미분형식

증명

[1]과 [3]은 연산의 정의에 의하여 자명하게 성립한다. 여기서는 [2]를 증명하자.

\(\omega\)와 \(\eta\)가 분해 가능하다고 가정하자. 즉 \[\omega = f\,dx_{i_1} \cdots dx_{i_r} ,\\[6pt] \eta = g\,dx_{j_1} \cdots dx_{j_s}\] 라고 하자. 그러면 \(\omega\)와 \(\eta\)의 곱은 \[\omega \eta = fg \,x_{i_1} \cdots dx_{i_r} \,dx_{j_1} \cdots dx_{j_s}\] 로서 \((r+s)\)형식이다. 여기에 반교환법칙을 반복하여 적용하면 다음을 얻는다. \[\begin{align} \omega \eta &= fg\,dx_{i_1} \cdots dx_{i_r} \,dx_{j_1} \cdots dx_{j_s} \\[6pt] &= (-1)^r fg \,dx_{j_1} \,x_{j_2} \cdots dx_{i_r} \,dx_{j_2} \cdots dx_{j_s} \\[6pt] &= \cdots = (-1)^{rs} \,gf\,dx_{j_1} \cdots dx_{j_s} \,dx_{i_1} \cdots dx_{i_r} \\[6pt] &= (-1)^{rs} \eta \omega \tag*{\(\blacksquare\)} \end{align}\]

증명

\(n\)에 수학적 귀납법을 적용하자. \(n=1\)일 때에는 정리의 등식이 자명하게 성립한다. 이제 \(n \ge 2\)이고, \(n\)을 \(n=1\)로 바꾸었을 때 정리의 등식이 성립한다고 가정하자. 정리 1과 멱등법칙, 그리고 반교환법칙에 의하여 다음을 얻는다. \[\begin{align} \left( \sum_{j=1}^n \,a_{1j} \,\omega_j \right) \cdots \left( \sum_{j=1}^n \,a_{nj} \,\omega_j \right) &= \left( a_{11} \,\omega_1 + \sum_{j=2}^n \,a_{1j}\,\omega_j \right) \cdots \left(a_{n1} \,\omega_1 + \sum_{j=2}^n \,a_{nj} \,\omega_j \right) \\[6pt] &= a_{11}\,\omega_1 \left( \sum_{j=2}^n \,a_{2j} \,\omega_j \right) \cdots \left( \sum_{j=2}^{n} \,a_{nj}\,\omega_j \right) \\[6pt] &\quad + \left( \sum_{j=2}^n \,a_{1j}\,\omega_j \right) a_{21} \,\omega_1 \left( \sum_{j=2}^n \,a_{3j}\,\omega_j \right) \cdots \left( \sum_{j=2}^n \,a_{nj} \,\omega_j \right) \\[6pt] &\quad + \cdots + \left( \sum_{j=2}^n \,a_{1j} \,\omega_j \right) \cdots \left( \sum_{j=2}^n \,a_{3j} \,\omega_j \right) a_{n1} \,\omega_1 \\[6pt] &\quad + \left( \sum_{j=2}^n \,a_{1j} \,\omega_j \right) \cdots \left( \sum_{j=2}^n \,a_{nj} \,\omega_j \right) \\[6pt] &= a_{11} \,\det A_{11} (\omega_1 \, \omega_2 \cdots \omega_n ) \\[8pt] &\quad + (-1)^1 a_{21} \,\det A_{21} (\omega_1 \,\omega_2 \cdots \omega_n ) \\[8pt] &\quad + \cdots + (-1)^{n-1} a_{n1} \,\det A_{n1} ( \omega_1 \,\omega_2 \cdots \omega_n ) \\[8pt] &\quad + \left( \sum_{j=2}^n \,a_{1j}\,\omega_j \right) \det A_{11} (\omega_2 \cdots \omega_n ) \\[8pt] &= (\det A) \omega_1 \cdots \omega_n + 0 \\[8pt] &= (\det A) \omega_1 \, \omega_2 \cdots \omega_n . \tag*{\(\blacksquare\)} \end{align}\]

