집합을 공부할 때 도움이 되도록 집합의 성질을 증명하는 예제와 풀이를 모았습니다.
모든 예제와 풀이에서 \(U\)는 공집합이 아닌 전체집합을 나타내며, \(A,\) \(B,\) \(C\)는 \(U\)의 부분집합을 나타냅니다. 또한 \(\varnothing\)은 공집합을 나타내며, \(P(A)\)는 \(A\)의 멱집합을 나타냅니다. \(C\)가 윗첨자로 쓰였을 때는 여집합을 나타냅니다.
예제 1. 공집합이 임의의 집합의 부분집합임을 증명하시오.
풀이
\(\varnothing\)이 공집합이고 \(A\)가 임의의 집합이라고 하자. 이제 임의의 원소 \(x\)에 대하여 다음 조건부 명제가 참임을 보여야 한다. \[x\in \varnothing \quad \rightarrow \quad x\in A\] 그런데 \(x\in \varnothing\)은 항상 거짓이므로, 위 조건부 명제의 가정이 항상 거짓이다. 그러므로 위 조건부 명제는 참이다. 즉 \(\varnothing \subset A\)이다.
예제 2. 모든 집합은 자기 자신의 부분집합임을 증명하시오.
풀이
\(p\)가 명제이거나 조건일 때, \(p \,\rightarrow\,p\)는 항상 참이다. 이 사실을 이용하여 증명하자.
\(A\)가 임의의 집합이라고 하자. 이제 임의의 원소 \(x\)에 대하여 다음 조건부 명제가 참임을 보여야 한다. \[x\in A \quad\rightarrow\quad x\in A\] 그런데 \(x\in A\)를 \(p\)로 나타내면, 위 조건부 명제는 \(p\,\rightarrow\,p\)와 같다. 그러므로 위 조건부 명제는 참이다. 즉 \(A\subset A\)이다.
예제 3. \(A \subset B\)이고 \(B \subset C\)이면, \(A\subset C\)임을 증명하시오.
풀이
\(x\)가 임의의 원소라고 하자. 먼저 \(A \subset B\)이므로 다음이 참이다. \[x\in A \quad\rightarrow\quad x\in B \tag{1}\] 또한 \(B \subset C\)이므로 다음이 참이다. \[x\in B \quad\rightarrow\quad x\in C \tag{2}\] (1)과 (2)를 결합하면 명제의 추이 법칙에 의하여 다음이 참이다. \[x\in A \quad\rightarrow\quad x\in C\] 그러므로 \(A\subset C\)이다.
예제 4. \(A-B = A\cap B^C\)임을 증명하시오.
풀이
임의의 원소 \(x\)에 대하여 다음이 성립한다. \[\begin{aligned} x\in A-B \quad &\Longleftrightarrow \quad x\in A \,\,\wedge\,\, x\notin B \\[6pt] &\Longleftrightarrow \quad x\in A \,\,\wedge\,\, x\in B^C \\[6pt] &\Longleftrightarrow \quad x\in A \cap B^C . \end{aligned}\] 그러므로 \(A-B = A\cap B^C\)이다.
예제 5. \(A=B\)이기 위한 필요충분조건은 \(A \subset B\)이면서 \(B\subset A\)인 것임을 증명하시오.
