함수 \(f\)의 정의역의 내점 \(a\)에서의 미분계수 \(f ' (a)\)는 \(x=a\)일 때 \(y=f(x)\)의 그래프에 접하는 직선의 기울기와 같다. 즉 미분계수는 함수의 그래프의 모양에 의하여 결정되므로, 미분을 이용하여 함수의 그래프의 성질을 밝힐 수 있다.
이 포스트에서는 함수의 극값, 증가와 감소를 정의하고 이와 관련된 미분의 성질을 살펴본다.
함수의 극값
\(E\)가 \(\mathbb{R}\)의 부분집합이라고 하자. 만약 \(M \in E\)이고, 임의의 \(x\in E\)에 대하여 \(x\le M\)이면 \(M\)을 \(E\)의 최댓값이라고 부른다. 만약 \(m \in E\)이고, 임의의 \(x\in E\)에 대하여 \(m\le x\)이면 \(m\)을 \(E\)의 최솟값이라고 부른다.
비슷한 방법으로 함수의 최댓값과 최솟값을 정의할 수 있다.
정의 1. (함수의 최댓값과 최솟값)
\(f\)가 정의역이 \(D\)인 실숫값 함수라고 하자.
- 만약 \(c_1 \in D\)이고, 임의의 \(x\in D\)에 대하여 \(f(x) \le f(c_1 )\)이면 ‘\(f\)는 \(c_1\)에서 최댓값을 가진다’ 또는 ‘\(f\)는 \(D\) 위에서 최댓값 \(f(c_1)\)을 가진다’라고 말한다.
- 만약 \(c_2 \in D\)이고, 임의의 \(x\in D\)에 대하여 \(f(c_2 ) \le f(x )\)이면 ‘\(f\)는 \(c_2\)에서 최솟값을 가진다’ 또는 ‘\(f\)는 \(D\) 위에서 최솟값 \(f(c_2)\)를 가진다’라고 말한다.
집합과 점을 혼동할 염려가 없을 때에는 ‘\(f\)가 \(D\) 위에서 최댓값을 가진다’를 간단히 ‘\(f\)가 \(D\)에서 최댓값을 가진다’라고 표현한다.
함수 \(f(x)= x^2\)을 생각해 보자 만약 이 함수의 정의역이 \(D_1 = \mathbb{R}\)라면 이 함수는 \(x=0\)에서 최솟값을 가지며, 최댓값은 갖지 않는다. 그러나 만약 이 함수의 정의역이 \(D_2 = [1 ,\,2]\)라면 이 함수는 \(x=1\)에서 최솟값을 가지며 \(x=2\)에서 최댓값을 가진다.
이번에는 정의역이 \(D_3 = [-1,\,2]\)인 함수 \(f(x)=x^2\)을 생각해 보자. 이 함수는 \(x=0\)에서 최솟값을 갖고 \(x=2\)에서 최댓값을 가진다. \(x=-1\)에서는 최댓값이나 최솟값을 갖지 않는다. 그러나 만약 열린 구간 \(I = (-2,\,0)\)을 생각한다면 \(f\)는 \(D_3 \cap I\) 위에서 최댓값 \(f(-1)\)을 가진다.
이와 같은 관점에서 함수의 국소극값을 다음과 같이 정의한다.
정의 2. (함수의 극댓값과 극솟값)
\(f\)가 정의역이 \(D\)인 함수라고 하자.
- 만약 \(c_1 \in D\)이고, \(c_1\)을 원소로 갖는 열린구간 \(I_1\)이 존재하여 \(f\)가 \(D \cap I_1\) 위에서 최댓값 \(f(c_1 )\)을 가지면 ‘\(f\)는 \(c_1\)에서 극댓값을 가진다’라고 말한다.
- 만약 \(c_2 \in D\)이고, \(c_2\)를 원소로 갖는 열린구간 \(I_2\)가 존재하여 \(f\)가 \(D \cap I_2\) 위에서 최솟값 \(f(c_2 )\)를 가지면 ‘\(f\)는 \(c_2\)에서 극솟값을 가진다’라고 말한다.
