이 글에서는 추상공간에서의 미분을 살펴보자.
도함수의 정의
\(E\)를 노름벡터공간이라고 하고, \(K\)를 닫힌구간 \([0,\,1]\)이라고 하자. \(K\)에서 \(E\)로의 함수 \(x = x(t)\)를 생각하자. (선형인 경우뿐만 아니라 일반적인 함수를 생각하자.) 앞으로 이러한 함수를 구간 \([0,\,1]\) 위에서 정의된 추상화된 함수라고 부를 것이다.
이러한 함수에 대하여, 해석학의 기본적인 연산을 정의하고 그 성질을 유도하자.
정의 1. \(x\in E\)이고 \(t\in [0,\,1]\)인 함수 \(x = x(t)\)를 생각하자. 이 함수의 도함수 \(x ' (t)\)를 \[x ' (t) := \frac{d}{dt} x(t) := \lim_{\varDelta t \to 0} \frac{1}{\varDelta t}[x(t+\varDelta t) - x(t)]\tag{1}\] 로 정의한다. 물론, (1)의 우변의 극한이 존재할 때만 정의된다.
도함수의 정의에 의하여 다음이 성립한다. \[x ' (t) = \frac{1}{\varDelta t}[x(t+\varDelta t) - x(t)] + \alpha (t,\, \varDelta t).\] 여기서 \(\varDelta t \to 0\)일 때 \(\alpha (t,\,\varDelta t) \to 0\)이다. 따라서 다음 등식을 얻는다. \[x(t+\varDelta t) - x(t) = x ' (t) \varDelta t - \alpha (t,\,\varDelta t) \varDelta t .\tag{2}\] \(\varDelta t \to 0\)일 때, 등식 (2)의 우변은 \(0\)으로 수렴한다. 따라서 \(x(t)\)가 \(t\)에 관한 도함수를 가지면, \(x(t)\)는 점 \(t\)에서 연속이다.
도함수의 대표적인 예로서 벡터함수 \(x_n (t)\)의 도함수를 생각할 수 있다. \(t\)를 시간으로 해석하면 \(x_n ' (t)\)는 속도 벡터이다. 즉, 이산역학에서 연속역학으로의 전환은 \(n\)차원 벡터 \(x_n (t)\)에서 시간 \((t)\)에 의존하는 특정 함수공간의 원소 \(x(t)\)로의 이행에 대응한다. 그러면 \(x ' (t)\)는 속도이다.
1차원 문제(끈, 막대 등)에서는 \(x(t)\)와 \(x ' (t)\)를 공간 \(C[0,\,1]\)의 원소로 생각한다.
미분의 정의와 극한의 성질을 사용하면 다음 성질을 끌어낼 수 있다.
- \([x(t) + y(t)] ' = x ' (t) + y ' (t).\)
- 모든 상수 \(\lambda\)에 대하여 \([\lambda x(t) ] ' = \lambda x ' (t)\)이다.
- 원소 \(x\in E\)에 대하여 원소 \(y\in E\)와의 좌측 곱셈(또는 우측 곱셈)이 정의되어 있다고 하자. 또한 이것이 연속이고 덧셈에 관해 분배법칙을 만족하며 스칼라 곱셈과 가환이라고 하자. 그러면 다음이 성립한다. \[[yx(t)] ' = yx ' (t) . \tag{3}\] 즉, 상수곱은 미분 기호 밖으로 꺼낼 수 있다.
성질 [1]과 [2]는 명백하다. 성질 [3]은 좌측 곱셈의 연속성과 분배법칙으로부터 따라 나온다. 즉 \[\begin{align} yx ' (t) &= y \lim_{\varDelta t \to 0} \frac{1}{\varDelta t} [x(t+ \varDelta t) - x(t)] \\[6pt] &= \lim_{\varDelta t \to 0} y\left\{ \frac{1}{\varDelta t} [ x(t+ \varDelta t) - x(t)] \right\} \\[6pt] &= \lim_{\varDelta t \to 0} \frac{1}{\varDelta t}[yx(t+\varDelta t) - yx(t) ] \\[6pt] &= \frac{d}{dt} [yx(t)]. \end{align}\] 마찬가지로, 우측 곱셈에 대하여 \[[x(t) y] ' = x ' (t) y \tag{3a}\] 를 얻는다.