풀이
임의의 원소 \(x\)에 대하여 다음이 성립한다. \[\begin{aligned} A=B \quad &\Longleftrightarrow \quad (x\in A \,\leftrightarrow\, x\in B) \\[6pt] &\Longleftrightarrow \quad ( ( x\in A \,\rightarrow \, x\in B) \,\wedge\, (x\in B \,\rightarrow \,x\in A)) \\[6pt] &\Longleftrightarrow \quad (A\subset B \,\wedge\, B\subset A ). \end{aligned}\]
참고. 위 증명은 원래 다음과 같이 해야 더 엄밀하다. \[\begin{aligned} A=B \quad &\Longleftrightarrow \quad (\forall x ( x\in A \,\leftrightarrow\, x\in B)) \\[6pt] &\Longleftrightarrow \quad (\forall x ( ( x\in A \,\rightarrow \, x\in B) \,\wedge\, (x\in B \,\rightarrow \,x\in A))) \\[6pt] &\Longleftrightarrow \quad ((\forall x ( x\in A \,\rightarrow \, x\in B)) \,\wedge\, (\forall x (x\in B \,\rightarrow \,x\in A))) \\[6pt] &\Longleftrightarrow \quad (A\subset B \,\wedge\, B\subset A ). \end{aligned}\] 이 증명 과정에서 다음과 같은 법칙이 사용되었다. \[[\forall x (p(x) \wedge q(x))] \quad\Longleftrightarrow\quad [(\forall x (p(x))) \wedge (\forall x (q(x)))] \]
예제 6. \(A=B\)이고 \(B=C\)이면, \(A=C\)임을 증명하시오.
풀이
예제 3과 예제 5의 결과를 이용하면 다음이 성립한다. \[\begin{aligned} A=B \,\wedge\, B=C \quad &\Longleftrightarrow \quad ( A\subset B \,\wedge\, B \subset A ) \,\wedge\, ( B \subset C \,\wedge\, C \subset B ) \\[6pt] &\Longleftrightarrow \quad ( ( A\subset B \,\wedge\, B \subset A ) \,\wedge\, B \subset C ) \,\wedge\, C \subset B \\[6pt] &\Longleftrightarrow \quad ( B \subset C \,\wedge\, ( A \subset B \,\wedge\, B \subset A ) ) \,\wedge\, C \subset B \\[6pt] &\Longleftrightarrow \quad ( ( B \subset C \,\wedge\, A \subset B ) \,\wedge\, B \subset A ) \,\wedge\, C \subset B \\[6pt] &\Longleftrightarrow \quad ( ( A \subset B \,\wedge\, B \subset C ) \,\wedge\, B \subset A ) \,\wedge\, C \subset B \\[6pt] &\Longleftrightarrow \quad ( A \subset B \,\wedge\, B \subset C ) \,\wedge\, ( B \subset A \,\wedge\, C \subset B ) \\[6pt] &\Longleftrightarrow \quad ( A \subset B \,\wedge\, B \subset C ) \,\wedge\, ( C \subset B \,\wedge\, B \subset A ) \\[6pt] &\Longrightarrow \quad ( A\subset C \,\wedge\, C \subset A ) \\[6pt] &\Longleftrightarrow \quad A=C. \end{aligned}\] 논리곱의 교환법칙과 결합법칙이 성립하므로, 이 증명 과정은 다음과 같이 일부를 생략하여 간단하게 써도 된다. \[\begin{aligned} A=B \,\wedge\, B=C \quad &\Longleftrightarrow \quad ( A \subset B \,\wedge\, B \subset A ) \,\wedge\, ( B \subset C \,\wedge\, C \subset B ) \\[6pt] &\Longleftrightarrow \quad ( A \subset B \,\wedge\, B \subset A \,\wedge\, B \subset C \,\wedge\, C \subset B ) \\[6pt] &\Longleftrightarrow \quad ( A \subset B \,\wedge\, B \subset C \,\wedge\, C \subset B \,\wedge\, B \subset A ) \\[6pt] &\Longleftrightarrow \quad ( A \subset B \,\wedge\, B \subset C ) \,\wedge\, ( C \subset B \,\wedge\, B \subset A ) \\[6pt] &\Longrightarrow \quad ( A\subset C \,\wedge\, C\subset A ) \\[6pt] &\Longleftrightarrow \quad A=C. \end{aligned}\]
예제 7. \(A \subset B\)이기 위한 필요충분조건은 \(A\cap B = A\)인 것임을 증명하시오.