극댓값과 극솟값을 통틀어 국소극값(local extrema) 또는 상대극값(relative extrema)이라고 부른다. 또한 최댓값과 최솟값을 통틀어 전역극값 또는 절대극값이라고 부른다. 책에 따라서 극값은 상대극값을 이르기도 하고 절대극값을 이르기도 한다.
정의에 의하면 모든 절대극값은 국소극값이다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다.
정리 1. (페르마의 정리; 상대극값에 대한 일계도함수 정리)
함수 \(f\)의 정의역이 \(D\)이고 \(c\)가 \(D\)의 내점이라고 하자. 만약 \(f\)가 \(c\)에서 미분 가능하고, 그 점에서 국소극값을 가지면 \(f ' (c)=0\)이다.
증명
\(f\)가 \(c\)에서 극댓값을 갖는 경우만 증명해도 충분하다.
\(f\)가 \(c\)에서 미분 가능하므로 다음 극한이 존재한다. \[f ' (c) = \lim_{x\to c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}.\tag{1}\] 특히 \(c\)가 \(D\)의 내점이므로 극한 (1)은 좌극한이나 우극한으로 바꾸어도 동일하다. 즉 \[f ' (c) = \lim_{x\to c^+}\frac{f(x)-f(c)}{x-c} = \lim_{x\to c^-}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}.\] \(f\)가 \(c\)에서 극댓값을 가지므로 \(c\)를 원소로 갖는 열린 구간 \(I = (a,\,b)\)가 존재하여 \[x\in I\cap D \quad \Rightarrow \quad f(x) \le f(c)\] 가 성립한다. \(x \in I\cap D,\) \(x < c\)인 경우 \[\frac{f(x)-f(c)}{x-c} \ge 0\] 이므로 \[f ' (c) = \lim_{x\to c^{-}}\frac{f(x)-f(c)}{x-c} \ge 0\] 이며, \(x \in I\cap D,\) \(x > c\)인 경우 \[\frac{f(x)-f(c)}{x-c} \le 0\] 이므로 \[f ' (c) = \lim_{x\to c^{+}}\frac{f(x)-f(c)}{x-c} \le 0\] 이다. 즉 \(0 \le f ' (c) \le 0\)이므로 \(f ' (c)=0\)이다.
\(f\)의 정의역의 점 \(x\) 중에서, 그 점에서 \(f\)가 미분 가능하지 않거나, \(f ' (x) =0\)인 점 \(x\)를 \(f\)의 임계점(critical point)이라고 부른다.
닫힌 구간 위에서 \(f\)의 최댓값과 최솟값을 구하기 위해서는 그 구간의 끝점과 \(f\)의 모든 임계점에서 \(f\)의 함숫값을 구한 뒤, 그 값들 중 가장 큰 값과 가장 작은 값을 찾으면 된다.
평균값 정리
상대극값에 대한 일계도함수 판정법을 이용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.
정리 2. (롤의 정리)
함수 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 연속이고 \((a,\,b)\)에서 미분 가능하며 \(f(a) = f(b)\)라고 하자. 그러면 \(f ' (c) =0\)인 점 \(c\)가 \((a,\,b)\)에 존재한다.
증명
\(f\)가 \([a,\,b]\)에서 상수함수인 경우에는 자명하게 \(f ' (c) = 0\)인 점 \(c\)가 \((a,\,b)\)에 존재한다. 그러므로 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 상수함수가 아닌 경우만 증명하면 된다.
\(f\)가 \([a,\,b]\)에서 연속이므로 \(f\)는 \([a,\,b]\) 위에서 최댓값과 최솟값을 가진다. \([a,\,b]\) 위에서 \(f\)의 최댓값이나 최솟값 중 하나 이상은 \(f(a)\)와 다른 값이다. 왜냐하면, 만약 \([a,\,b]\) 위에서 \(f\)의 최댓값과 최솟값이 모두 \(f(a)\)와 같다면 \(f\)는 \([a,\,b]\)에서 상수함수가 되기 때문이다.