보기 1. \(x\in E\)인 \(x = x(t)\)라고 하고, \(A\)를 \((E \to E_1 )\)인 연산자라고 하자. \[[ Ax(t) ] ' = Ax ' (t) . \tag{4}\] 만약 \(A = A(t) \in (E \to E_1 )\)이고 \(x\in E\)이면, \[[A(t)x] ' = A ' (t) x . \tag{4a}\] 특히, 선형범함수 \(f\in \overline{E}\)에 대하여 \[\begin{align} \left\{ f[x(t)] \right\} ' &= f[x ' (t)] ,\tag{5} \\[6pt] \left\{ f(t)(x) \right\} ' &= f ' (t)(x) .\tag{5a} \end{align}\]
고계 도함수
이제 고계 도함수를 정의하자. 실함수의 경우처럼, 추상화된 함수 \(x=x(t)\)의 \(n\)계 도함수에 대한 두 가지 정의를 제시할 수 있다. \[ {\overline{\varDelta}}_{\varDelta t} ^n x(t) =\sum_{k=0}^n (-1)^{n-k} \binom{n}{k} x(t+k \varDelta t)\] 은 점 \(t\)에서 \(x(t)\)의 \(n\)계 차분이다. 또한 \[\varDelta _{\varDelta t}^n x(t) ={\overline{\varDelta}}_{\varDelta t}^n x \left( t- \frac{n}{2} \varDelta t \right)\] 를 \(n\)계 중심차분이라고 부른다.
이제 점 \(t\)에서 함수 \(x(t)\)의 \(n\)계 차분도함수를 다음 식과 같이 정의한다. \[x^{[n]}(t) = \lim_{\varDelta t \to 0} \frac{1}{(\varDelta t)^n} \varDelta_{\varDelta t}^{n} x(t). \tag{6}\] 물론 우변의 극한이 존재할 때만 정의된다.
만약 (6)에서의 극한이 모든 점 \(t\)에서 균등하게 수렴하면, \(x^{[n]}(t)\)를 균등 \(n\)계 차분도함수라고 부른다.
\(n\)계 도함수 \(x^{(n)}(t)\)는 \(n\)번 미분한 함수로 정의된다. \[\begin{align} x ' (t)_0 &= \frac{d}{dt} x(t),\\[6pt] x ' ' (t)_0 &= \frac{d}{dt} [x ' (t)_0 ] ,\\[6pt] &\,\,\,\vdots \\[6pt] x^{(n)} (t)_0 &= \frac{d}{dt} [x^{(n-1)}(t)_0 ]. \end{align}\]
정리 1. 점 \(t\)의 근방에서 연속인 \(n\)계 도함수 \(x^{(n)}(t)_0\)가 존재하면, 이 근방에서 균등 \(n\)계 차분도함수 \(x^{[n]}(t)\)도 존재하며, \[x^{[n]}(t) = x^{(n)}(t)_0\] 이다. 거꾸로, 점 \(t\)의 근방에서 균등연속인 균등 차분도함수 \(x^{[n]}(t)\)가 존재하면, 이 근방에서 \(n\)계 도함수 \(x^{(n)} (t)_0\)가 존재한다.
이러한 명제들은 치역이 실수나 복소수로 이루어진 함수에 대하여 성립한다. 추상화된 함수에 대해서도 이 성질이 성립함을 확인하려면 함수해석학에서 자주 사용되는 방법을 활용해야 한다. 첫 번째 명제를 확인해 보자.