풀이
\(A \subset B\)라고 가정하자. 그러면 임의의 원소 \(x\)에 대하여 \[\begin{aligned} x\in A\cap B \quad &\Longrightarrow \quad x\in A \,\wedge\, x\in B \\[6pt] &\Longrightarrow \quad x\in A \end{aligned}\] 이므로 \(A\cap B \subset A\)이며, 임의의 원소 \(x\)에 대하여 \[\begin{aligned} x\in A \quad &\Longrightarrow \quad x\in A \,\wedge\, x\in A \\[6pt] &\Longrightarrow \quad x\in A \,\wedge\, x\in B \\[6pt] &\Longrightarrow \quad x\in A \cap B \end{aligned}\] 이므로 \(A \subset A\cap B\)이다. 따라서 \(A = A\cap B\)이다.
다음으로 역을 증명하자. \(A = A\cap B\)라고 가정하자. 그러면 임의의 원소 \(x\)에 대하여 \[\begin{aligned} x\in A \quad &\Longrightarrow \quad x\in A\cap B \\[6pt] &\Longrightarrow \quad x\in A \,\wedge\, x\in B \\[6pt] &\Longrightarrow \quad x\in B \end{aligned}\] 이므로 \(A\subset B\)이다.
예제 8. \(A \subset B\)이기 위한 필요충분조건은 \(A-B = \varnothing\)인 것임을 증명하시오.
풀이
\(A\subset B\)라고 가정하자. 그러면 임의의 원소 \(x\)에 대하여 \[\begin{aligned} x\in A-B \quad &\Longleftrightarrow \quad x\in A \,\wedge\, x\notin B \\[6pt] &\Longrightarrow \quad x\in B \,\wedge\, x\notin B \\[6pt] &\Longleftrightarrow \quad c \\[6pt] &\Longleftrightarrow \quad x\in\varnothing \end{aligned}\] 이므로 \(A-B \subset \varnothing\)이다. 한편 \(\varnothing \subset A-B\)는 자명하다. 그러므로 \(A-B = \varnothing\)이다.
다음으로 역을 증명하자. \(A-B =\varnothing\)이라고 가정하자. 그러면 임의의 원소 \(x\)에 대하여 \[\begin{aligned} (x\in A \,\rightarrow\, x\in B) \quad &\Longleftrightarrow \quad (x\notin A \,\vee\, x\in B) \\[6pt] &\Longleftrightarrow \quad \sim (x\in A\,\wedge\, x\notin B ) \\[6pt] &\Longleftrightarrow \quad \sim (x\in A-B) \\[6pt] &\Longleftrightarrow \quad \sim (x\in \varnothing ) \\[6pt] &\Longleftrightarrow \quad \sim c \\[6pt] &\Longleftrightarrow \quad t \\[6pt] \end{aligned}\] 이므로 \[x\in A \,\rightarrow\, x\in B\] 가 참이다. 즉 \(A\subset B\)이다.
예제 9. \(A \subset B \cap C\)이기 위한 필요충분조건은 \(A\subset B\)이면서 \(A\subset C\)임을 증명하시오.