\([a,\,b]\) 위에서 \(f\)의 최댓값이 \(f(a)\)와 다르다고 하자. 그리고 \(f(c)\)가 \(f\)의 최댓값이라고 하자. 그러면 \(c \ne a,\) \(c\ne b\)이므로 \(c\)는 \([a,\,b]\)의 내점이다. 그러므로 상대극값에 대한 일계도함수 판정법에 의하여 \(f ' (c) =0\)이다.
\([a,\,b]\) 위에서 \(f\)의 최솟값 \(f(c)\)가 \(f(a)\)와 다른 경우에도 동일한 방법으로 \(f ' (c)=0\)이라는 결론을 얻는다.
롤의 정리를 일반화하면 다음과 같은 평균값 정리를 얻는다.
정리 3. (평균값 정리)
함수 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 연속이고 \((a,\,b)\)에서 미분 가능하다고 하자. 그러면 \[\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f ' (c)\tag{2}\] 인 점 \(c\)가 \((a,\,b)\)에 존재한다.
증명
구간 \([a,\,b]\)에서 함수 \(h\)를 다음과 같이 정의하자. \[h(x) = f(x)-f(a) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a).\] 그러면 \(h\)는 \([a,\,b]\)에서 연속이고 \((a,\,b)\)에서 미분 가능하며 \(h(a)=h(b)=0\)이다. 따라서 롤의 정리에 의하여 \((a,\,b)\)에 점 \(c\)가 존재하여 \(h ' (c) = 0\) 즉 \[h ' (c) = f ' (c) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a} = 0\tag{3}\] 을 만족시킨다. (3)으로부터 (2)를 얻는다.
다음 정리는 미분을 이용하여 함수의 성질을 증명할 때 자주 사용된다.
따름정리 1. (상수함수의 도함수 판정법)
함수 \(f\)가 열린 구간 \((a,\,b)\)의 임의의 점 \(x\)에서 미분 가능하고 \(f ' (x)=0\)을 만족시키면 \(f\)는 \((a,\,b)\)에서 상수함수이다.
증명
\((a,\,b)\)의 서로 다른 두 점 \(x_1 ,\) \(x_2\)을 생각하자. \(x_1 < x_2\)라고 해도 일반성을 잃지 않는다. (두 수의 대소 관계가 반대라면, 두 수의 역할을 바꾸면 되기 때문이다.) \(f\)는 \([x_1 ,\,x_2 ]\)에서 연속이고 \((x_1 ,\,x_2 )\)에서 미분 가능하므로 평균값 정리에 의하여 \(c\in (x_1 ,\,x_2 )\)가 존재하여 \[\frac{f(x_2 ) - f(x_1 )}{x_2 - x_1} = f ' (c) =0\] 을 만족시킨다. 그러므로 \(f(x_2 ) = f(x_1 )\)이다. 여기서 \(x_1\)과 \(x_2\)는 \((a,\,b)\)에 속하는 서로 다른 임의의 두 점이므로 \(f\)는 \((a,\,b)\)의 모든 점에서 일정한 함숫값을 가진다.
다음 정리는 뒤에서 역도함수를 구할 때, 그리고 적분의 성질을 증명할 때 자주 사용된다.
따름정리 2.
두 함수 \(f\)와 \(g\)가 열린 구간 \((a,\,b)\)에서 미분 가능하고, 이 구간의 모든 점에서 \(f ' (x) = g ' (x)\)이면 \(f\)와 \(g\)는 이 구간에서 상수 차이이다. 즉 상수 \(C\)가 존재하여 임의의 \(x \in (a,\,b)\)에 대하여 \(f(x) = g(x)+C\)가 성립한다.
증명
\(h = f-g\)라고 하자. 그러면 \((a,\,b)\)에서 \(h ' = f ' - g ' = 0\)이므로 따름정리 1에 의하여 \(h\)는 \((a,\,b)\)에서 상수함수이다. 즉 상수 \(C\)가 존재하여 임의의 \(x\in (a,\,b)\)에 대하여 \(h(x) = C\)가 성립한다. 그러므로 임의의 \(x\in (a,\,b)\)에 대하여 \(f(x) = g(x)+C\)이다.