임의의 선형범함수 \(f\in \overline{E}\)에 대하여, \[\varphi (t) = f[x(t)]\] 는 정의역과 치역이 수로 이루어진 함수이다. (5)에 의하여, \[\begin{align} f[x ' (t)_0 ] &= \left\{ f [ x(t) ] \right\} ' = \varphi ' (t), \\[6pt] f[x ' ' (t)_0 ] &= \left\{ f [ x ' (t)_0 ] \right\} ' = \left\{ \varphi ' (t) \right\} ' = \varphi ' ' (t) ,\\[6pt] &\,\,\,\vdots\\[6pt] f[x^{(n)}(t)_0 ] &= \left\{ f[x^{(n-1)}(t)_0 ] \right\} ' = \left\{ \varphi^{n-1} (t) \right\} ' = \varphi^{(n)} (t) . \end{align}\] 또한 \[\begin{align} f \left[ \frac{1}{(\varDelta t)_n} \varDelta_{\varDelta t}^{n} x(t) \right] &= \frac{1}{(\varDelta t)^n} \sum_{k=0}^{n} (-1)^{n-k} \binom{n}{k} \varphi \left( t+ \left( k- \frac{n}{2} \right) \varDelta t \right) \\[6pt] &= \frac{1}{(\varDelta t)^n} \varDelta_{\varDelta t}^n \varphi (t) \\[6pt] &= \varphi^{(n)} (t+ \theta \varDelta t ) \\[6pt] &=f[x^{(n)} (t+\theta \varDelta t)] \end{align}\] 이고, 여기서 \(-\frac{1}{2} \le \theta \le \frac{1}{2}\)이다. 가정에 의하여 \(x^{(n)} (t)_0\)는 점 \(t\)의 근방에서 연속이므로, \[\lVert x^{(n)} (t+ \theta \varDelta t)_0 - x^{(n)} (t)_0 \rVert \le \epsilon_{\varDelta t}\] 이다. 여기서 \(\varDelta t \to 0\)일 때 \(\epsilon_{\varDelta t} \to 0\)이고, 이는 점 \(t\)의 근방에서 균일하다.
이로부터 \[\left\lvert f\left[ \frac{1}{(\varDelta t)^n} \varDelta_{\varDelta t}^{n} x(t) \right] - f[x^{(n)} (t)_0 ] \right\rvert \le \epsilon_{\varDelta t} \lVert f \rVert \tag{7}\] 를 얻는다. 부등식 (7)은 임의의 \(f\in \overline{E}\)에 대하여 성립하므로, \[\left\lVert \frac{1}{(\varDelta t)^n} \varDelta_{\varDelta t}^{n} x(t) - x^{(n)} (t)_0 \right\rVert \le \epsilon_{\varDelta t}\] 이고, 따라서 \[x^{(n)}(t)_0 = \lim_{\varDelta t \to 0} \frac{1}{(\varDelta )^n} \varDelta_{\varDelta t}^{n} x(t)\] 이다. 이 경우, 수렴은 모든 점 \(t\)에 대한 균등수렴이다.
이것으로 정리의 첫 번째 명제가 증명되었다.
편도함수
추상화된 함수의 편도함수 개념을 도입하자. 이를 위하여, 치역이 노름벡터공간 \(E\)에 놓여 있는 \(n\)개 실변수 \(t_1 ,\) \(t_2 ,\) \(\cdots ,\) \(t_n\)의 함수를 생각한다. \[y = f(t_1 ,\, t_2 ,\, \cdots,\, t_n ) \in E .\] \(t_1 ,\) \(t_2 ,\) \(\cdots ,\) \(t_n\)을 \(n\)차원 벡터 \[T = \sum_{i=1}^{n} t_i e_i\] 의 성분으로 해석할 수 있다. 여기서 \(e_i\)는 정규직교 기저벡터, 즉 서로 직교하는 \(n\)차원 단위벡터이다.
이제 점 \(T_0 = \sum_{i=1}^{n} t_i^{(0)} e_i\)에서 \(n\)계 편차분도함수 \[\frac{\partial ^n}{\partial t_1 \,\partial t_2 \cdots \partial t_n} f(t_1 ,\, t_2 ,\, \cdots ,\, t_n )\] 를 정의하자.
