다음과 같은 타원의 방정식을 생각해 봅시다. \[2x^2 - 4xy + 5y^2 = 36\tag{1}\] 선형대수학에서 공부한 이차형식의 성질을 이용하면 좌변을 변형하여 타원의 장축과 단축의 길이를 구할 수 있습니다. 하지만 오늘은 라그랑주의 방법(method of Lagrange's multiplier)을 이용하여 이 타원의 장축과 단축의 길이를 구해보겠습니다.
타원의 중심이 좌표평면의 원점이므로, 타원 위의 점 중에서 원점으로부터 가장 멀리 있는 점까지의 거리와 가장 가까이 있는 점까지의 거리를 찾으면 됩니다. 즉 타원 위의 점 \((x,\,y)\)에 대하여 다음 함수 \[f(x,\,y) = x^2 + y^2\tag{2}\] 의 값의 최댓값과 최솟값을 찾으면 됩니다. (물론 원점으로부터 그 점까지 떨어진 거리는 위 함숫값의 제곱근과 같습니다.) 타원의 방정식의 좌변을 \(g(x,\,y)\)로 두고 다음과 제한조건을 다음과 같이 나타냅시다. \[g(x,\,y) = 36\tag{3}\] 이제 라그랑주의 방법을 사용하기 위해 다음과 같은 방정식을 생각합니다. \[\lambda \nabla f = \nabla g.\tag{4}\] 여기서 \(\lambda\)는 실수입니다. [보통은 \(\lambda\)를 \(\nabla g\) 앞에 붙이지만 여기서는 고윳값과 고유벡터를 이용하기 위하여 \(f\) 앞에 붙였습니다.] 이 식을 풀어 쓰면 \[\lambda (2x\mathbf{i} + 2y\mathbf{j}) = (4x-4y)\mathbf{i} + (-4x+10y)\mathbf{j}\] 즉 \[\lambda (x\mathbf{i} + y\mathbf{j}) = (2x-2y)\mathbf{i} + (-2x+5y)\mathbf{j}\] 입니다. 이 식을 행렬로 나타내면 다음과 같습니다. \[\lambda\left[\begin{array}{c} x\\y \end{array}\right] = \left[\begin{array}{rr} 2 & -2 \\ -2 & 5 \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right]\tag{5}\] 우변의 정사각행렬을 \(A\)로 두면, 위 식은 행렬 \(A\)의 고윳값 \(\lambda\)와 고유벡터 \((x,\,y)\)를 구하는 식입니다. \(A\)의 고윳값을 구하기 위하여 \(A\)의 특성다항식 \(p(t)\)를 이용합시다. \[\begin{aligned} p(t) &= \det\left[\begin{array}{cc} t-2 & 2 \\ 2 & t-5 \end{array}\right] \\[4pt] &= (t-2)(t-6) -4 \\[6pt] &= t^2 - 7t +6 \\[6pt] &= (t-1)(t-6) =0. \end{aligned}\] 이 방정식을 풀면 다음과 같은 고윳값을 얻습니다. \[\lambda_1 = 1 ,\,\, \lambda_2 = 6.\tag{6}\] 이 고윳값에 대응되는 고유벡터는 차례로 \[v_1 = k_1 \left[\begin{array}{c} 2\\1 \end{array}\right] ,\,\, v_2 = k_2 \left[\begin{array}{r} -1\\2 \end{array}\right]\tag{7}\] 입니다.
먼저 \(v_1\)을 제한조건 (3)에 대입하면 \[g(v_1 ) = 8k_1 ^2 - 8k_1 ^2 + 5k_1 ^2 = 36\] 이므로 \[k_1 = \pm\frac{6}{\sqrt{5}}\] 를 얻습니다. 이렇게 얻은 \(k_1\)에 대하여 \(v_1\)을 \(f\)에 대입하면 \[f(v_1) = \left(\frac{12}{\sqrt{5}}\right)^2 + \left(\frac{6}{\sqrt{5}}\right)^2 = 36\] 입니다. 그러므로 타원의 두 축 중 한 축의 길이는 \[2 \times \sqrt{f(v_1)} = 2 \times 6 = 12\tag{8}\] 입니다.
같은 방법으로 \(v_2\)를 제한조건 (3)에 대입하면 \[g(v_2) = 30k_2 ^2 = 36\] 이므로 \[k_2 = \pm\sqrt{\frac{6}{5}}\] 를 얻습니다. 이렇게 얻은 \(k_2\)에 대하여 \(v_2\)를 \(f\)에 대입하면 \[f(v_2)= k_2 ^2 + 4k_2 ^2 = 6\] 입니다. 그러므로 타원의 두 축 중 다른 한 축의 길이는 \[2\times \sqrt{f(v_2)} = 2 \times \sqrt{6} = 2\sqrt{6}\tag{9}\] 입니다.
(8)과 (9)를 비교하면 (8)에서 구한 값이 더 크므로, 주어진 타원의 장축의 길이는 \(12\)이고 단축의 길이는 \(2\sqrt{6}\)입니다.
물론 선형대수학에서 살펴보면 방법을 활용하면 (1)은 적절히 좌표를 변형하여 다음과 같이 바꿀 수 있습니다. \[1(x')^2 + 6(y')^2 = 36\] 여기서 이차항의 계수 \(1\)과 \(6\)은 (6)에서 구한 두 고윳값입니다. 이 식을 이용하면 타원의 두 축의 길이를 바로 구할 수 있습니다.