풀이
임의의 원소 \(x\)에 대하여 다음이 성립한다. \[\begin{aligned} (A\subset B\cap C) \quad &\Longleftrightarrow \quad ( x\in A \,\rightarrow\, x\in B\cap C ) \\[6pt] &\Longleftrightarrow \quad ( x\in A \,\rightarrow\, (x\in B \,\wedge\, x\in C )) \\[6pt] &\Longleftrightarrow \quad ( x\notin A \,\vee\, (x\in B \,\wedge\, x\in C )) \\[6pt] &\Longleftrightarrow \quad ( (x\notin A \,\vee\, x\in B )\,\wedge\,(x\notin A \,\vee\, x\in C )) \\[6pt] &\Longleftrightarrow \quad ( (x\in A \,\rightarrow\, x\in B )\,\wedge\,(x\in A \,\rightarrow\, x\in C )) \\[6pt] &\Longleftrightarrow \quad ( (A\subset B )\,\wedge\,(A\subset C )) . \end{aligned}\]
참고. 위 증명은 원래 다음과 같이 해야 더 엄밀하다. \[\begin{aligned} (A\subset B\cap C) \quad &\Longleftrightarrow \quad (\forall x ( x\in A \,\rightarrow\, x\in B\cap C )) \\[6pt] &\Longleftrightarrow \quad (\forall x ( x\in A \,\rightarrow\, (x\in B \,\wedge\, x\in C ))) \\[6pt] &\Longleftrightarrow \quad (\forall x ( x\notin A \,\vee\, (x\in B \,\wedge\, x\in C ))) \\[6pt] &\Longleftrightarrow \quad (\forall x ( (x\notin A \,\vee\, x\in B )\,\wedge\,(x\notin A \,\vee\, x\in C ))) \\[6pt] &\Longleftrightarrow \quad (\forall x ( (x\in A \,\rightarrow\, x\in B )\,\wedge\,(x\in A \,\rightarrow\, x\in C ))) \\[6pt] &\Longleftrightarrow \quad ((\forall x ( x\in A \,\rightarrow\, x\in B ))\,\wedge\,(\forall x (x\in A \,\rightarrow\, x\in C ))) \\[6pt] &\Longleftrightarrow \quad ( (A\subset B )\,\wedge\,(A\subset C )) . \end{aligned}\]
참고. 다음은 성립하지 않는다. \[ ( A\subset B\cup C) \quad \Longleftrightarrow \quad ((A\subset B) \,\vee\, (A\subset C))\] 즉, 다음과 같은 증명은 잘못되었다. \[\begin{aligned} (A\subset B\cup C) \quad &\Longleftrightarrow \quad (\forall x ( x\in A \,\rightarrow\, x\in B\cup C )) \\[6pt] &\Longleftrightarrow \quad (\forall x ( x\in A \,\rightarrow\, (x\in B \,\vee\, x\in C ))) \\[6pt] &\Longleftrightarrow \quad (\forall x ( x\notin A \,\vee\, (x\in B \,\vee\, x\in C ))) \\[6pt] &\Longleftrightarrow \quad (\forall x ( (x\notin A \,\vee\, x\in B )\,\vee\,(x\notin A \,\vee\, x\in C ))) \\[6pt] &\Longleftrightarrow \quad (\forall x ( (x\in A \,\rightarrow\, x\in B )\,\vee\,(x\in A \,\rightarrow\, x\in C ))) \\[6pt] &\Longleftrightarrow \quad ((\forall x ( x\in A \,\rightarrow\, x\in B ))\,\vee\,(\forall x (x\in A \,\rightarrow\, x\in C ))) \\[6pt] &\Longleftrightarrow \quad ( (A\subset B )\,\vee\,(A\subset C )) . \end{aligned}\] 왜냐하면, \(p(x)\)와 \(q(x)\)가 조건일 때 \[ [\forall x(p(x) \vee q(x))] \quad \mathrel{\rlap{\hskip .5em/}}\Longrightarrow \quad [(\forall x (p(x)) \vee (\forall x(q(x))] \] 이기 때문이다. 대신 다음 법칙은 사용할 수 있다. \[ [\forall x(p(x) \vee q(x))] \quad \Longleftarrow \quad [(\forall x (p(x)) \vee (\forall x(q(x))] \] 그러므로 다음이 성립한다. \[ ( A\subset B\cup C) \quad \Longleftarrow \quad ((A\subset B) \,\vee\, (A\subset C))\]
예제 10. \(B\cup C \subset A\)이기 위한 필요충분조건은 \(B\subset A\)이면서 \(C \subset A\)임을 증명하시오.