이를 위하여, \(n\)계 편차분을 다음과 같이 구성한다. \[\varDelta_{t_1 , \cdots, t_n}^n f(T_0 ) = \sum_{i_1 ,\cdots, i_n} (-1)^{n-k} f[T_0 + \varDelta t(e_{i_1} + \cdots + e_{i_k} )].\] 여기서 \(0\le i_1 < i_2 < \cdots < i_k \le n\)이고, \((i_1 ,\, i_2 ,\, \cdots ,\, i_k )\)는 \((1,\,2,\,\cdots,\,n )\)의 부분집합이다. 합은 이러한 모든 부분집합에 대하여 취한다. 공집합에 대해서는 \(k=0\)이고 \(Y_0\)를 인수로 둔다. 점 \(T_0\)에서의 \(n\)계 중심 편차분 \[\varDelta_{t_1 ,\, \cdots ,\, t_n ;\, \varDelta t}^n f(T_0 )\] 은 점 \[T_0 ' = T_0 - \frac{1}{2} \varDelta t \sum_{i=1}^{n} e_i\] 에서의 \(n\)계 편차분이다. 따라서 \[\varDelta_{t_1 ,\, \cdots ,\, t_n ;\, \varDelta t}^{n} f(T_0 ) = {\overline{\varDelta}}_{t_1 ,\,\cdots,\,t_n ;\, \varDelta t}^n f\left( T_0 - \frac{1}{2} \varDelta t \sum_{i=1}^{n} e_i \right).\] 그러면 \[\frac{1}{(\varDelta t)^n} \varDelta_{t_1 ,\, \cdots ,\,t_n ;\, \varDelta t}^n f(T_0 )\] 의 \(\varDelta t \to 0\)일 때의 극한을 점 \(T_0 = (t_1^{(0)} ,\, t_2^{(0)} ,\, \cdots ,\, t_n^{(0)})\)에서 함수 \(f\)의 \(n\)계 편차분도함수 \[\frac{\partial ^n}{\partial t_1 \, \partial t_2 \cdots \partial t_n} f(t_1^{(0)} ,\, t_2^{(0)} ,\, \cdots ,\, t_n^{(0)})\] 라고 정의한다. 물론, 극한이 존재하는 경우에 정의된다.
이와 마찬가지로, \(n\)계 편도함수를 정의할 수 있다. 이것은 함수 \(f(t_1 ,\, t_2 ,\, \cdots ,\, t_n )\)을 \(t_{k_n} ,\) \(t_{k_{n-1}} ,\) 그리고 마지막으로 \(t_{k_1}\)에 관하여 연속적으로 미분한 결과이다. 여기서 \(k_1 ,\) \(k_2 ,\) \(\cdots ,\) \(k_n\)은 지표 \(1,\) \(2,\) \(\cdots,\) \(n\)의 임의의 순열이다. 물론, 도함수 \[\begin{align} \frac{\partial}{\partial t_{k_n}} & f(t_1 ,\, t_2 ,\, \cdots ,\, t_n ) , \\[6pt] \frac{\partial}{\partial t_{k_{n-1}}} & \left( \frac{\partial}{\partial t_{k_n}} f(t_1 ,\, t_2 ,\, \cdots ,\, t_n ) \right) ,\\[6pt] &\vdots \\[6pt] \frac{\partial}{\partial t_{k_i}} & \left\{ \frac{\partial}{\partial t_{k_{i+1}}} \left( \cdots \frac{\partial}{\partial t_{k_n}} f(t_1 ,\, t_2 ,\, \cdots ,\, t_n ) \right) \right\}\\[6pt] &\vdots \end{align}\] 가 \(T_0\)의 근방에서 연속적으로 존재한다고 가정해야 한다.
정리 2. 점 \(T_0 = (t_1 ^{(0)} ,\, t_2 ^{(0)} ,\, \cdots ,\, t_n^{(0)})\)의 근방에서 함수 \(f\)의 \(n\)계 편도함수가 존재하고, 이 도함수가 \(T_0\)에서 연속이면, \(T_0\)에서 \(n\)계 편차분도함수도 존재하며, 두 도함수는 일치한다.
