열린집합의 무한 교집합 반례

열린집합들의 합집합은 열린집합이다. 열린집합의 개수가 무한일지라도 그들을 합집합하여 얻은 결과는 항상 열린집합이다. (참고: 열린집합과 닫힌집합) 그러나 열린집합을 교집합한 결과는 열린집합이 아닐 수도 있다. 그 예를 살펴보자.

전체집합을 \(\mathbb{R}\)라고 하고, 자연수 \(j\)에 대하여 집합 \(A_j\)를 다음과 같이 정의하자. \[A_j = \left( - \frac{1}{j} ,\, 1+ \frac{1}{j} \right).\tag{1}\] 그러면 임의의 \(j\)에 대하여 \(A_j\)는 열린구간이므로, \(\mathbb{R}\)에서의 열린집합이다. 다음으로 \[A = \bigcap_{j=1}^{\infty} A_j\tag{2}\] 라고 하자. 이제 \[A = [0, 1]\tag{3}\] 임을 보이자. 우선 \(x\in[0,\,1]\)이라고 하자. 그러면 임의의 자연수 \(j\)에 대하여 \[x\in \left( - \frac{1}{j} ,\, 1+ \frac{1}{j} \right) \] 이므로 \[[0,\,1] \subseteq A\tag{4}\] 이다. 다음으로 (4)의 포함관계가 반대로 성립함을 보이자. \(x\notin [0,\,1]\)이라고 하자. 그러면 \(x < 0\) 또는 \(x > 1\)이다. 먼저 \(x < 0\)인 경우부터 살펴보자.

• 만약 \(x < 0\)이면 \(j > -1/x\)인 자연수 \(j\)를 택하자. 그러면 \(x < -1/j\)이므로 \(x \notin A_j\)이다. 즉 \(A_j\) 중에서 \(x\)를 원소로 갖지 않는 것이 존재하므로, \(A_j\)들의 교집합인 \(A\) 또한 \(x\)를 원소로 갖지 않는다.
• 만약 \(x > 1\)이면 \(j > 1/(x-1)\)인 자연수 \(j\)를 택하자. 그러면 \(x > 1+ (1/j)\)이므로 \(x\notin A_j\)이다. 즉 \(A_j\) 중에서 \(x\)를 원소로 갖지 않는 것이 존재하므로, \(A_j\)들의 교집합인 \(A\) 또한 \(x\)를 원소로 갖지 않는다.

요컨대 \([0,\,1]\)에 속하지 않는 원소는 \(A\)에 속하지 않으므로, 그 대우로서 \(A\)에 속하는 모든 원소는 \([0,\,1]\)에 속한다. 즉 \(A \subseteq [0,\,1]\)이다. 이 포함관계와 (4)를 결합하면 등식 \(A = [0,\,1]\)을 얻는다.

그렇다면 \([0,\,1]\)은 \(\mathbb{R}\)에서 왜 열린집합이 아닐까? “닫힌구간이므로 열린집합이 아니다.”라고 답한다면 잘못된 답이다. 왜냐하면 닫힌집합이면서 열린집합일 수 있기 때문이다. 대신 \([0,\,1]\)이 열린집합의 정의를 만족시키지 않음을 보이자.

\([0,\,1]\)이 열린집합이려면 \([0,\,1]\)의 모든 원소가 \([0,\,1]\)의 내부점이어야 한다. 그런데 \(1\)은 \([0,\,1]\)의 원소이지만 \([0,\,1]\)의 내부점이 아니다. 왜냐하면 \(1\)을 중심으로 하고 반지름이 양수인 원은 그 내부에 항상 \([0,\,1]\)에 속하지 않는 원소를 가지기 때문이다. 즉 \([0,\,1]\)은 내부점이 아닌 원소를 가지므로 열린집합이 아니다.