증명

외미분의 정의에 의하면 \(\omega\)와 \(\eta\)가 분해 가능한 경우만 증명해도 충분하다. 즉 \[\omega = f\,dx_{i_1} \cdots dx_{i_r} ,\\[6pt] \eta = g\,dx_{j_1} \cdots dx_{j_s}\] 라고 하자. 그러면 \[\begin{align} d(\alpha \omega ) &= d(\alpha f)dx_{i_1} \cdots dx_{i_r} \\[6pt] &=\alpha \,df\,dx_{i_1} \cdots dx_{i_r} \\[6pt] &=\alpha \,d\omega \end{align}\] 가 성립한다 \(r=s\)이고 모든 \(\nu\)에 대하여 \(i_{\nu} = j_{\nu}\)인 경우에도 위와 비슷한 방법으로 \[\begin{align} d(\omega + \eta ) &= d(f+g) dx_{i_1} \cdots dx_{i_r}\\[6pt] &=df\,dx_{i_1} \cdots dx_{i_r} + dg\,dx_{i_1} \cdots dx_{i_r} \\[6pt] &= d\omega + d\eta \end{align}\] 를 얻는다. 이로써 [1]과 [2]가 증명되었다.

이제 [3]을 증명하자. 먼저 \(r=0\)인 경우를 생각하자. \(f\)가 실숫값 함수이고 \(\omega = f\)라고 하자. 그러면 \[\begin{align} d(\omega \eta) &= d(fg) dx_{j_1} \cdots dx_{j_s} \\[6pt] &=(g\,df + f\,dg) dx_{j_1} \cdots dx_{j_s} \\[6pt] &= df\,g\,dx_{j_1} \cdots dx_{j_s} + f\,dg\,dx_{j_1} \cdots dx_{j_s} \\[6pt] &= (d\omega )\eta + \omega \,d\eta \end{align}\] 를 얻는다. 다음으로 \(r > 0\)이고 \(i_{\nu} = j_{\mu}\)를 만족시키는 \(\nu\)와 \(\mu\)가 존재한다고 하자. 그러면 멱등법칙에 의하여 \[\omega \eta = 0 = (d\omega ) \eta = \omega \,d\eta\] 를 얻는다. 그 외의 경우, 즉 \(i_{\nu}\)와 \(j_{\mu}\) 중에서 일치하는 것이 존재하지 않는 경우, \(g\)는 0형식이고 \(dg\)는 1형식이므로 정리 1의 [2]에 의하여 다음을 얻는다. \[\begin{align} d(\omega \eta ) &= d \left( fg \,dx_{i_1} \cdots dx_{i_r} \,dx_{j_1} \cdots dx_{j_s} \right) \\[6pt] &= \left( g\,df + f\,dg ) dx_{i_1} \cdots dx_{i_r} \,dx_{j_1} \cdots dx_{j_s} \right) \\[6pt] &= df \,dx_{i_1} \cdots dx_{i_r} \,g\,dx_{j_1} \cdots dx_{j_s} +(-1)^{r\cdot 1} \,f\,dx_{i_1} \cdots dx_{i_r} \,dg\,dx_{j_1} \cdots dx_{j_s} \\[6pt] &= (d\omega ) \eta + (-1)^r \,\omega \,d\eta . \tag*{\(\blacksquare\)} \end{align}\]

증명

\(\omega\)가 분해 가능한 미분형식이고 \[\omega = f\,dx_{i_1} \cdots dx_{i_r}\] 라고 하자. \(r\)에 수학적 귀납법을 적용하자. \(r=0\)이고 \(\omega = f\)일 때 멱등법칙과 반대칭법칙, 그리고 클레로(Clairaut)의 정리에 의하여 \[\begin{align} d^2\,\omega &= d\left( \sum_{j=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_j} dx_j \right) \\[6pt] &= \sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^n \frac{\partial ^2 f}{\partial x_k \,\partial x_j} dx_k\,dx_j \\[6pt] &= \sum_{j < k} \left( \frac{\partial ^2 f}{\partial x_k\, \partial x_j} - \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \,\partial x_k} \right) dx_k \,dx_j =0 \end{align}\] 을 얻는다.