풀이
임의의 원소 \(x\)에 대하여 다음이 성립한다. \[\begin{aligned} (B\cup C \subset A) \quad &\Longleftrightarrow \quad ( x\in B\cup C \,\rightarrow\, x\in A ) \\[6pt] &\Longleftrightarrow \quad ( (x\in B \,\vee\, x\in C) \,\rightarrow\, x\in A ) \\[6pt] &\Longleftrightarrow \quad ( \sim (x\in B \,\vee\, x\in C) \,\vee\, x\in A ) \\[6pt] &\Longleftrightarrow \quad ( (x\notin B \,\wedge\, x\notin C) \,\vee\, x\in A ) \\[6pt] &\Longleftrightarrow \quad ( (x\notin B \,\vee\, x\in A ) \,\wedge\, (x\notin C \,\vee\, x\in A )) \\[6pt] &\Longleftrightarrow \quad ( (x\in B \,\rightarrow\, x\in A ) \,\wedge\, (x\in C \,\rightarrow\, x\in A )) \\[6pt] &\Longleftrightarrow \quad ( (B\subset A) \,\wedge\, (C\subset A )) . \end{aligned}\]
참고. 위 증명은 원래 다음과 같이 해야 더 엄밀하다. \[\begin{aligned} (B\cup C \subset A) \quad &\Longleftrightarrow \quad (\forall x ( x\in B\cup C \,\rightarrow\, x\in A )) \\[6pt] &\Longleftrightarrow \quad (\forall x ( (x\in B \,\vee\, x\in C) \,\rightarrow\, x\in A )) \\[6pt] &\Longleftrightarrow \quad (\forall x ( \sim (x\in B \,\vee\, x\in C) \,\vee\, x\in A )) \\[6pt] &\Longleftrightarrow \quad (\forall x ( (x\notin B \,\wedge\, x\notin C) \,\vee\, x\in A )) \\[6pt] &\Longleftrightarrow \quad (\forall x ( (x\notin B \,\vee\, x\in A ) \,\wedge\, (x\notin C \,\vee\, x\in A ))) \\[6pt] &\Longleftrightarrow \quad (\forall x ( (x\in B \,\rightarrow\, x\in A ) \,\wedge\, (x\in C \,\rightarrow\, x\in A ))) \\[6pt] &\Longleftrightarrow \quad ((\forall x (x\in B \,\rightarrow\, x\in A )) \,\wedge\, (\forall x (x\in C \,\rightarrow\, x\in A ))) \\[6pt] &\Longleftrightarrow \quad ( (B\subset A) \,\wedge\, (C\subset A )) . \end{aligned}\]
예제 11. \(A-B = (A\cup B ) -B = A- (A\cap B)\)임을 증명하시오.
풀이
\[\begin{aligned} A-B &= A\cap B^C \\[6pt] &= (A\cap B^C ) \cup \varnothing \\[6pt] &= (A\cap B^C ) \cup (B\cap B^C ) \\[6pt] &= (A\cup B) \cap B^C \\[6pt] &= (A\cup B) -B, \end{aligned}\] \[\begin{aligned} A-B &= A \cap B^C \\[6pt] &= \varnothing \cup ( A \cap B^C ) \\[6pt] &= (A \cap A^C ) \cup (A \cap B^C ) \\[6pt] &= A \cap (A^C \cup B^C ) \\[6pt] &= A \cap (A\cap B)^C \\[6pt] &= A-(A\cap B). \end{aligned}\]
예제 12. \(A \cap B = A - (A-B)\)임을 증명하시오.
풀이
\[\begin{aligned} A\cap B &= \varnothing \cup ( A \cap B ) \\[6pt] &= (A \cap A^C ) \cup (A \cap B ) \\[6pt] &= A \cap (A^C \cup B ) \\[6pt] &= A \cap (A\cap B^C )^C \\[6pt] &= A-(A- B). \end{aligned}\]
예제 13. \(A - (B-C) = (A-B) \cup (A\cap C)\)임을 증명하시오.
풀이
\[\begin{aligned} A-(B-C) &= A \cap (B\cap C^C )^C \\[6pt] &= A \cap (B^C \cup C ) \\[6pt] &= (A \cap B^C ) \cup (A \cap C ) \\[6pt] &= (A - B) \cup (A\cap C) . \end{aligned}\]
예제 14. 다음이 참이면 증명하고, 거짓이면 반례를 제시하시오.
