기저 원소에 대해서 두 함수의 함숫값이 일치하면 두 함수는 완전히 같은 함수가 된다. 즉 다음 정리가 성립한다.
보조정리 1.
\(V\)와 \(W\)가 벡터공간이고 \(B = \left\{ \vecv _j \,\vert\, j \in J \right\}\)가 \(V\)의 기저라고 하자. 또한 \(T_1 : V \rightarrow W\)와 \(T_2 : V \rightarrow W\)가 \(V\)로부터 \(W\)로의 선형변환이라고 하자. 만약 \(B\)의 임의의 원소 \(\vecv _j\)에 대하여 \(T_1 (\vecv _j ) = T_2 ( \vecv _j )\)가 성립하면, \(V\)의 임의의 원소 \(\vecv\)에 대하여 \(T_1 (\vecv ) = T_2 (\vecv )\)이다.
위 정리에서 만약 \(V\)와 \(W\)의 차원이 유한이라면, 정리의 증명이 매우 간단해진다. 왜냐하면, 만약 \(W\)의 기저를 \(B ' \)이라고 두면, \(B\)의 임의의 기저 원소에 대하여 \(T_1\)과 \(T_2\)의 함숫값이 같으므로, 두 선형변환의 표준행렬이 일치한다. 즉 \[ [ T_1 ]_{B,B '} = [T_2 ] _{B,B'}\] 이다. 표준행렬이 일치하는 두 선형변환은 같은 함수이므로(이 사실도 따로 증명해야 하지만), \(V\) 위에서 \(T_1 = T_2\)라는 결론을 내릴 수 있다.
여기서는 차원이 유한이라는 가정을 하지 않고, 일반적인 경우를 증명하겠다.
보조정리 1의 증명 \(V\)의 벡터 \(\vecv\)가 임의로 주어졌다고 하자. \(B\)가 \(V\)의 기저이므로, \(B\)에 속하는 유한 개의 벡터 \(\vecv _1 ,\) \(\vecv _2 ,\) \(\cdots ,\) \(\vecv _k \)와 스칼라 \(\alpha _1 ,\) \(\alpha _2 ,\) \(\cdots ,\) \(\alpha _k \)가 존재하여 다음을 만족시킨다. \[\vecv = \alpha _1 \vecv _1 + \alpha_2 \vecv _2 + \cdots + \alpha _k \vecv _k .\] 각 \(\vecv _j \)에 대하여 \(T_1 (\vecv _j ) = T_2 ( \vecv _j )\)이므로, 다음 결과를 얻는다. \[\begin{aligned} T_1 (\vecv ) &= T_1 ( \alpha _1 \vecv _1 + \alpha_2 \vecv _2 + \cdots + \alpha _k \vecv _k ) \\[6pt] &= \alpha _1 T_1 ( \vecv _1 ) + \alpha_2 T_1 ( \vecv _2 ) + \cdots + \alpha _k T_1 ( \vecv _k ) \\[6pt] &= \alpha _1 T_2 ( \vecv _1 ) + \alpha_2 T_2 ( \vecv _2 ) + \cdots + \alpha _k T_2 ( \vecv _k ) \\[6pt] &= T_2 ( \alpha _1 \vecv _1 + \alpha_2 \vecv _2 + \cdots + \alpha _k \vecv _k ) \\[6pt] &= T_2 (\vecv ). \end{aligned}\] 즉 \(V\)에 속하는 임의의 벡터 \(\vecv\)에 대하여 \(T_1 (\vecv ) = T_2 ( \vecv )\)가 성립한다.
함수 \(f : V \rightarrow W\)를 정의하기 위해서는 함수의 정의역 \(V\), 함수의 공역 \(W\), 그리고 \(V\)의 각 원소 \(x\)에 대한 함숫값 \(f(x)\)를 정의해야 한다. 하지만 함수가 벡터공간 사이에서 정의되어 있는 선형변환인 경우에는 정의역의 모든 원소에 대하여 함숫값을 정의할 필요 없이, 정의역의 기저원소에 대해서만 함숫값을 정의해 주면 충분하다.
정리 2. (선형 확장 정리; Linear Extension Theorem)
\(V\)와 \(W\)가 벡터공간이고 \(B = \left\{ \vecv _j \,\vert\, j \in J \right\}\)가 \(V\)의 기저라고 하자. 또한 \(T : B \rightarrow W\)가 \(B\)로부터 \(W\)로의 함수라고 하자. 그러면 \(T\)의 정의역을 \(V\)로 확장하여 선형변환이 되도록 정의할 수 있다. 또한, 그와 같은 확장 함수는 유일하게 결정된다.
위 정리는 다음과 같이 진술하는 것이 더 정확하다.
\(V\)와 \(W\)가 벡터공간이고 \(B = \left\{ \vecv _j \,\vert\, j \in J \right\}\)가 \(V\)의 기저라고 하자. 또한 \(f : B \rightarrow W\)가 \(B\)로부터 \(W\)로의 함수라고 하자. 그러면 선형변환 \(T : V \rightarrow W\)가 존재하여, \(B\)의 임의의 원소 \(\vecv _j \)에 대하여 \(T(\vecv _j ) = f( \vecv _j )\)를 만족시킨다. 또한, 이 조건을 만족시키는 선형변환 \(T : V \rightarrow W\)는 유일하다.