다음으로 \(r=1\)이고 \(\omega = f\,dx_k\)라고 하자. \[d^2 \,x_k = d(1\,dx_k )=0\]이므로 \(r=0\)일 때의 결과를 이용하면 \[\begin{align} d^2 \,\omega &= d(df \,dx_k ) \\[6pt] &=d^2 \,f\,dx_k - df\,d^2\,x_k =0 \end{align}\] 을 얻는다.

끝으로 \(r > 1\)이고, \(0 \le s < r\)인 임의의 \(s\)형식의 이계외미분이 \(0\)이라고 가정하자. 그러면 \[d\omega = d\left( f\,dx_{i_1} \cdots dx_{i_{r-1}} \right) dx_{i_r}\] 이므로 외미분의 곱의 성질과 귀납적 가정에 의하여 다음을 얻는다. \[\begin{align} d^2\,\omega &= d^2 \left( f\,dx_{i_1} \cdots dx_{i_{r-1}} \right) dx_{i_r} \\[6pt] & \quad + (-1)^r \,d\left(f\,dx_{i_1}\cdots dx_{i_{r-1}} \right) d^2 \,dx_{i_r} =0 \tag*{\(\blacksquare\)} \end{align}\]

증명

\(V\)에서의 임의의 0형식 \(f\)에 대하여 \[(\phi^* \circ f)(\mathrm{u}) = f(\phi(\mathrm{u}))\] 가 \(U\)에서의 \(C^1\)급 0형식이며, \(i=1,\) \(2,\) \(\cdots,\) \(m\)에 대하여 \[\phi ^* (dx_i ) = \sum_{j=1}^{n}\frac{\partial \phi_i}{\partial u_j} du_j\] 는 \(U\)에서의 \(C^1\)급 1형식이다. 따라서 \(\omega\)가 \(V\)에서의 \(C^1\)급 \(r\)형식일 때 \(\phi^* (\omega )\)는 \(U\)에서의 \(C^1\)급 \(r\)형식이다.

증명

미분형식의 합은 계수의 합으로 정의되므로 \(\omega\)와 \(\eta\)가 모두 분해 가능한 경우만 증명해도 충분하다. \[\omega = f\,dx_{i_1} \cdots dx_{i_r},\\[6pt] \eta = g\,dx_{i_1}\cdots dx_{i_r}\] 라고 하자. 그러면 다음을 얻는다. \[\begin{align} \phi^* (\omega + \eta ) &= \phi^* ((f+g) x_{i_1} \cdots dx_{i_r} ) \\[6pt] &= (f\circ \phi + g \circ \phi )\phi^* ( dx_{i_1} ) \\[6pt] &= \phi^* (\omega ) + \phi^* (\eta ). \tag*{\(\blacksquare\)} \end{align}\]

증명

\(\omega\)와 \(\eta\)가 모두 분해 가능한 경우만 증명해도 충분하다. \[\omega = f\,dx_{i_1} \cdots dx_{i_r},\\[6pt] \eta = g\,dx_{i_1}\cdots dx_{i_r}\] 라고 하자. 그러면 다음을 얻는다. \[\begin{align} \phi^* (\omega \eta ) &= \phi^* ((fg) \,dx_{i_1} \cdots dx_{i_r} \, dx_{j_1} \cdots dx_{j_s} )\\[6pt] &= (f\circ \phi )(g \circ \phi ) \phi^* (dx_{i_1} ) \cdots \phi^* (dx_{i_r} ) \phi^* (dx_{j_1} ) \cdots \phi^* (dx_{j_s}) \\[6pt] &= \phi^* (\omega )\, \phi^* (\eta ). \tag*{\(\blacksquare\)} \end{align}\]

증명

\(\omega\)가 분해 가능한 경우만 증명해도 충분하다. \(r\)에 수학적 귀납법을 적용하자.