“임의의 집합 \(A,\) \(B\)에 대하여 \(A-B = B-A\)이다.”
풀이
만약 \[A = \left\{ 1 \right\} ,\quad B = \left\{ 2 \right\}\] 이면 \[A-B = \left\{ 1 \right\} ,\quad B-A = \left\{ 2 \right\}\] 이므로 \[A-B \ne B-A\] 이다. 따라서 예제의 명제는 거짓이다.
예제 15. 다음이 참이면 증명하고, 거짓이면 반례를 제시하시오.
“\(A\subset B\cup C\)이면, \(A\subset B\)이거나 \(A \subset C\)이다.”
풀이
만약 \[A = \left\{ 1 ,\, 2 \right\} ,\quad B = \left\{ 1 \right\} ,\quad C = \left\{ 2 \right\}\] 이면 \(A\subset B\cup C\)이지만 \(A\not\subset B\)이고 \(A\not\subset C\)이다. 따라서 예제의 명제는 거짓이다.
예제 16. 다음이 참이면 증명하고, 거짓이면 반례를 제시하시오.
“\(B\cap C \subset A\)이면, \(B\subset A\)이거나 \(C \subset A\)이다.”
풀이
만약 \[A = \left\{ 2 \right\} ,\quad B = \left\{ 1,\,2 \right\} ,\quad C = \left\{ 2,\,3 \right\}\] 이면 \(B\cap C\subset A\)이지만 \(B\not\subset A\)이고 \(C\not\subset A\)이다. 따라서 예제의 명제는 거짓이다.
예제 17. 다음이 참이면 증명하고, 거짓이면 반례를 제시하시오.
“\(A\subset C\)이고 \(B\subset C\)이면, \(A\cup B \subset C\)이다.”
풀이
예제 10에서 풀었다.
예제 18. \(A\subset B\)이면 \(P(A) \subset P(B)\)임을 증명하시오.
풀이
\(A\subset B\)이므로, 만약 \(X\subset A\)이면 \(X\subset B\)이다. 이제 임의의 집합 \(X\)에 대하여 다음이 성립한다. \[\begin{aligned} X\in P(A) \quad &\Longrightarrow \quad X \subset A \\[6pt] &\Longrightarrow \quad X \subset B \\[6pt] &\Longrightarrow \quad X \in P(B). \end{aligned}\] 그러므로 \(P(A) \subset P(B)\)이다.
예제 19. \((A-B)\cup B = A\)이기 위한 필요충분조건이 \(B\subset A\)임을 증명하시오.
풀이
우선 \[\begin{aligned} (A-B)\cup B &= (A \cap B^C )\cup B \\[6pt] &= (A \cup B ) \cap ( B \cup B^C ) \\[6pt] &= (A \cup B ) \cap U \\[6pt] &= A \cup B \end{aligned}\] 이므로 \((A-B)\cup B = A\cup B\)이다. 그러므로 이 예제는 \[A\cup B = A \quad\Longleftrightarrow\quad B\subset A\] 임을 증명하라는 예제이다.
먼저 \(A\cup B = A\)라고 가정하자. 그러면 임의의 원소 \(x\)에 대하여 \[\begin{aligned} x\in B \quad &\Longrightarrow \quad (x \in A \,\vee\, x\in B) \\[6pt] &\Longleftrightarrow \quad x \in A \cup B \\[6pt] &\Longleftrightarrow \quad x \in A \end{aligned}\] 이므로 \(B\subset A\)이다.
이제 역을 증명하기 위하여 \(B\subset A\)라고 가정하자. 그러면 임의의 원소 \(x\)에 대하여 \[\begin{aligned} x\in A\cup B \quad &\Longleftrightarrow \quad (x\in A\,\vee\, x\in B) \\[6pt] &\Longrightarrow \quad (x\in A \,\vee\, x\in A ) \\[6pt] &\Longrightarrow \quad x\in A \end{aligned}\] 이므로 \(A\cup B \subset A\)이며, 임의의 원소 \(x\)에 대하여 \[\begin{aligned} x\in A \quad &\Longrightarrow \quad (x\in A\,\vee\, x\in B) \\[6pt] &\Longrightarrow \quad x\in A \cup B \end{aligned}\] 이므로 \(A \subset A\cup B\)이다. 그러므로 \(A\cup B = A\)이다.