함수 \(f\)가 구간 \(I\)에서 정의되었다고 하자. 만약 \(x_1 < x_2\)인 \(I\)의 임의의 두 점 \(x_1 ,\) \(x_2\)에 대하여 \(f(x_1 ) \le f(x_2 )\)가 성립하면 ‘\(f\)는 \(I\)에서 증가한다’고 말하고, 만약 \(x_1 < x_2\)인 \(I\)의 임의의 두 점 \(x_1 ,\) \(x_2\)에 대하여 \(f(x_1 ) \ge f(x_2 )\)가 성립하면 ‘\(f\)는 \(I\)에서 감소한다’고 말한다.
만약 \(x_1 < x_2\)인 \(I\)의 임의의 두 점 \(x_1 ,\) \(x_2\)에 대하여 \(f(x_1 ) < f(x_2 )\)가 성립하면 ‘\(f\)는 \(I\)에서 순증가한다’고 말하고, 만약 \(x_1 < x_2\)인 \(I\)의 임의의 두 점 \(x_1 ,\) \(x_2\)에 대하여 \(f(x_1 ) > f(x_2 )\)가 성립하면 ‘\(f\)는 \(I\)에서 순감소한다’고 말한다.
도함수를 이용하여 함수의 증감을 판별할 수 있다.
따름정리 3. (함수의 증감에 대한 도함수 판정법)
함수 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 연속이고 \((a,\,b)\)에서 미분 가능하다고 하자.
- 만약 임의의 \(x\in (a,\,b)\)에 대하여 \(f ' (x) \ge 0\)이면 \(f\)는 \([a,\,b]\)에서 증가한다. 특히 임의의 \(x\in (a,\,b)\)에 대하여 \(f ' (x) > 0\)이면 \(f\)는 \([a,\,b]\)에서 순증가한다.
- 만약 임의의 \(x\in (a,\,b)\)에 대하여 \(f ' (x) \le 0\)이면 \(f\)는 \([a,\,b]\)에서 감소한다. 특히 임의의 \(x\in (a,\,b)\)에 대하여 \(f ' (x) < 0\)이면 \(f\)는 \([a,\,b]\)에서 순감소한다.
증명
\(x_1\)과 \(x_2\)가 \([a,\,b]\)의 점이고 \(x_1 < x_2\)라고 하자. 그러면 \(f\)는 \([x_1 ,\,x_2]\)에서 연속이고 \((x_1 ,\,x_2 )\)에서 미분 가능하므로 평균값 정리에 의하여 \[\frac{f(x_2 ) - f(x_1 )}{x_2 - x_1} = f ' (c)\tag{4}\] 인 점 \(c\)가 \((x_1 ,\,x_2 )\)에 존재한다. (4)의 좌변에서 분모는 \(x_2 - x_1 > 0\)이므로, \(f(x_2 ) - f(x_1 )\)의 부호는 \(f ' (c)\)의 부호와 일치한다. 즉 \(f ' (c) > 0\)이면 \(f(x_2 ) > f(x_1 )\)이며, \(f ' (c) < 0\)이면 \(f(x_2 ) < f(x_1 )\)이다. 그런데 \(x_1 ,\) \(x_2\)는 \([a,\,b]\)의 임의의 두 점이므로, \((a,\,b)\)에서 \(f ' > 0\)이면 \(f\)는 \([a,\,b]\)에서 증가하고, \((a,\,b)\)에서 \(f ' < 0\)이면 \(f\)는 \([a,\,b]\)에서 감소한다.
도함수의 사잇값 성질
함수 \(f\)가 미분 가능하면 \(f\)는 연속이지만, \(f\)가 미분 가능하다고 해서 \(f ' \)이 연속이라는 보장은 없다. 그러나 놀랍게도 모든 도함수는 사잇값 성질(intermediate property)을 가진다.
정리 4. (다르부의 정리; 도함수의 사잇값 정리)
함수 \(f\)가 닫힌 구간 \(I = [a,\,b]\)에서 미분 가능하면 \(f\)는 \(I\)에서 사잇값 성질을 가진다. 즉 \(f ' (a) \ne f ' (b)\)이고 \(C\)가 \(f ' (a)\)와 \(f ' (b)\) 사이에 있는 값이면 \(f ' (x_0) = C\)인 점 \(x_0\)이 \((a,\,b)\)에 존재한다.