\(r=0\)이고 \(\omega = f\)라고 하자. 그러면 미분변환의 정의와 연쇄법칙에 의하여 다음을 얻는다. \[\begin{align} \phi^* (d\omega ) &= \phi^* \left( \sum_{k=1}^m \frac{\partial f}{\partial x_k} dx_k \right)\\[6pt] &=\sum_{k=1}^{m} \phi^* \left( \frac{\partial f}{\partial x_k}\right)\phi^* (dx_k )\\[6pt] &=\sum_{k=1}^{m}\left( \frac{\partial f}{\partial x_k} \circ \phi \right) \sum_{j=1}^{n} \frac{\partial \phi_k}{\partial u_j} du_j \\[6pt] &=\sum_{j=1}^{n} \frac{\partial (f\circ \phi)}{\partial u_j} du_j \\[6pt] &=d(f\circ\phi ) = d(\phi^* (\omega )). \end{align}\] 다음으로 \(r=1\)이고 \(\omega = f\,dx_j\)라고 하자. 그러면 참고 4와 \(r=0\)인 경우의 등식에 의하여 다음을 얻는다. \[\begin{align} \phi^* (d\omega ) &= \phi^* (df\,dx_k ) \\[6pt] &=\phi^* (df) \phi^* (dx_k )\\[6pt] &= d(f\circ \phi ) d\phi_k . \end{align}\] 한편 \[\phi^* (\omega ) = (f \circ \phi )\phi^* (dx_k ) = (f \circ \phi ) d\phi_k\] 이므로 정리 3의 [3]과 멱등법칙, 이계외미분의 성질에 의하여 다음을 얻는다. \[\begin{align} d(\phi^* (\omega )) &= d(f\circ \phi ) d\phi_k (f\circ \phi )d^2 \,\phi_k \\[6pt] &= d(f\circ \phi)d\phi _k . \end{align}\] 따라서 \(\omega\)가 1형식일 때에도 정리의 등식이 성립한다.

끝으로 \(r > 1\)이고 \(0 \le s < r\)인 임의의 정수 \(s\)에 대하여 \(s\)형식이 정리의 등식을 만족시킨다고 가정하자. \(\omega\)가 분해 가능한 \(r\)형식이고 \(\omega = \theta \eta\)이며 \(\theta\)는 1형식이고 \(\eta\)는 \((r-1)\)형식이라고 하자. 그러면 \[d\omega = (d\theta ) \eta - \theta \,d\eta\] 이므로 귀납적 가정과 외미분의 성질에 의하여 다음을 얻는다. \[\begin{align} d^* (d\omega ) &= \phi^* (d\theta )\phi^* (\eta ) - \phi^* (\theta ) \phi^* (d\eta ) \\[6pt] &= d(\phi^* \theta )\phi^* (\eta ) - \phi^* (\theta ) d(\phi^* \eta ) \\[6pt] &= d((\phi^* \theta )(\phi^* \eta )) \\[6pt] &= d(\phi^* (\theta \eta )) \\[6pt] &= d(\phi^* (\omega )). \tag*{\(\blacksquare\)} \end{align}\]

증명

\(\omega\)가 분해 가능한 경우만 증명해도 충분하다. \(n=1\)이고 \(\omega = f\,dx_j\)이면 \[\phi^* (\omega ) = \phi^* (f) \phi^* (dx_j ) = (f\circ \phi) \phi \prime \,du\] 가 성립한다. \(n > 1\)이고 \[\omega = f\,dx_{i_1} \cdots dx_{i_n}\]인 경우에는 다음을 얻는다. \[\begin{align} \phi^* (\omega ) &= \phi^* (f) \phi^* (dx_{i_1} ) \cdots \phi^* (dx_{i_n} ) \\[6pt] &= (f \circ \phi ) \left( \sum_{k=1}^n \frac{\partial \phi_{i_1}}{\partial u_k} du_k \right) \cdots \left( \sum_{k=1}^n \frac{\partial \phi_{i_n}}{\partial u_k} du_k \right)\\[6pt] &= (f \circ \phi ) \frac{\partial ( \phi_{i_1} ,\, \cdots ,\, \phi_{i_n})}{\partial (u_1 ,\,\cdots,\,u_n )} du_1 \cdots du_n . \tag*{\(\blacksquare\)} \end{align}\]