정리 2의 증명 \(V\)에 속하는 벡터 \(\vecv\)가 임의로 주어졌다고 하자. 이제 \(\vecv\)의 함숫값 \(T(\vecv)\)를 정의하려고 한다. \(B\)가 \(V\)의 기저이므로, \(B\)에 속하는 유한 개의 벡터 \(\vecv _1 ,\) \(\vecv _2 ,\) \(\cdots ,\) \(\vecv _k \)와 스칼라 \(\alpha _1 ,\) \(\alpha _2 ,\) \(\cdots ,\) \(\alpha _k \)가 존재하여 다음을 만족시킨다. \[\vecv = \alpha _1 \vecv _1 + \alpha_2 \vecv _2 + \cdots + \alpha _k \vecv _k .\] 이때 \(T(\vecv )\)를 다음과 같이 정의한다. \[T (\vecv ) = \alpha _1 f ( \vecv _1 ) + \alpha_2 f ( \vecv _2 ) + \cdots + \alpha _k f ( \vecv _k ) .\] 그러면 \(T\)는 벡터공간 \(V\)의 모든 벡터에 대하여 정의된 함수이다.
이제 \(T\)가 선형변환임을 보이자. \(\vecv \)와 \(\vecw \)가 \(V\)에 속하는 임의의 벡터이고, \(\lambda\)가 스칼라라고 하자. \(B\)가 \(V\)의 기저이므로, \(B\)에 속하는 유한 개의 벡터 \(\vecv _1 ,\) \(\vecv _2 ,\) \(\cdots ,\) \(\vecv _m \)과 스칼라 \(\alpha _1 ,\) \(\alpha _2 ,\) \(\cdots ,\) \(\alpha _m , \) \(\beta _1 ,\) \(\beta _2 ,\) \(\cdots ,\) \(\beta _m \) 이 존재하여 다음을 만족시킨다. \[\begin{aligned} \vecv &= \alpha _1 \vecv _1 + \alpha_2 \vecv _2 + \cdots + \alpha _m \vecv _m \\[6pt] \vecw &= \beta _1 \vecv _1 + \beta_2 \vecv _2 + \cdots + \beta _m \vecv _m . \end{aligned}\] 그러면 \[\begin{aligned} \vecv + \vecw &= (\alpha_1 + \beta_1 ) \vecv _1 + (\alpha_2 + \beta_2 ) \vecv _2 + \cdots + (\alpha_m + \beta_m ) \vecv _m , \\[6pt] \lambda \vecv &= \lambda \alpha_1 \vecv _1 + \lambda \alpha_2 \vecv _2 + \cdots + \lambda \alpha_m \vecv _m \\[6pt] \end{aligned}\] 이므로, 다음 결과를 얻는다. \[\begin{aligned} T ( \vecv + \vecw ) &= T ( (\alpha_1 + \beta_1 ) \vecv _1 + (\alpha_2 + \beta_2 ) \vecv _2 + \cdots + (\alpha_m + \beta_m ) \vecv _m ) \\[6pt] &= (\alpha_1 + \beta_1 ) T ( \vecv _1 ) + (\alpha_2 + \beta_2 ) T ( \vecv _2 ) + \cdots + (\alpha_m + \beta_m ) T ( \vecv _m ) \\[6pt] &= \left\{ \alpha_1 T ( \vecv _1 ) + \alpha_2 T ( \vecv _2 ) + \cdots + \alpha_m T ( \vecv _m ) \right\} \\[6pt] & \quad\quad + \left\{ \beta_1 T ( \vecv _1 ) + \beta_2 T ( \vecv _2 ) + \cdots + \beta_m T ( \vecv _m )\right\} \\[6pt] &= T( \alpha _1 \vecv _1 + \alpha_2 \vecv _2 + \cdots + \alpha _m \vecv _m ) + T( \beta _1 \vecv _1 + \beta_2 \vecv _2 + \cdots + \beta _m \vecv _m ) \\[6pt] &= T( \vecv ) + T( \vecw ) , \\[10pt] T( \lambda \vecv ) &= T( \lambda \alpha_1 \vecv _1 + \lambda \alpha_2 \vecv _2 + \cdots + \lambda \alpha_m \vecv _m ) \\[6pt] &= (\lambda \alpha _1 ) T(\vecv _1 ) + (\lambda \alpha _2 ) T(\vecv _2 ) + \cdots + (\lambda \alpha _m ) T(\vecv _m ) \\[6pt] &= \lambda \left\{ \alpha _1 T(\vecv _1 ) + \alpha _2 T(\vecv _2 ) + \cdots + \alpha _m T(\vecv _m ) \right\} \\[6pt] &= \lambda T(\vecv ) . \end{aligned}\] 그러므로 \(T\)는 선형변환이다.
끝으로 \(T\)의 유일성을 증명하자. \(T_1\)이 \(V\)로부터 \(W\)로의 선형변환이고, \(B\)의 모든 원소 \(\vecv _j \)에 대하여 \(T_1 (\vecv _j ) = f(\vecv _j )\)를 만족시킨다고 하자. 그러면 \(B\)의 모든 원소 \(\vecv _j \)에 대하여 \(T_1 (\vecv _j ) = T (\vecv _j )\)이므로, 보조정리 1에 의하여, \(V\)의 모든 벡터 \(\vecv \)에 대하여 \(T_1 (\vecv ) = T(\vecv )\)이다. 즉 \(T_1\)은 \(T\)와 동일한 함수이다.