예제 20. \((A-C)\cup (B-C) = (A\cup B)-C\)임을 증명하시오.
풀이
\[\begin{aligned} (A-C)\cup (B-C) &= (A\cap C^C) \cup (B\cap C^C ) \\[6pt] &= (A\cup B) \cap C^C \\[6pt] &= (A\cup B) - C . \end{aligned}\]
예제 21. \((A-C)\cap (B-C) = (A\cap B)-C\)임을 증명하시오.
풀이
\[\begin{aligned} (A-C)\cap (B-C) &= (A\cap C^C) \cap (B\cap C^C ) \\[6pt] &= ((A\cap C^C) \cap B )\cap C^C \\[6pt] &= (A \cap (C^C \cap B ))\cap C^C \\[6pt] &= (A \cap (B \cap C^C ))\cap C^C \\[6pt] &= ((A \cap B) \cap C^C )\cap C^C \\[6pt] &= (A \cap B) \cap (C^C \cap C^C ) \\[6pt] &= (A \cap B) \cap C^C \\[6pt] &= (A \cap B) - C . \end{aligned}\]
예제 22. 다음이 참이면 증명하고, 거짓이면 반례를 제시하시오. \[P(A) \cup P(B) = P(A\cup B)\]
풀이
거짓이다. 만약 \[A = \left\{ 1 \right \} ,\quad B = \left\{ 2 \right\}\] 라면 \[\left\{ 1,\,2 \right\} \in P(A\cup B)\] 이지만, \[\begin{gathered}\left\{ 1,\,2 \right\} \notin P(A), \\[6pt] \left\{ 1,\,2 \right\} \notin P(B) \end{gathered}\] 이므로 \[\left\{ 1,\,2 \right\} \notin P(A)\cup P(B)\] 이다. 그러므로 \(P(A) \cup P(B) \ne P(A\cup B)\)이다.
예제 23. 다음이 참이면 증명하고, 거짓이면 반례를 제시하시오. \[P(A) \cap P(B) = P(A\cap B)\]
풀이
참이다. 예제의 등식을 증명해 보자. 임의의 집합 \(X\)에 대하여 다음이 성립한다. \[\begin{aligned} X\in P(A) \cap P(B) \quad &\Longleftrightarrow \quad (X \in P(A) \,\wedge\, X \in P(B) ) \\[6pt] &\Longleftrightarrow \quad (X \subset A \,\wedge\, X \subset B ) \\[6pt] &\Longleftrightarrow \quad (X \subset A \cap B ) \\[6pt] &\Longleftrightarrow \quad X \in P( A \cap B ) . \end{aligned}\] 그러므로 \(P(A) \cap P(B) = P(A\cap B)\)이다.
예제 24. \((A-B)\cup (B-A) = (A\cup B) -(A\cap B)\)임을 증명하시오.
풀이
\[\begin{aligned} (A-B) \cup (B-A) &= (A \cap B^C ) \cup (B \cap A^C ) \\[6pt] &= ((A \cap B^C ) \cup B) \cap ((A \cap B^C ) \cup A^C) \\[6pt] &= ((A \cup B ) \cap (B^C \cup B)) \cap ((A \cup A^C ) \cap (B^C \cup A^C )) \\[6pt] &= ((A \cup B ) \cap U ) \cap ( U \cap (A^C \cup B^C )) \\[6pt] &= (A \cup B ) \cap ( A^C \cup B^C ) \\[6pt] &= (A \cup B ) \cap ( A \cap B )^C \\[6pt] &= (A \cup B ) - (A\cap B) . \end{aligned}\]