증명
\(f ' (a) > f ' (b)\)인 경우만 증명해도 충분하다. 즉 \(f ' (a) > C > f ' (b)\)라고 하자. 그리고 \(I\)에서 함수 \(h\)를 \[h(x) = f(x) - Cx\] 라고 정의하자. \(h\)는 \([a,\,b]\)에서 연속이므로 이 구간에서 최댓값을 가진다. \(h ' (a) = f ' (a) - C > 0\)이므로 \(h\)는 \(a\)에서 최댓값을 갖지 않는다. 왜냐하면, 만약 \(h\)가 \(a\)에서 최댓값을 가진다면 임의의 \(x\in [a,\,b]\)에 대하여 \[\frac{h(x) - h(a)}{x-a} \le 0\] 이므로 \(h ' (a) \le 0\)이 되기 때문이다. 마찬가지로 \(h\)는 \(b\)에서도 최댓값을 갖지 않는다. 그러므로 \(h\)는 \([a,\,b]\)의 내점, 즉 \((a,\,b)\)에 속하는 점에서 최댓값을 가진다. \(h\)가 최댓값을 갖는 점을 \(x_0\)이라고 하자. 그러면 상대극값에 대한 일계도함수 판정법에 의하여 \(h ' (x_0) =0\) 즉 \(f ' (x_0 ) = C\)가 성립한다.
지금까지 함수 \(f\)가 주어졌을 때 미분의 정의와 미분의 성질을 이용하여 \(f\)의 미분 가능성을 판별하고 \(f\) 도함수를 구하는 여러 가지 방법을 살펴 보았다. 그렇다면 역으로 어떠한 함수가 주어져 있을 때 그 함수가 다른 함수의 도함수가 될 수 있는지 여부는 어떻게 판단할 수 있을까? 다음 정리는 그에 대한 부분적인 답을 준다.
따름정리 4.
도함수는 단순불연속점을 갖지 않는다.
증명
\(f\)가 구간 \(I\)에서 미분 가능하고 \(f '\)이 \(I\)의 내점 \(c\)에서 불연속이라고 하자. 만약 \(f ' \)이 \(c\)에서 단순불연속이라면 \(c\)에서 \(f ' \)의 좌극한과 우극한이 존재하지만 그 값은 다르다. \(c\)에서 \(f ' \)의 좌극한을 \(L,\) 우극한을 \(R\)라고 하자.
\(L < R\)인 경우를 증명하자. (만약 부등호가 반대로 성립한다면 \(L\)과 \(R\)의 역할을 바꾸면 된다.) \(\epsilon = \frac{1}{3}(R-L)\)이라고 하자. 그러면 극한의 정의에 의하여 \(\delta_L > 0\)이 존재하여 \(x \in (c-\delta_L ,\, c)\)일 때마다 \(f ' (x) < L+\epsilon\)이 성립하며, \(\delta_R > 0\)가 존재하여 \(x \in (c ,\,c+\delta_R )\)일 때마다 \(f ' (x) > R-\epsilon\)이 성립한다.
\([a,\,b] = [c-\frac{1}{2}\delta_L ,\, c+\frac{1}{2}\delta_R ]\)라고 하자. 그러면 임의의 \(x\in [a,\,b]\)에 대하여
\(f ' (x) < L+\epsilon\) 또는 \(f ' (x) > R-\epsilon\) 또는 \(f ' (x) = f ' (c)\)
이다. 그런데 \(L+\epsilon < R-\epsilon\)이므로, \(C \in (L+\epsilon ,\, R-\epsilon ),\) \(C \ne f ' (c)\)인 값 \(C\)를 택하면 \(f ' (a) < C < f ' (b)\)이지만 임의의 \(x_0 \in [a,\,b]\)에 대하여 \(f ' (x_0) \ne C\)이다. 즉 \(f ' \)은 \([a,\,b]\)에서 사잇값 성질을 갖지 않는다. 이것은 다르부의 정리에 모순이다. 그러므로 \(f ' \)은 \(c\)에서 단순불연속일 수 없다.
잡설
글을 쓰고 보니 보기와 예제가 없네요. 다음에 넣겠습니다.