증명
\(L\)을 \(\overline{E}\)의 임의의 선형범함수라고 하자. 그러면 \[L[f(t_1 ,\, t_2 ,\, \cdots ,\, t_n )] = L f(t_i )\] 는 치역이 실수 또는 복소수로 이루어진 \(t_1 ,\) \(t_2 ,\) \(\cdots ,\) \(t_n\)의 함수이다. 지표 \(1,\) \(2,\) \(\cdots ,\) \(n\)의 모든 순열 \(k_1 ,\) \(k_2 ,\) \(\cdots ,\) \(k_n\)에 대하여 \[\varDelta_{t_1 ,\, \cdots ,\, t_n ;\, \varDelta t}^n L f(t_i^{(0)} ) = \frac{\partial}{\partial t_{k_1}} \left\{ \cdots \frac{\partial}{\partial t_{k_n}} L f(t_i^{(0)} + \theta_i \varDelta t ) \right\}\] 이고, \[\begin{align} L \left[ \frac{1}{(\varDelta t)^n} \varDelta_{t_1 ,\, \cdots ,\, t_n ;\, \varDelta t}^n f(t_i ^{(0)}) \right] &= \frac{1}{(\varDelta t)^n} \varDelta_{t_1 ,\, \cdots ,\, t_n ;\, \varDelta t}^n L f(t_i^{(0)} ) \\[6pt] &= \frac{\partial}{\partial t_{k_1}} \left\{ \cdots \frac{\partial}{\partial t_{k_n}} L f(t_i ^{(0)} + \theta_i \varDelta t ) \right\} \\[6pt] &= L \left[ \frac{\partial}{\partial t_{k_1}} \left\{ \cdots \frac{\partial}{\partial t_{k_n}} f(t_i ^{(0)} + \theta_i \varDelta t ) \right\} \right] \end{align}\] 이다. 선형범함수 \(L\)은 도함수 기호 밖으로 꺼낼 수 있기 때문이다.
가정에 의하여, \(f(t_i )\)의 \(n\)계 편도함수는 점 \((t_i ^{(0)} )\)에서 연속이므로, 임의의 \(\epsilon_{\varDelta t} > 0\)에 대하여, \[\left\lVert \frac{\partial}{\partial t_{k_1}} \left\{ \cdots \frac{\partial}{\partial t_{k_n}} f(t_i ^{(0)} + \theta_i \varDelta t ) \right\} - \frac{\partial}{\partial t_{k_1}} \left\{ \cdots \frac{\partial}{\partial t_{k_n}} f(t_i ^{(0)} )\right\} \right\rVert \le \epsilon_{\varDelta t}\] 가 충분히 작은 \(\lvert \varDelta t \rvert\)에 대하여 성립한다. 따라서 \[\begin{align} \,& \left\lvert L \left[ \frac{1}{(\varDelta t)^n} \varDelta_{t_1 ,\, \cdots ,\, t_n ;\, \varDelta t}^n f(t_i^{(0)}) \right] - L \left[ \frac{\partial}{\partial t_{k_1}} \left\{ \cdots \frac{\partial}{\partial t_{k_n}} f(t_i ^{(0)} ) \right\} \right] \right\rvert \\[6pt] =& \left\lvert L \left[ \frac{\partial}{\partial t_{k_1}} \left\{ \cdots \frac{\partial}{\partial t_{k_n}} f(t_i ^{(0)} + \theta_i \varDelta t ) \right\} \right] - L \left[ \frac{\partial}{\partial t_{k_1}} \left\{ \cdots \frac{\partial}{\partial t_{k_n}} f(t_i ^{(0)} ) \right\} \right] \right\rvert \\[6pt] \le & \lVert L \rVert \left\lVert \frac{\partial}{\partial t_{k_1}} \left\{ \cdots \frac{\partial}{\partial t_{k_n}} f(t_i ^{(0)} + \theta_i \varDelta t ) \right\} - \frac{\partial}{\partial t_{k_1}} \left\{ \cdots \frac{\partial}{\partial t_{k_n}} f(t_i ^{(0)} ) \right\} \right\rVert\\[6pt] \le & \lVert L \rVert \epsilon_{\varDelta t} . \end{align}\] 이 부등식은 모든 \(L \in \overline{E}\)에 대하여 성립하므로, \[\left\lVert \frac{1}{(\varDelta t)^n} \varDelta_{t_1 ,\, \cdots ,\, t_n ;\, \varDelta t}^n f(t_i ^{(0)}) - \frac{\partial}{\partial t_{k_1}} \left\{ \cdots \frac{\partial}{\partial t_{k_n}} f(t_i ^{(0)} ) \right\} \right\rVert \le \epsilon_{\varDelta t}\] 이다. 따라서 \[\frac{1}{(\varDelta t)^n} \varDelta_{t_1 ,\, \cdots ,\, t_n ;\, \varDelta t}^n f(t_i ^{(0)}) \,\to\, \frac{\partial}{\partial t_{k_1}} \left\{ \cdots \frac{\partial}{\partial t_{k_n}} f(t_i ^{(0)} ) \right\}\] 가 \(\varDelta t \to 0\)일 때 성립하고, 식 \[\frac{1}{(\varDelta t)^n} \varDelta_{t_1 ,\, \cdots ,\, t_n ;\, \varDelta t}^n f(t_i^{(0)})\] 의 극한이 존재하며 그것이 \(n\)계 편도함수와 같음을 증명하였다.
따름정리. 지표 \(1,\) \(2,\) \(\cdots,\) \(n\)의 서로 다른 순열에 대응하는 두 \(n\)계 편도함수는, 둘 다 연속인 점에서 일치한다. 이것은 \(n\)계 편도함수가 미분의 순서에 의존하지 않는다는 것을 의미한다.
이 경우 등식 \[\frac{\partial}{\partial t_{k_1}} \left\{ \cdots \frac{\partial}{\partial t_{k_n}} f(t_i) \right\} = \lim_{\varDelta t \to 0} \frac{1}{(\varDelta t)^n} \varDelta_{t_1 ,\, \cdots ,\, t_n ;\, \varDelta t}^n f(t_i )\] 가 성립한다. 그런데 우변은 순열 \(k_1 ,\) \(\cdots ,\) \(k_n\)에 의존하지 않는다.
이후에 특정 영역에서 \(n\)계 편도함수에 대해 언급할 때, 그것이 이 영역에서 연속이라고 가정할 것이다. 따라서 두 정의에 의한 결과는 같은 함수가 된다. 그러므로 이 도함수를 다음과 같은 기호로 표시하자. \[\frac{\partial ^n}{\partial t_1 \,\partial t_2 \cdots \partial t_n} f(t_i ).\] \(h_i\)가 공간 \(E\)의 임의의 원소이고, \[y = f \left( \sum_{i=1}^{n} t_i h_i \right) \in E \] 가 성립하면, \(y\)는 \(n\)개의 매개변수 \(t_1 ,\) \(t_2 ,\) \(\cdots ,\) \(t_n\)의 함수이다. 함수 \[f \left( \sum_{i=1}^n t_i h_i \right)\] 는 임의의 \(h_1 ,\) \(\cdots ,\) \(h_n\)에 대하여 \(n\)계 편도함수 \[\left[ \frac{\partial ^n}{\partial t_1 \, \partial t_2 \cdots \partial t_n} f\left( \sum_{i=1}^{n} t_i h_i \right) \right]_{t_1 = \cdots = t_n =0 }\] 를 갖는다. 만약 \(h_1 = \cdots = h_n\)이면, \[\left[ \frac{\partial ^n}{\partial t_1 \, \partial t_2 \cdots \partial t_n} f \left( x+\sum_{i=1}^{n} t_i h_i \right) \right]_{t_1 = \cdots = t_n =0} = \frac{d^n}{dt^n} f(x+th)_{t=0}\] 가 성립함을 보일 수 있다.
참고문헌
- 류스테르니크(L. A. Liusternik)와 소볼레프(V. J. Sobolev), 『함수해석학(Elements of Functional Analysis)』 (앤서니 라바레(Anthony E. Labarre) 번역), 프레더릭 웅가르 출판사(Frederick Ungar Publishing Company, New York), 168-173쪽.